系统辨识与自适应控制大作业

1、1 辨识的对象模型假设有一理想数学模型，它的离散化方程如下式所示： 式中，是服从正态分布的白噪声，为系统输入，为系统输出。现在输入信号采用4阶序列，其幅值为1。假设系统的模型阶次是已知的，即。下面采用递推最小二乘参数辨识。 2 递推最小二乘参数辨识方法 简单的最小二乘参数辨识一次性方法计算复杂，不能够进行在线辨识，而且所需要的计算存储空间很大，而很多计算都是重复的计算。为了解决这个问题，并实现在线的实时辨识，引入递推的最小二乘参数辨识。递推最小二乘参数辨识的整体思想是，最新辨识出来的参数是建立在上次辨识的参数基础上，根据最新得到的辨识数据，对辨识的参数添加了一个参数增量。下面利用数学语言对递推

2、最小二乘参数辨识方法进行描述。根据最小二乘原理，用次观测数据，得出参数向量的最小二乘估计 (1)其中，表示根据次观测数据所得到的最小二乘值计量，下表表示该符号代表次观测数据构成的矩阵。 (2)= （3）然后令，且是一方阵，它的维数取决于未知数的个数，而与观测次数无关。则 （4）式中表示第次观测数据。利用矩阵反演公式计算（4）式 （5）式中是一个标量，其求逆只是一个简单的除法。令，于是有，则最小二乘估计量的表达式可改写为，于是第次观测数据所得到的最小二乘值计量为由（4）式可知 （6）于是 （7） （8）将上述的推导过程总结如下：3 辨识过程整体上的辨识过程流程图如下图所示：图-1 递推最小二乘参

3、数辨识流程示意图详细步骤如下所示：1 在此选择4阶的M序列。这样，M序列的最大循环周期长度为15（bit）。首先利用MATLAB程序生成4阶幅值为1的M序列和服从正态分布的白噪声序列。2 根据上述的输入序列，带入待辨识的系统模型中，得到一系列对应的输出信号序列。然后根据输入和输出序列，组建辨识所需的观测矩阵。本系统的观测矩阵形式如下：3选取待辨识的参数向量为模极小的数值，选取迭代矩阵P的初值为极大的矩阵，如4 计算增益矩阵G其中 5 将上述的初值和增益矩阵G(k)代入上述的递推最小二乘参数辨识方程组中进行循环计算。直到计算的结果精度符合要求或者迭代的次数达到最大为止。4 辨识结果与分析利用ma

4、tlab对上述系统进行辨识方针，输入的M序列如下图所示： 图-2 M序列信号图辨识的结果如下图所示：图-3 递推最小二乘参数辨识结果图辨识结果与真实的系统参数对比：参数a1a2b1b2真值1.80.31.21估计值1.79950.2991.19920.9992对结果的分析：1 利用递推最小二乘参数辨识方法，能够很好的辨识出系统的参数，并且最后收敛稳定。其实，对于稳定的系统，递推最小二乘算法随着递推次数的增加，所得到的辨识结果将会越来越接近真实值。但是对于其他系统，则会存在数据饱和的现象，随着递推次数的增加，辨识结果不但不接近真实数值，反而出现发散的情况。对于这种情况，需要在递推最小二乘参数辨识

5、法的基础上进一步进行修改，得到限定记忆法和加权最小二乘参数辨识法。2 本次仿真所采用的M序列阶次很小，明显导致了参数仿真得到的递推估计曲线在开始的5秒钟内变化非常剧烈，而且非常不光滑。5 仿真源程序%利用递推最小二乘法进行参数辨识%产生M序列L=15;%M序列的周围位数y1=1;y2=1;y3=1;y4=0;%四个移位积存器的输出初始值for i=1:L;%开始循环，长度为Lx1=xor(y3,y4);%第一个移位积存器的输入是第3个与第4个移位积存器的输出的“或”x2=y1;%第二个移位积存器的输入是第3个移位积存器的输出x3=y2;%第三个移位积存器的输入是第2个移位积存器的输出x4=y3

6、;%第四个移位积存器的输入是第3个移位积存器的输出y(i)=y4;%取出第四个移位积存器幅值为"0"和"1"的输出信号，if y(i)>0.5,u(i)=-1;%如果M序列的值为"1"时,辨识的输入信号取“-0.03”else u(i)=1;%当M序列的值为"0"时,辨识的输入信号取“0.03”end%小循环结束y1=x1;y2=x2;y3=x3;y4=x4;%为下一次的输入信号做准备end%大循环结束，产生输入信号u figure(1); stem(u);grid on;title('输入信号

7、9;)% 产生白噪声A=6;x0=1;M=255;for k=1:10000 x2=A*x0; x1=mod (x2,M); v1=x1/256; v(:,k)=(v1-0.5)*2; x0=x1; v0=v1；endnum=v;k1=k;% 递推最小二乘辨识程序lamt=1;z(2)=0;z(1)=0;%取z的前两个初始值为零for k=3:15;%循环变量从3到15 z(k)=-1.5*z(k-1)-0.7*z(k-2)+u(k-1)+0.5*u(k-2)+0*num(1,k);%给出理想辨识输出采样信号 endc0=0.001 0.001 0.001 0.001'%直接给出被辨识

8、参数的初始值,即一个充分小的实向量p0=103*eye(4,4);%直接给出协方差阵初始状态P0，即一个充分大的实数单位矩阵E=0.000000005;%相对误差E=0.000000005c=c0,zeros(4,14);%被辨识参数矩阵的初始值及大小e=zeros(4,15);%相对误差的初始值及大小for k=3:15; h1=-z(k-1),-z(k-2),u(k-1),u(k-2)' x=h1'*p0*h1+1*lamt; x1=inv(x); %开始求K(k) k1=p0*h1*x1;%求出K的值 d1=z(k)-h1'*c0; c1=c0+k1*d1;%求被

9、辨识参数c p1=1/lamt*(eye(4)-k1*h1')*p0; e1=c1-c0;%求参数当前值与上一次的值的差值 e2=e1./c0;%求参数的相对变化 e(:,k)=e2; %当前相对变化列向量加入误差矩阵的最后一列 c(:,k)=c1;%把辨识参数c列向量加入辨识参数矩阵 c0=c1;%新获得的参数作为下一次递推的旧参数 p0=p1;%给下次用 if e2<=E break;%若参数收敛满足要求，终止计算 endend% %得到辨识结果，并作图a1=c(1,:); a2=c(2,:); b1=c(3,:); b2=c(4,:); %得到辨识结果ea1=e(1,:); ea2=e(2,:); eb1=e(3,:); eb2=e(4,:); figure(2);i=1:15;plot(i,a1,'r:',i,a2,'b-.',i,b1,'k-',i,b2,'g',&#