余弦定理教案

1、邹城一中2012年三案一体评比活动教案人教A版普通高中课程标准实验教科书·数学必修1 . 1 . 2余弦定理 (第一课时) 高二二级部数学 杨瑞磊20129. §1.1.2 余 弦 定 理授课类型：新授课教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证

2、统一.教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.教学过程【课件投影】.复习回顾：（温故知新）(一)情境导入，感知实例：【课件投影】例：如下图，青藏铁路的建设过程中，为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,请你设计一种合理的方案.ABCDE【设计意图】利用学生对实际问题有很高的积极性的特点,以实际问题引入新课.【简要实录】教师以实际问题导入新课，学生专注听，脸上写着疑问.（二）以旧引新，奠定基础1、 正弦定理的基本形式是什么？2、正弦定理可以用来解决的问题类型是什么？【课件投影】（已知两角和一边解三角形）（已知两边和其中一边的对角，解三角

3、形）.（已知两边和其夹角，勾股定理）.【设计意图】从学生所熟悉的正弦定理和直角三角形的情况出发，再到斜三角形的情况.这样的设计主要是根据学生已有的知识勾股定理以及上节课的“化斜为直”的化归思想，创设一种“跳一跳摘到桃子”的学习情景.【简要实录】前两个问题是正弦定理的应用，第3个问题学生根据勾股定理可以很容易解答.第4个问题则需要学生能够将斜三角形的问题转化成直角三角形，此时老师要注意引导学生.为了促进学生之间的交流，老师先引导学生独立完成问题4，之后分组讨论，得出答案.从课堂的反映来看，学生能够完整的解决这个问题，教师选几份答案投影，并且让学生解释他的方法.思考：已知两边和夹角，如何求第三边，

4、如何解三角形？ C.课题导入：如图在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,如何用a,b和C，表示c. b a A C B 【设计意图】从问题4到上述问题，遵循从特殊到一般的原则，符合学生认知事物的规律，也有利于学生充分发挥自己的主观能动性，实现其在课堂上的主体地位.在处理完前两个问题的情况下，学生已经能够对上述问题发表自己的看法，那么教师就要大胆放手让学生去做，让学生亲身体会知识再发现的过程.【简要实录】 在解决此问题时，学生可能会受思维定势的影响，思路受阻.但此时最好还是能够让学生自己去打破这种定势思维，所以安排学生分组讨论，在“你一言，我一语”的轻松环境下，学生真正实现“自主，合作，探

5、究”.通过分小组讨论，学生找到了两种解决方法：一是用向量方法；二是通过作高，转化成直角三角形，“化斜为直”.将上述问题的答案进行归纳即得到这节课的中心内容：.新课讲授探究联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c.由于涉及长度问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题. A如图，设，那么，则 C B 从而 同理可证 于是得到以下定理：一、 余弦定理：【课件投影】思考：1、上述过程就是一种证明方法，还有其它方法可以证明余弦定理吗？2、如何用语言表述一下余弦定理呢？三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积

6、的两倍.3、现在我们可以解决本节课开始的第4题了吗？【设计意图】以问题串的形式帮助学生加深对定理的理解.【简要实录】学生自己动手，讨论总结，教师概括，用自己的语言总结定理，加深理解.二、定理应用：【课件投影】例1.在中，求c.（上面第4题）（由学生口述）心得：（由学生体会、口述）应用余弦定理，可以解决已知两边和其夹角，求第三边的问题.【设计意图】通过解决导入中的问题，前后呼应，让学生初步感受余弦定理的应用.【简要实录】有了余弦定理，学生很快解答了此题，从而得出结论.【课件投影】变式：在中，求 C.（举一反二）（由学生推出）由余弦定理，又可得到以下推论：心得：（由学生体会、口述）应用余弦定理，可

7、以解决已知三边，求角度的问题.【设计意图】让学生进一步熟悉余弦定理，并找到余弦定理的推论.【简要实录】学生感到此题也并不难，只要将余弦定理变形即可.通过解答此题学生还得出“知三边可求三角”的规律.【课件投影】例1在中，求c. （举一反三）思考1：在上面求出了之后，如何进一步解这个三角形？（由学生讨论，有什么方法？）求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（学生板书）解法一：cos解法二：sin又，即思考2：两种方法有什么利弊？心得：（由学生表述）用余弦定理，可以根据角的余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂；用正弦定理计算相对较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小.所以，一

8、般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，以免作进一步的讨论.【设计意图】本题的解答过程要用到上节课的正弦定理，同时涉及到两个定理，综合性较强.设计此题主要是让学生拓宽视野，巩固提高.【简要实录】教师确实要解放思想充分相信学生，课堂上，学生们自己去比较总结两种方法，总结收获很到位：【课件投影】练习 在中，已知，解这个三角形.【设计意图】老师不进行过多讲解，而是让课本去给学生讲，用课本的规范语言去完整学生的思路.【简要实录】学生看书，老师走到学生当中，进行个别指导.下面再思考这两个题目：【课件投影】.（已知两边和其夹角，勾股定理）.（已知两边和夹角，余弦定理）思考：勾股定理指出了直角三角形中

9、三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时 若ABC中，C<，则，这时 若ABC中，C>，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。【设计意图】学生找到新（余弦定理）旧（勾股定理）知识之间的联系，让其旧的认知结构得到迁移、充实.【简要实录】学生通过思考之后得出当A=90°时，余弦定理就是勾股定理，从而找到两者的内在联系.思考：能不能利用这个结论来判断三角形的形状呢？ 【课件投影】例2在中，此三角形是什么形状？（学生口答）练习在ABC中，若，求角A（答案：A=120）.课时小结（由学生自己体会，教师概括）（1）余弦弦定理及其变形；（2