第一节定积分的概念

1、第六章 定积分本章将从实际问题入手,引入定积分的概念,在此基础上讨论定积分的计算方法.数学推理的直观性 设是连续性函数,计算由四条曲线所围成的阴影图形的面积. 直观上可以这样考虑,做一个包括该图形在内的矩形,比如矩形AabB,现在向AabB内部大量随机投点,可以统计落进阴影内部随机点的频率,即落进阴影部分的点数和落进矩形总点数之比例.该频率可以作为阴影部分面积和矩形AabB面积之比近似值.由于AabB的面积容易算出,所以阴影部分的面积,即积分的值便可以近似求出.这个直观想法,运用电子计算机可以变成现实,它的理论基础便是概念率中大数定律.现在通过概率论的想法构造模型从而实现数值计算的方法,随着电

2、子计算机的发展,已形成一种新的计算方法概率计算方法,亦称蒙特卡洛方法.该方法在许多方面都发挥了很大作用.第一节 定积分的概念与性质一、引例讨论由连续曲线,直线及轴所围成图形的面积,该图形称为曲边梯形（如图61）. 要精确地计算出曲边梯形的面积,我们采用如下的处理方法:(1) 分割 将区间 任意的分成n个小区间（记）: ,.每个小区间的长度分别记为,这样就把图62所示的曲边梯形,分割成了n个小曲边梯形.(2) 近似代替 在每个小区间上任意取一点（=1,2,n） 图61作乘积,显然,第个小曲边梯形面积,可近似的表示为 （=1,2,n）(3) 求和 用所有小曲边梯形面积近似的代替整个梯形的面积,即

3、（4）取极限 记,当趋向于零时,的极限就是,因此有 图62事实上,许多问题的解决,如:变速直线运动的路程的计算,变力作功的计算,也常利用上述步骤和方法来处理.即通过“分割近似代替求和取极限”的方法,把所求的量归结为计算具有同一结构的和数的极限.我们抽去问题的实际意义便可以得到定积分的定义.二、定积分的定义定义 设函数在区间上有界,在中任意任意插入若干分点,将区间分成个小区间,x,x.各个小区间的长度依次为.在每个小区间x,x上任取一点,作函数值与小区间长度的乘积,并作出和 （1）记,如果不论区间的分法如何,也不论小区间上的点怎样选取,只要时,和的极限值存在,则称这个极限值为函数在区间上的定积分

4、.记作.即= （2）其中叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限.叫做积分区间. 按照定积分的定义,容易看出曲边梯形的面积,就是曲边所对应的函数在上的定积分,即下面指出几点应注意的事项:（1）定积分仅与被积函数与积分区间有关的一个确定的数,与用什么字母表示积分积分变量的无关,即 =（2）函数在上满足怎样的条件,在上一定可积呢？我们给出两个充分条件定理1 设在上连续,则在上可积.定理2 设在上有界且仅有有限个间断点,则可积.在上可积.三、定积分的几何意义有定积分的定义容易看出,定级分的几何意义就是曲线,直线与轴所围成的曲边梯形的面积（图63）图63 图63 图63当

5、时,由（2）式易见,积分,这时的定积分表示曲边梯形面积的负值.（图63）对于在上函数有时取正值,有时取负值时（图63）,定积分表示在轴上方部分与在轴下方部分的各曲边梯形面积的代数和,即 =四、定积分的性质为了以后计算方便及应用方便,对定积分作如下规定:(1) 当时,=0(2) 当时,= 以上规定的合理性,从定积分定义中可直接得出.我们从定积分的定义和几何意义入手考察容易发现,定积分还具有以下几个基本性质,在此假设各性质中所引出的定积分都是存在的.性质1 常数因子可提到积分号外,即=性质2 函数代数和的积分等于函数代数和的积分,即=性质3 对于任意三个数,恒有=+上述性质,可根据定积分定义与极限

6、运算性质加以证明.性质4 在区间上,若,则由于 因为,故,且,所以上式和式的每一项都是非负的,从而它的极限也是非负的,故有由此推得性质5 如果在区间上则由于对任意分割及任意的点均有所以即性质6 （积分中值定理）设函数在区间上连续,则在该区间至少有一点存在,使得= .因为在闭区间上连续,所以它有最大值和最小值,有性质5可知 .这就是说,数值介于函数的最大值和最小值之间,有闭区间上连续函数性质可知,在区间上至少存在一点,使得=从而得到 = 积分中值定理有如下的几何解释:在闭区间上曲边梯形的面积等于同一底边,而高为的矩形面积.（如图64所示）我们把叫作函数在区间上的平均值,显然它是算术平均值概念的推广.例1 比较与的大小.解 因为时,有 有性质4可知: 例2 估计积分值. 如图64解 在区间上,由性质5可知即例3 已知圆心在坐标原点,半径为的上半圆周的曲线方程为,求定积分.解 根据非负函数定积分的几何意义, 等于由曲线、轴、直线、围成的面积A（见图6-5）。即 图6-5习题611.用定积分的几何意义说明：（1）在上，若，则；（2）在上，若，则.2.把定