2020届广东省江门市高三下学期4月模拟数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2222 页2020 届广东省江门市高三下学期 4 月模拟数学（理）试题一、单选题1 1 已知 i i 是虚数单位，复数 z z 满足z 3 4i 1 i，则 z z 的共轭复数在复平面内表示 的点在（）A A 第一象限B B.第二象限C C 第三象限D D 第四象限【答案】A A【解析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出.【详解】复数 z z 满足z 3 4i71 .25z 7 i, zi2525 .-71 .zi252571则复平面内表示 z z 的共轭复数的点，在第一象限.25 25故选：A A 【点睛】此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析

2、，关键在于熟练掌握运算法则,根据几何意义确定点的位置 f412 2 若函数 f f（x x）是幕函数， 且满足3，则f的值为（f 22) )11A A - 3 3B B.C C 3 3D -33【答案】D D指数后可求f1 2【详解】设f xxa，则由f 43，得 3f 22a1 i 3 4i【解析】设出幕函数的一般形式，从而把f 4TT3转化为关于幂指数的方程，解出幂第2 2页共 2222 页xa前的系数为 1 1，解题要关注它3 3.已知直线h : m4 x4y 10和l2: m4 xm 1 y 10,若hl2，则实数m的值为1亠112A A . 1 1 或3B B.或 -C C.2 2

3、或6D D.或_2323【答案】C C【解析】利用直线与直线垂直的性质直接求解.【详解】直线11: m 4 x4y 10和l2: m 4 xm1 y 1 0,若l1l2,m 4 m 44m10，得m24m 120，解得m2或m 6,实数 m m 的值为2或6故选：C.C.【点睛】 本题考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.4 4.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在九章算术注中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础 刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正 30723072 边形，并由此而求得了圆周率为3.14153.1415 和 3.14163.

4、1416 这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据 如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.82690.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（）（参考数据：1所以2a3，故f丄2-.故选 D.D.3【点幕函数的一般形式是y xa，其定义域、奇偶性、单调性等性质是随着a而变化，而且第3 3页共 2222 页0.82692.0946)B B. 3.14173.1417C C. 3.14153.1415D D . 3.14133.1413第4 4页共 2222 页【答案】A A【解析】 先设圆的半

5、径为r，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率,即可得出结果 【详解】故选 A A【点睛】则下列判断正确的是n nA A .P是假命题B B.q是假命题C C.Pq是假命题D D.P q是真命题【答案】D Dg龚P真具假奠莫X,212552由x x 1 (x )，所以命题 p p:x R,x x 1 0为假命题；244由sinx cosx 2sin x ，当x时sinx cosx2.44所以命题 q q:x R, sinx cosx2是真命题.由以上可知：P是真命题；q q 是真命题；p pVq q 是真命题；p q是真命题.故选 D D.设圆的半径为r，则圆的面积为r2，正六边形的

6、面积为3、32r,还2因而所求该实验的概率为2r2r泸8269，则3.320.8263.1419. .本题主要考查与面积有关的几何概型,熟记概率计算公式即可，属于常考题型5 5.已知命题p:x R,x2x 10;命题q:xR, sinxcosx 2.第5 5页共 2222 页6 6.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.531.5 尺，前九个节气日影长之和为85.585.5 尺，则小满日影长为（ ）A A . 1.51.5 尺B B. 2.52.5 尺C C

7、 . 3.53.5 尺D D . 4.54.5 尺【答案】C C【解析】 结合题意将其转化为数列问题，并利用等差数列通项公式和前n n 项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果. .【详解】解：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列an, ,冬至、立春、春分日影长之和为31.531.5尺, ,前九个节气日影长之和为85.585.5 尺，31a13da16d 31.5S99 89a1d285.5解得耳13.5, ,d15小满日影长为13.5 10 （ 1） 3.5（尺）. .故选 C.C.【点睛】本题考查等差数列

8、的前 n n 项和公式，以及等差数列通项公式的运算等基础知识，掌握各公式并能熟练运用公式求解，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题. .7 7.下列四个命题：在回归模型中，预报变量y y 的值不能由解释变量 x x 唯一确定；若变量 x x, y y 满足关系y 0.1x 1，且变量 y y 与 z z 正相关，则 x x 与 z z 也正相关；在残 差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；以模型y cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z In y，将其变换后得到线性方程z 0.3x 4，则c e4，k 0.3.其中真命题的个数为（）A A . 1

9、 1 个B B. 2 2 个C C . 3 3 个D D . 4 4 个【答案】C C第6 6页共 2222 页【解析】直接利用回归直线的方程的应用，相关的变量关系的应用，残差图的应用分析 结果.第7 7页共 2222 页【详解】 下列四个命题：1在回归模型中，预报变量 y y 的值不能由解释变量 x x 唯一确定；根据回归模型中的变量关系，正确.2若变量 X X，y y 满足关系y 0.1x 1，且变量 y y 与 z z 正相关，则 x x 与 z z 也正相关；应该是负相关.故错误.3在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；即越接 近于回归直线的距离越小，故正

10、确.4以模型ycekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z In y,将其变换后得故选：C C.【点睛】此题考查回归分析和相关概念辨析，涉及非线性回归模型的处理方法以及对残差图的理解认识. .【答案】r = 2，问题得解.【详解】解得：n 6. .到线性方程z 0.3x 4，则ce4,k 0.3.故正确.n8 8.已知二项式2x J (n N*)的展开式中第 2 2 项与第 3 3 项的二项式系数之比是 2 2:5:5,则3x x 的系数为（）A A . 1414B B.14C C. 240240D D.240【解由二项展开式的通项公式为cn2xr及展开式中第 2 2 项与第3 3 项的二

11、项式系数之比是 2 2:5 5 可得:6，令展开式通项中x的指数为3，即可求得二项展开式的第r 1项的通项公式为C；n r2x由展开式中第 2 2 项与第3 3 项的二项式系数之比是可得：C：C；2:5. .第8 8页共 2222 页所以Tr 1C：2xC；26 r1rx3a第 6 6 页共 2222 页令6 2r 3，解得：r = 2,所以 x x3的系数为C：26 212240故选 C C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能 力，属于中档题.9 9 一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回,【答案】B B【解析

12、】 恰好取 5 5 次球时停止取球，分两种情况 3 3, 1 1 , 1 1 及 2 2, 2 2, 1 1,这两种情况是互 斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到结果.【详解】分两种情况 3 3, 1 1 , 1 1 及 2 2, 2 2, 1 1这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是 3 3, 1 1 , 1 1 时，试验发生包含的基本事件总数事件是35,满足条件的事件数是C31C43C21同理求得第二种结果的概率是CJC42C2263581根据互斥事件的概率公式得到P_8 色竺81 81 81 故选：B B.【点睛】此题考查根据古典

13、概型求解概率，关键在于准确分类，求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数 2x1010.设F1,F2为双曲线2yr 1 a 0,b0的左、 右焦点,b2当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5 5 次球时停止取球的概率为（58181C C 22812581这种结果发生的概率CjC43C2881P P, Q Q 分别为双第1010页共 2222 页uuui uur曲线左、右支上的点，若QF22PFi,【答案】B BQ 3c牡丄,空,c【详解】A A . J J5 53B B.3D D .辽2uuuuur- QF2cXi, yi,PFic X, yuuuuuiTQF22P Fi，cXi,

14、yi2 c x,二c %2cx,yi2y, x13c 2x,yi2yuuruuurF1Pxc,yF2PX c,y,uur uuur2 RP F2P0,X cy 0,22Fx又,y 2i, 设P x,y,Q Xi,yi,vFic,0ya由可得Pa、b22cb2c，一c代入得Q 3c2a b2c22 b2UJITUUUU0，则双曲线的离心率为（【解析】设P x, y,QXi,%c,0,F2c,0,uuuu由QF2uuir2PFi， 得xi3c 2xyi2y，由uurFiPuumF2P0，得X2y20,Pb2c ,c将点 Q Q 坐标代入双曲线方程得3c24a b2即可求F2c,0第1111页共 2

15、222 页第1212页共 2222 页将点 Q Q 坐标代入得3c22a4a . b2CC2，? ?9c426a2c217a409e426e217 02e1（舍去）2，e17e1793故选:B B.【点睛】式求解离心率1111.四棱锥P ABCD,AD面 PABPAB, BCBC 丄面 PABPAB,底面 ABCDABCD 为梯形，AD 4,A A 线段B B 圆的一部分C C 椭圆的一部分D D 抛物线的一部分【答案】B B【解析】在平面 PABPAB 内，以 ABAB 所在直线为 x x 轴，ABAB 的中垂线为 y y 轴，建立平面直角坐标系，写出点 A A, B B 的坐标，根据条件得

16、出RtVAPD : RtVCPB，进而得出AP AD 4 1、一,，设出点 P P 的坐标，利用两点间的距离公式，代入上式化简，根据BP BC 8 2轨迹方程，即可得到结论.【详解】在平面 FABFAB 内，以 ABAB 所在直线为 x x 轴，ABAB 的中垂线为 y y 轴，建立平面直角坐标系.设点P x, y，则由题意可得A 3,0,B 3,0. AD ,BC,AD 4, BC 8,AB 6,APD CPB,此题考查求双曲线的离心率,关键在于根据题目所给向量关系找出等量关系,构造齐次BC 8,AB 6,APDBPC，满足上述条件的四棱锥顶点 P P 的轨迹是（第1313页共 2222 页

17、RtVAPD : RtVCPB,.APAD4 1BPBC8 2即BP24AP2，故有222x 3y 4x3y整理得：x 52 2A O丰人冋y16,表示 个圆.由于点 P P 不能在直线 ABAB 上（否则，不能构成四棱锥），故点 P P 的轨迹是圆的一部分，故选：B B.【点睛】此题考查立体几何中的轨迹问题，关键在于对所给等量关系进行等价转化，结合平面解析几何知识，利用阿波罗尼斯圆得到结论 二、解答题1212 已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁 在某天的某个时段，他们每人各 做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料.若下面 4 4 个说法都是正确的：甲

18、不在查资料，也不在写教案；乙不在打印材料，也不在查资料；丙不在批改作业，也不在打印材料；丁不在写教案，也不在查资料.此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料根据以上信息可以判断A A 甲在打印材料B B 乙在批改作业C C.丙在写教案D D 丁在打印材料【答案】A A【解析】 试题分析：把已知条件列表如下:打印長軽aVy1-丁X若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案 还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾.第1414页共 2222 页XXJZ.XX43C3CTX所以甲一定在打印资料，此时丁在改作业，乙在写教案，丙在查资料【考点】简单的合情推

19、理1313 .在VABC中，边a a, b b, c c 所对的角分别为A A，B B，C C,已知a c，VABC的面积为2.2，sinA Bsin C2si nA,b3(1)求sin B的值;(2(2)求边 a a,c c 的值.【答案】 （1 1）sin B(2(2)a 3, c c【解析】 （1 1）由已知结合和差角公式进行化简可求cosB，进而可求sinB；（2 2） 由已知结合余弦定理及三角形面积公式即可求解.【详(1)由sin A2B sinC sin A,C3得sin AcosBcosAsin B sin A B2sinA,3即2sin AcosB2sinA,3冗二sin AB

20、n，sin B(2)由余弦定理得：b2a2c22accosB22c ac,3得a22ac 9,3又TS/ABCacs inB23，或第1515页共 2222 页由解得/ a c,【点睛】恒等变换求解三角函数值，利用面积关系建立等式求解三角形见解析；(n)3又因为PA PD，所以PD平面PAB;(n)取AD的中点0，连结PO,CO,因为PA PD，所以PO AD. .又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD,如图建立空间直角坐标系O xyz，由题意得,A 0,1,0,B 1,1,0,C 2,0,0,D 0, 1,0,P 0,0,1. .此题考查根据面积公式和余弦定理求解三角形,关键在于熟练掌

21、握定理公式，结合三角1414如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD,PA PD,PAPD,AC CD . 5. .PB与平面PCD所成角的正弦值. .【解析】分析：(1 1)先证明ABPD,PAPD,再证明PD平面PAB.(2).(2)禾U用向量方法求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. .详解：(I)因为，平面PAD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD，所以ABPD,所以P0平面ABCD. .因为CO平面ABCD，所以PO CO. .因为ACCD，所以CO AD. .(n)求直线第1616页共 2222 页设平面PCD的法向量为vx, y,z，则n PDvPC0，即0y

22、z2x z令z 2，则x 1,y 2. .所以n1, 2,2. .uuv又PB1,1, 1，所以cos(n,PB)nuuvPBi i nlVULAi所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为_3.3点睛：(1(1)本题主要考查线面位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2).(2)直线和平面所成的角的求法方法一：(几何法)找 作(定义法)证(定义)指 求(解三角形)，其关键是找到直线在，平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形 方法二：(向量法)所成的角1515 .已知动点P到直线l : x2的距离比到定点F(1,o)的距离多 1.

23、1.(1) 求动点P的轨迹E的方程(2) 若A为(1 1)中曲线E上一点， 过点A作直线I的垂线， 垂足为C,过坐标原点0的直线OC交曲线E于另外一点B，证明直线AB过定点，并求出定点坐标. .【答案】(1 1)y24x(2 2)证明见解析，定点坐标为(2,0)【解析】 利用直接法，求动点P的轨迹E的方程。设出直线AB方程以及 代B,C，由O、C、B三点共线可得ty1y2my12y20,sinuivvAB ?nuuu、，uuvv，其中AB是直线l的方向向量，AB nuuun是平面的法向量，是直线和平面22第1717页共 2222 页t恒成立, m 2. .即直线AB过定点，定点坐标为（2,0）

24、. .将直线AB方程与y 4x联立，可得y 4ty 4 m 0,利用韦达定理，可得4t(2 m) (m 2)yi0,所以m2，得出直线过定点(2,0)。【详解: (1 1)设点P(x, y)，则|x2| 11)2整理得整理得2时，x 1 (x 1)2y24x. .即(x1)2(x 1)2(x- 1),2时，x 3 (x 1)2y2，即(3)2(x 1)2y2(x,3),2y 8x 8，由8x 80知x1，矛盾，舍去. .所求轨迹方程为y24x. .(2)设AB: x ty m,Ax1$,Bx2,y2，则C2,yi. .由O、C、B三点共线知汨i2y20，即ty2m yi2y20. .所以ty1

25、y2my12y20. .x ty m由2y得y24ty 4m 0,4x所以2牝y24m.由得4tm m 2 4t %0,即4t (2 m) (m2） y10,此表达式对任意第1818页共 2222 页当式子里面出现y2，则设出直线联立方程，利用韦达定理代入计算，本题是一道中等难度的综合体。直接法是求轨迹方程的重要方法。22第1919页共 2222 页x1616 .已知函数f x e sin x ax. .f x在0,上单调递增，求实数a的取值范围;43a 1时，求证：对于任意的x 0,，均有 f f x x(1(1)若(2(2)若【答(i)(i)a 1;(2);(2)证明过程见解析【解(1)(

26、1)求ffx)在0,二上单调递因此求出使f (x)0的 a a 的取值范围即可；对函数3在0,上的4单调性3x 04，均有f x 0. .【详(1)f (x)X .xx2.e sinx e cosx a一2esinx2cosx2 2exs inf (x) 2exsinx2e4xcos x2exhL2sin x2.2 cos2x42excosx，cosx0,ex0,则f (x) 0，所以函数f(X)在0,4上单调递增,若f x在0,上单调递增，则f (x)40在0,4上恒成立,所以f(0)2 sin a 1 a 0(2(2)由(1)(1)知f (x).2exsin x 42excosx，第202

27、0页共 2222 页43第2121页共 2222 页【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，指数与指数函数，三角函数以及函数综合，属于难题 1717 . 20192019 年 7 7 月 1 1 日到 3 3 日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球0,时，ex0恒成立,40,)时，cosx 0，此时f (x)0；当2x时，f(X)cos 023,时，cosx 0，此时f (x)24所以函数f (x)在0,0,n) )上单调递增，在上单调则f (0)e2则函数f上有且仅有一个零点,4设该零点为则X 0, Xo)时，f(x) 0，x3X。，时，f (x) 0,4所以函数 f(x)f(

28、x)在O,Xo)上单调递增,3x0,上单调递减,4因为f(0) 0,0 0 时，f1时,3a2583a25因为2583a258所以34因为f 4f (0)，所以0,时,4f (x)minf (0)即对任意的x30盲，均有f(x) 0. .第2222页共 2222 页汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善. 某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一 款新能源汽车，并在出厂前对 100100 辆汽车进行了单次最大续航里程 （理论上是指新能源 汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程） 的测试.现对测试数据进行 分析，得到如图的频率分布直方图.（1 1）估计这 100100 辆汽车的单次最大续

29、航里程的平均值X X （同一组中的数据用该组区间 的中点值代表）；（2 2） 根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程X X 近似地服从 正态分布N ,2,经计算第（1 1）问中样本标准差 s s 的近似值为 5050.用样本平均数x作为 的近似值，用样本标准差 s s 作为 的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在 250250 千米到 400400 千米之间的概率；（3 3） 某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停1在 胜利大本营”，则可获得购车优惠券已

30、知硬币出现正，反面的概率都是丄，方格2图上标有第 0 0 格、第 1 1 格、第 2 2 格第 5050 格遥控车开始在第 0 0 格，客户每掷一次 硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k k 到k 1）,若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k k 到k 2）,直到遥控车移到第 4949 格（胜利大本营）或第 5050 格（失败大本营）时，游戏结束设遥控车移到第n n 格的概率为 巳，试证明PnPn 11 n 49, n N*是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.参考数据：右随机变量服从正态分布N ,2，则 P P0.68270.6827 ,P P2

31、 2 0 0),过点P( 2, 4)的直线|的参x= 2+2,2数方程为- (t t 为参数)，直线I与曲线 C C 相交于 A A , B B 两点.y= 4+(I)写出曲线C C 的直角坐标方程和直线I的普通方程;(n)若|PAPB |AB |2，求a的值.【解析】试题分析：(I)根据第2626页共 2222 页直线I的参数方程代入曲线C的直角坐标方程-中，得t2,2(a 8)t 4(a 8)0, ,由韦达定理有tit?；2(a 8),tit?4(a8)解之得：a 2或a 8(舍去)试题解析：(I)由si n2a cos (a 0)得2si n2acos (a0), ,二曲线C的直角坐标方

32、程为-直线I的普通方程为y x 2.(n)将直线|的参数方程代入曲线C的直角坐标方程小中，得t2,2(a 8)t 4(a 8)0, ,设A B两点对应的参数分别为t1,t2, ,则有t1t2- 2(a 8),t1t24(a 8).2 2 2PA PB AB , (t1t2)t, ,即(t1t2)5t1t2.a)220(8 a),a26a 160.解之得：a 2或a 8(舍去)，二a的值为2.【考点】极坐标方程化为直角坐标，参数方程化普通方程，直线参数方程几何意义1919 .选修 4-54-5 :不等式选讲1已知函数f xx ax aa 0(1) 当a 2时，求不等式f x 3的解集；1(2) 证明：f m f4. .m11卡1【答案】(I)x|x或x; ;(n)见解析. .44【解析】分析：(1 1 )利用零点分类讨论法解不等式f x 3，即得不等式f x 3的解集.(2).(2)利用绝对值不等式和基本不等式证明. .1详解：(I)当a 2时，f x x 2 x -,2x第2727页共 2222 页11解得x或x4所以，不等式的解集为( (n n)证明:1=m a1111