小学四年级-运算定律：-乘法运算定律-讲义

1、精选优质文档-倾情为你奉上运算定律 第 2 节 乘法运算定律【知识梳理】1.运算定律的发现及验证在实际的计算中，当我们对一个算式进行变形的时候，如交换算式中某两个数字的位置或者给算式添上或去掉括号，这时不影响算式的结果我们就可以提炼出一个通用的运算规律，从而使计算更加简便。我们称这样的规律为运算定律。2.用字母表示运算定律在数学中通常用字母表示运算定律，通常用小写字母a，b，c等代表代表算式中的数字，用字母表示运算定律能够达到更直观的效果。3.乘法交换律两个因数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示乘法交换律：如果用a、b分别代表一个因数，那么乘法交换律就可以表示为：a×b=b&#

2、215;a。4. 乘法结合律三个数相乘，如果后两个数相乘能使计算简便一些，就先把后两个数相乘，再与第一个数相乘积不变。用字母表示为（a×b）×c=a×（b×c）5.乘法分配律两个数的和与一个数相乘，可以先把他们与这个数分别相乘再相加。用字母表示为：（a+b）×c=a×c+b×c当我们遇到求两个积的和，而这两个积中正好有相同的因数时，我们就可以运用乘法分配律，用相同的因数乘其他两个数的和。【诊断自测】一、乘法交换律和乘法结合律1.填空（1）4×25=25×4，也就是说交换两个因数的位置后，积（ ），这叫（

3、），可以用字母表示为（ ）（2） （25×5）×2=（ ）、25×（5×2）=（ ），所以（25×5）×2=25×（5×2），像这样三个数连乘时先把前两个数相乘，或者先乘后两个数积不变这叫乘法( )，用字母表示为（ ）。（3） 交换两个因数的位置（ ）不变，这叫乘法（ ），用字母表示为（ ）。（4） 三个数相乘时，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，这叫做乘法（ ），用字母表示为（ ）。2.根据乘法运算定律在， 里填入适当的数。（1） 15×16=16× （2） 25×7&

4、#215;4= × ×7（3） （60×25）× =60×（ ×8）（4） 125×（8× ）=（125× ）×14（5） 3×4×8×5=（3×4）×（ × ）3. 应用题学校有教学楼4层，每层有7间教室，每间教室要配25套双人桌椅，学校一共需要购进多少套双人桌椅？2、 乘法分配率1. 用竖式计算105×2428×35108×152. 观察算式并填空（4+2）×25 4×25+2

5、15;25=6×25=100+50=150=50计算后发现：（4+2）×25和4×25+2×25的结果是（ ），也就是说两个数的和与一个数相乘，可以先把他们与这个数分别相乘，再把结果相（ ），这叫乘法分配律，用字母可以表示为（ ）。3. 判断正误，正确画“”，错误画“×”56×（19+28）=56×19+28 （ ）32×（7×3）=32×7+32×3 （ ）64×64+36×64=（64+36）×64 （ ）4. 用乘法分配律计算 16×277

6、3×16 47×1533×15 【考点突破】类型一: 加法交换律例1.同学们参加植树活动，参加植树的一共25个小组，每个小组中4人负责挖坑种树，负责挖坑种树的一共多少人？答案:25×4=100(人) 或 4×25=100（人）解析：根据已知条件有25个小组，每个小组里有4人挖坑种树，求负责挖坑种树的一共多少人，也就是求25个4是多少，用乘法计算，列式可发现25×4=4×25，交换因数的位置乘积不变，这是乘法交换律。例2.计算 4×123×25答案： 4×123×25=4×25

7、×123=100×123=12300解析：如果我们按照四则混合运算的运算顺序去计算这道题，是比较麻烦的，不妨认真观察一下这道题中的数字的特点，会发现 4和25相乘是100，这样就会使我们的计算变得简便许多，所以我们可以利用乘法交换律交换123和25的位置，先计算4×25再乘123.类型二：乘法结合律例3.同学们参加植树活动，参加植树的一共有25个小组，每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水。一共要浇多少桶水？答案：解法一：25×5×2=125×2=250（桶）答：一共要浇250桶水。解法二：25×（5×2）=25

8、5;10=250（桶）答：一共要浇250桶水。解析：如果是先求一共植多少棵树在求一共浇多少桶水，则选用方法一，25×5=125（棵），125×2=250（桶）；如果是先求每组要浇多少桶水，再求一共要浇多少桶水，则选用方法二，5×2=10（桶），25×10=250（桶）。相比之下，方法二比方法一计算要简便一些。例4.计算 4×6×25×7=4×25×6×7=（4×25）×（6×7）=100×42=4200类型三：乘法分配律例5.同学们参加植树活动，一共25个

9、小组，每组里4个人负责挖坑种树，2个人负责抬水浇树，一共有多少名同学参加了这次植树活动？答案：解法一：（4+2）×25=6×25=150（人） 答：一共150人参加了此次植树活动。解法二：4×25+2×25=100+50=150（人） 答：一共有150人参加了此次植树活动。解析：如果先求出每组多少人再求出植树活动的总人数，可选用第一种方法，4+2=6（人），6×25=150（人）。如果先求出挖坑种树的有多少人，再求出抬水浇树的有多少人，最后求出总人数，则选用第二种方法，4×25=100（人），2×25=50（人），100+5

10、0=150（人）。相比之下，第二种方法的计算比较简便。例6.计算 36×68+68×64 25×（4+40）答案： 36×68+68×64 25×（4+40）=（36+64）×68=25×4+25×40=100×68=100=1000=6800=1100解析：在计算之前首先要观察题目的特点，然后运用运算律达到简便运算的目的。第一题中，68是相同的因数，36和64相加能凑整百，所用乘法分配律将原式写为“（36+64）×68”在第二题中，40×25和4×25都能凑出整百

11、整千，所以利用乘法分配律将原式改写为“25×4+25×40”类型四：运算律的综合运用及知识延伸例7.计算 86×18+12×21答案： 86×18+12×21=86×18+6×2×3×7=86×18+（6×3）×（2×7）=86×18+18×14=18×（86+14）=18×100=1800解析：把12分解成2×6，把21分解成3×7，利用结合律得到14×18，这样就出现了相同因数，再利

12、用分配律求解。例8.计算56×5436×76答案：56×54=（5+1）×5×100+6×4=302436×76=（7×3+6）×100+6×6=2736解析：观察算式“56×54”不难发现，在这个两位数乘以两位数的算式中，56和54的十位上的数字都是5，个位上的数字虽然不同, 但是相加得10，我们把这种情况叫做“头同尾合十”，通常情况下，这样的算式的计算技巧是，用十位数字乘以它加一的和，如5×（5+1）=30，让“30”站千位和百位；用个位上的数字相乘，如“6×4

13、=24”，让“24”占十位和个位，这样得数就是“3024”。观察算式“36×76”不难发现，在这个算式中，36和76两个数个位数字相同，十位数字相加得十，这就是“尾同头合十”的情况，这种情况下，用十位数字相乘再加上各位数字，得数占千位和百位，如“7×3+6=27”，“27”占得数的千位和百位；用个位数的平方占得数的个位和十位，如“6×6=36”，“36”占得数的个位和十位，所以得数为“2736”。例9.老师让同学们做游戏，四个同学每人一个数字卡，四个数字的乘积是，你知道赵冬拿的数字卡片是多少吗？ 李华 张兵 赵冬杨兰答案： 25×4=100答：赵冬拿的数

14、字卡片上的数字是4.解析：在已知的三个数中，125×8=1000，则剩下的25应该和一个数相乘得100，这样才能够得到1000×100=。例10.在 里填上适当的数167×2+167×3+167×5=167×28×225-2×225-6×225= ×22539×8+6×39-39×4= ×答案：167×2+167×3+167×5=167× 1028×225-2×225-6×225= 20

15、 ×22539×8+6×39-39×4= 39 × 10解析：乘法分配律不仅可以表示两个数之和与一个数相乘，还可以表示多个数的和或差与一个数相乘，其字母表示可以拓展为：a×ba×ca×d=a×（bcd），题中左边的式子可以转化为167×（2+3+5）、（28-2-6）×225、39×（8+6-4）。【易错精选】1填空125×18×8（ ）×（ ）×（ ）40×15×25×6（ ）×（ ）×

16、;（ ）×（ ）58×1442×14（ ）（ ）×14133×99133（ ）（ ）×（ ）28×5228×2（ ）（ ）×（ ）45×2045×445×（ ）（ ）73×20173（ ）（ ）×（ ）2. 用简便方法计算(18080)×25 25×32 36×99 265×99265 125×25×32 101×87 72×125 3. 应用题（1）修一段公路，甲队每天修24

17、0米，乙队每天修的比甲队少60米，两队合修25天，共修多少米？（2）一捆电线长800米，第一次用去120米，第二次用去的是第一次的3倍，还剩下多少米?（3）师徒二人共同加工一批机器零件，师傅每小时加工52个，徒弟每小时加工50个，两人同时开始工作，8小时后共加工多少个零件？（两种方法解答） 【精华提炼】知识点一：乘法交换律（1） 计算时要观察算式中有没有相乘等于整十整百的数，运用交换律，先计算这些相乘能等于整十整百的数，会使计算变得更简便（2） “头同尾合十”与“尾同头合十”例如：56×54，为头同尾合十的情况，计算时可以写为： 56×54=（5+1）×100+（

18、6×4）=3024 65×45，为尾同头合十的情况，计算时可写为： 65×45=（6×4+5）×100+5×5=2925知识点二：乘法结合律（1） 乘法结合律的字母表示为：（a×b）×c=a×（b×c）（2） 乘法交换律和乘法结合律不限于两个或三个因数相乘，只要是连乘的形式，三个以上的因数也可以用乘法交换律和乘法结合律。知识点三：常用的特殊值（1）像125×8=1000和25×4=100,50×2=100，25×8=200这样的运算在简便运算中经常用到，需

19、要熟记。知识点四：乘法分配律（1） 巧解简便运算的关键在于活用运算律，需要注意的是乘法分配律中只强调了两数之和乘以一个数的情况，其实两数之差乘以一个数的时候也会发生类似的情况，如（40-4）×25=40×25-4×25=1000-100=900，用字母表示为：（a-b）×c=a×c-b×c（2） 因为乘法具有交换律，所以两数之和乘以一个数和一个数乘以两数之和的结果是一样的，所以有：（a+b）×c=c×（a+b）=a×c+b×c，两数之差的情况也类似。【本节训练】1判断正误正确画“”，错误画“&#

20、215;” 1） 35×1635×2×8 （ ） 2） 102×49100×492 （ ） 3） 17×91917×100 （ ） 4） 102×23（1002）×23100×232×23 （ ） 5） 25×3425×66（3466）×（2525） （ ）2.用简便方法计算16×125×8×6 25×104 65×9965 35×3636×65 98×56 (25025)&#

21、215;40 3.应用题（1）学校订了两箱学具，每箱有25包，每包里有4套，共计1200元；你能算出每套学具多少元吗？（2）学校的花圃长30米，宽25米，如果在花圃的四周围上篱笆，需要多少米的篱笆？如果每平方米大约种20棵郁金香，这个花圃可以种多少棵郁金香？4.请根据下表计算出2006年全年有多少天？ 2015年各月天数统计表月份一二三四五六七八九十十一十二天数312831303130313130313031【基础巩固】1. 填空（1） 乘法交换律：交换（ ）的位置，（ ）不变，用字母表示为（ ）。（2） 乘法结合律：三个数相乘，先乘（ ）或者先乘（ ），（ ）不变。用字母表示为（ ）。（3）

22、乘法分配律：两个数的（ ）与一个数（ ），可以先把他们与这个数分别（ ）再（ ），用字母表示为（ ）。2.根据题意列综合算式 1）在运动会开幕式上进行大型团体操表演，一共有8个方阵，每个方阵有15行，每行有25个人，一共有多少人参加表演？ 先算一共有多少行，再算一共有多少人参加表演？（ ） 先算每个方阵多少人，再算一共有多少人参加表演?（ ） 2）冷饮店运来10箱汽水和20箱橘子水，汽水和橘子水每箱都是24瓶，两种饮料一共多少瓶？ 先算一共运来汽水和橘子水多少箱，再算两种饮料一共有多少瓶？ 综合列式是（ ）。 先分别算出汽水和橘子水各运来多少瓶，再算算两种饮料一共有多少瓶？ 综合列式是（ ）。

23、3. 应用运算律计算下列各题4×43×25 51×5151×49 97×3603×360 69×1818×314.应用题（1）每个同学要用9个练习本，四年级（1）班有52人，四年级（2）班有49人，这两个班共需要多少本练习本？你会怎样算？（2）一个游泳池长50米，小强每次都游9个来回，小强每次游多少米？【巅峰突破】1.利用运算律下列式子可写为：a×105-6×a+a=_ a×9+9×b-9×(a+b)=_ 2. 利用运算律计算，怎样简便就怎样算 97×23

24、+23+23+23999×111333×66768×2433×2424 （2327）×25（7773）×25 9999×22223333×3334125×88 625×24 17×4851×1717123499100参考答案【诊断自测】一、乘法交换律和乘法结合律1.填空（1）4×25=25×4，也就是说交换两个因数的位置后，积（相等），这叫（乘法交换律），可以用字母表示为（a×b=b×a）（5） （25×5）×2=（

25、25×（5×2）、25×（5×2）=（25×5）×2），所以（25×5）×2=25×（5×2），像这样三个数连乘时先把前两个数相乘，或者先乘后两个数积不变这叫乘法(结合律)，用字母表示为（a×b）×c=a×（b×c）。（6） 交换两个因数的位置（乘积）不变，这叫乘法（交换律），用字母表示为（a×b=b×a）。（7） 三个数相乘时，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，这叫做乘法（ 结合律），用字母表示为（a×b）&#

26、215;c=a×（b×c）。2.根据乘法运算定律在， 里填入适当的数。（1） 15×16=16× 15 （2） 25×7×4= 25 × 4 ×7（3） （60×25）× 8 =60×（ 25 ×8）（4） 125×（8× 14 ）=（125× 8 ）×14（5） 3×4×8×5=（3×4）×（ 8 × 5 ）4. 应用题学校有教学楼4层，每层有7间教室，每间教室要配25套双人

27、桌椅，学校一共需要购进多少套双人桌椅？ 4×7×25=4×25×7=100×7=700（套）答：一共需要700套双人椅子。3、 乘法分配率5. 用竖式计算105×2428×35108×15 6. 观察算式并填空（4+2）×25 4×25+2×25=6×25=100+50=150=50计算后发现：（4+2）×25和4×25+2×25的结果是（一样的），也就是说两个数的和与一个数相乘，可以先把他们与这个数分别相乘，再把结果相（加），这叫乘法分配律，用

28、字母可以表示为（a×（b+c）=a×b+a×c）。7. 判断正误，正确画“”，错误画“×”56×（19+28）=56×19+28 （×）32×（7×3）=32×7+32×3 （×）64×64+36×64=（64+36）×64 （）8. 用乘法分配律计算 16×2773×16 47×1533×15 =16×（27+73）=（47+33）×15=16×100=80×15=

29、1600=1200【易错精选】1填空，怎样计算简便就怎样填125×18×8（125）×（8）×（18）40×15×25×6（25）×（40）×（15）×（6）58×1442×14（58）（42）×14133×99133（99）（1）×（133）28×5228×2（52）（2）×（28）45×2045×445×（20）（4）73×20173（201）（1）×（73）4.

30、 用简便方法计算(18080)×25 25×32 =（200+20+40）×25=25×4×8=200×25+20×25+40×25=100×8=5000+500+1000=800=5500+1000=6500 36×99 265×99265 =36×(100-1)=265×（99+1）=36×100-36=265×100=3600-36=26500=3564 125×25×32 101×87 =125×2

31、5×4×8=（100+1）×87 =（125×8）×（25×4）=100×87+1×87 =1000×100=8700+87 =8787 72×125 =8×9×125=（8×125）×9=90005. 应用题（1） 修一段公路，甲队每天修240米，乙队每天修的比甲队少60米，两队合修25天，共修多少米？（240+240-60）×25=420×25=4×105×25=（4×25）×105=1050

32、0（米）答：共修10500米。（2） 一捆电线长800米，第一次用去120米，第二次用去的是第一次的3倍，还剩下多少米? 800-（120+120×3）=800-120×（3+1）=800-120×4=800-480=320（米）答：还剩320米。（3） 师徒二人共同加工一批机器零件，师傅每小时加工52个，徒弟每小时加工50个，两人同时开始工作，8小时后共加工多少个零件？（两种方法解答） 方法一： （52+50）×8=102×8=（100+2）×8=8×100+2×8=800+16=816（个）答：8小时后共加工8

33、16个零件。【本节训练】1判断正误正确画“”，错误画“×” 1） 35×1635×2×8 （） 2） 102×49100×492 （×） 3） 17×91917×100 （×） 4） 102×23（1002）×23100×232×23 （） 5） 25×3425×66（3466）×（2525） （×）2.用简便方法计算 16×125×8×6 25×104 65×996

34、5 =（125×8）×（16×6）=25×（100+4）=65×（99+1）=1000×96=25×100+25×4=65×100=96000=2500+100=6500=2600 35×3636×65 98×56 (25025)×40 =（35+65）×36 =（100-2）×56=250×40+25×40=100×36 =100×56-2×56=10000+1000=3600 =5600-11

35、2=11000 =54883.应用题（1）学校订了两箱学具，每箱有25包，每包里有4套，共计1200元；你能算出每套学具多少元吗？ 1200÷（25×4）=1200÷100=12（元）答：每套12元。（2） 学校的花圃长30米，宽25米，如果在花圃的四周围上篱笆，需要多少米的篱笆？如果每平方米大约种20棵郁金香，这个花圃可以种多少棵郁金香？（30+25）×2=30×2+25×2=60+50=110（米） 30×25×20=30×（25×20）=30×1000=30000（棵）答：需要1

36、10米篱笆，30000棵郁金香。4.请根据下表计算出2006年全年有多少天？ 2015年各月天数统计表月份一二三四五六七八九十十一十二天数312831303130313130313031 31×7+30×5+28=217+150+28=337+28=365答：2015年全年365天。【基础巩固】2. 填空（3） 乘法交换律：交换（因数）的位置，（乘积）不变，用字母表示为（a×b=b×a）。（4） 乘法结合律：三个数相乘，先乘（前两个数）或者先乘（后两个数），（乘积）不变。用字母表示为（a×b）×c=a×（b×c）。

37、（3）乘法分配律：两个数的（和）与一个数（相乘），可以先把他们与这个数分别（相乘）再（相加），用字母表示为（a+b）×c=a×c+b×c）。2.根据题意列综合算式 1）在运动会开幕式上进行大型团体操表演，一共有8个方阵，每个方阵有15行，每行有25个人，一共有多少人参加表演？ 先算一共有多少行，再算一共有多少人参加表演？（15×8×25） 先算每个方阵多少人，再算一共有多少人参加表演?（15×25×8） 2）冷饮店运来10箱汽水和20箱橘子水，汽水和橘子水每箱都是24瓶，两种饮料一共多少瓶？ 先算一共运来汽水和橘子水多少箱，再算两种饮料一共有多少瓶？ 综合列式是（10+20）×24）。 先分别算出汽水和橘子水各运来多少瓶，再算算两种饮料一共有多少瓶？ 综合列式是（10×24+20×24）。4. 应用运算律计算下列各题 4×43×25 51×5151×49 97×3603×360 69×