第十四章重积分

1、习题14-11. 证明：若函数在矩形闭区域上可积，则在上有界.证 假设在上可积,但在上无界.则对的任何一个分割,必在某个小区域上无界.当时,任取,令,由于在上无界,即存在,使,从而 (*)另一方面,由于在上可积,取,故存在,对任一的分割,当时,的任一积分和都满足.而此与(*)式矛盾,所以,在上有界.另证假设在上可积,但在上无界.则对的任何一个分割,必在某个小区域上无界.当时,任取,令,由于在上无界,对任意的,都存在,使,从而 (*)所以 .此与在上可积的定义矛盾.2. 设在可求面积的区域上连续,证明：(1) 若在上,非负且在上不恒为零,则(2) 若在内任一子区域上都有,则在上.证 (1) 由已

2、知,存在,使.则存在,对一切,(其中),有.而在有界闭区域上非负连续,则有,其中表示为的面积.(2) 用反证法:假设在内存在一点,使,不妨设.则存在,使对一切(其中),有.这时,这与题设产生矛盾(为区域的面积).3. 证明：若在有界闭域上连续,在上可积且不变号,则存在一点使得.证不妨设,函数在有界闭区域上连续,必存在最大值与最小值,使对,有.从而.若,即对任意的,等式成立.若.由介值定理,存在,使.等式得证.4. 应用积分中值定理估计积分.解由于在有界闭区域上连续,则由中值定理,存在,使得而,且,所以.习题14-21. 计算下列二重积分：(1); (2);(3);(4);(5);(6).解 (

3、1) .(2) .(3) .(4) 令,则由可得,所以,.(说明:(4)由计算过程可知,该题目应放在第3节才对)(5) 令,由,所以,因而.(说明:(5)由计算过程可知,该题目应放在第3节才对)(6) 令,则由可得,所以,.图14-1(说明:(6)由计算过程可知,该题目应放在第3节才对)2. 改变下列积分的次序：(1),; (2)，(3); (4).解 (1)积分区域如图14-1所示.(2)根据已知累次积分知道它对应的而重积分的积分区域为.如图14-2所示.要改变积分顺序,应将积分区域分成三个型区域,所以 图14-2(3)积分区域如图14-3所示(4) 积分区域如图14-4所示,所以 图14-

4、33. 设在上连续，为常数.证明：(1);(2),.证 (1).图14-4(说明:在最后一个定积分中,将积分变量换成,还可得原式)(2)4. 求旋转抛物面，三个坐标面及平面所围有界区域的体积.图14-5解如图14-55. 设为定义在上的函数，若与均为可积的函数，则在上可积，且.证,而,所以.由于是一常数,因而可提到积分号的外面,于是得.6. 设在原点附近连续，求极限.解 由积分中值定理,得,其中为圆域内的一点.显然,当时,点.于是,根据函数的连续性知:.习题14-31.在下列积分中引入新变量后,试将它化为累次积分:(1),若,;(2),其中,若;(3),其中,若.解 (1),所以.(2),或,

5、或.所以.(3) 因为变换将变换成,所以2.对积分进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分,(1)当为由不等式所确定的区域,(2); (3).解 (1) 令则极坐标变换将变成,从而(2) 令则极坐标变换将变成,从而(3)令则极坐标变换将变成,从而3.用极坐标计算下列二重积分:(1),其中;(2),其中;(3),其中;(4),其中.解 (1)已在第2节中出现过!(2)令则极坐标变换将变成,从而.(3) 令则极坐标变换将变成,从而.(4) 令则极坐标变换将变成,从而.4.求由和所围立体的体积.解 立体在平面上的投影区域为,令,则.所以.5.设为连续函数,且.证明:.证 令则,于是.习题14-4

6、1计算下列三重积分(1),其中=-2,5×-3,3×0,1;(2),其中(3)，由曲面所围成；(4)，由曲面围成的位于第一卦限的有界区域.(5),其中是由与三个坐标面所围成的区域;(6),其中是由及所围成的区域.(7),其中是由所围成的区域.(8),其中为绕轴旋转形成的曲面与所围成的区域.解 (1)(2)图14-6(3) 积分区域如图14-6所示。图14-7(4)积分区域如图14-7所示（与教材的参考答案不一样,请检查）图14-8(5)积分区域如图14-8(6)积分区域如图14-9图14-9(7)积分区域如图14-10所示图14-10.(8) 积分区域如图14-11所示图1

7、4-112试改变下列累次积分的顺序:(1);(2).解积分区域,如图14-15,它在平面上的投影区域,所以;图14-15它在平面上的投影区域,所以它在平面上的投影区域,所以图14-16(2) 积分区域,如图14-16,它在平面,平面及上的投影区域分别为,以及, 所以习题14-51. 采用适当的变换计算下列三重积分：图14-17(1),由曲面围成；(2),图14-18其中由所围成；(3)，由围成；(4),由围成；图14-19(5),.解 (1) 积分区域如图14-17所示.用柱坐标变换,得图14-20(2)积分区域如图14-18所示,用先二后一法进行积分,得(3)积分区域如图14-19所示,用柱

8、坐标变换,得(与参考答案不附)图14-21(4) 积分区域如图14-20所示,用球坐标变换计算(5) 积分区域如图14-21所示,是上半单位球体,故应用柱坐标变换，则= （这是一个很有趣的题目，从题目的情况来看，使用球坐标变换应该更方便一些，但情况却恰恰相反，使用球坐标变换后的三次积分反而不好算。所以，很多问题必须具体问题具体分析，才可能选到最好的解决问题的途经）2. 设球体上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球的质量解 密度函数,则球体的质量.应用球坐标变换将球体变成,所以图14-22.3. 求由抛物面与锥面所围成的空间的体积.解 曲面围成的立体如图14-22所示,故可用柱面坐标计算.4. 设函数在上连续,证明:,其中为单位球.证令,则,所以习题14-1 求球面被柱面所截取部分曲面的面积.解曲面围成的立体如图14-23所示,上半球面的方程为.由图14-24,得.由对称性知2 求柱面与所围成立体的表面积.解曲面围成的立体在第一卦限的部分如图14-23所示,由对称性知,所围立体的表面积等于第一卦限中位于柱面上的部分的面积的16倍.这部分曲面的方程为,所以求曲面的面积.解，所以.求密度函数的均匀上半球体:的重心.解 由对称性知,重心坐标应为,而,所以,重心坐标为5.求由曲