简单的线性规划2

1、简单的线性规划一. 考纲要求：了解用二元一次不等式表示平面区域及简单的线性规划二. 重点、难点： 1. 用二元一次不等式表示平面区域2. 准确理解：（线性）约束条件，（线性）目标函数，可行解，可行域，最优解 三近年考点分析：简单线性规划考法相对稳定，主要是以填选题为主，08年开始在大题中有所体现。其考查方式主要集中在以下几个方面：根据约束条件：求最值 ； 求面积； 求值域；求整数解； 求参数；简单运用。四知识点回顾：1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）.B0时，Ax0+By0+C0，则点P（x0，y0）在直线的上方；Ax0

2、+By0+C0，则点P（x0，y0）在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax+By+C0（或0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.当B0时，Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.2. 线性规划：（1）约束条件、线性约束条件：变量x、y满足的一组条件叫做对变量x、y的约束条件，若约束条件都是关于x、y的一次不等式，则约束条件又称为线性的约束条件。（2）目标函数、线性目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数。若解析式是x、y的一次解析式，则目标函数又称线性目标函数。（3）线

3、性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。（4）可行域：满足线性约束条件的解（x、y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。（5）最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解。 3.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.

4、y0x五考点演练：1例1：已知 x,y 满足约束条件（1） 求x 2y的最值；解：设Z=x2y，则y=,易知直线过点（1，1）时Z有最大值-1，过点（1，3）时Z有最小值-5. 引申：求的最大值（答案：3）（2） 求x2+y2的最值；max=10,minx=2图1解：Z= x2+y2表示区域内的点到点O（0，0）的距离的平方，显然Zmax=(1-0)2+(3-0)2=10, Zmin=(10)2+(10)2=2.引申：求（x+1）2+(y-2)2-3的最小值；(答案：1)求点（2，-1）到平面区域的最小距离。(答案：)（3） 求的取值范围； 解：Z=表示过原点和区域内的点的直线的斜率的范围。Z

5、1,3引申：求的取值范围。 （提示：Z=，则Z3，5）（4） 求平面区域的面积； 解：S=(31)1=1引申1：已知函数，且，的导函数，函数的图象如图2所示. 则平面区域所围成的面积是( )A2 B4 C5 D8解析：考查函数与导函数的关系，函数单调性及线性规划等知识。答案：BAxDyCOy=kx+B引申2:(09安徽)若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是( )（A） （B） （C） （D） 解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，设与的交点为D，则由知，选A。 （5） 求平面区域内的整点个数；4 解:平面

6、区域内的整点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),共4个点.（6） 当a 1时，求函数f(x,y)=y-ax的最值；解:当-11时， 过点（1，3）时fmax=3-a , 过点（2，2）时fmin=2-2a(7).若在区域内有无数个点（x,y）可使Z=x+my取得最大值，则m= 解:据题意,目标函数所表示的直线应与区域的边界重合,故m=1.（8） 若点（a，b）在以上平面区域内，则点(2a-b,a+3b)到原点的最小距离是。 解：点（a，b），令 从而转化为常规解法。例2：线形规划思想的运用在一个居民小区内设计一个边长为5米的菱形喷水池，规划者要求：菱形的一条对角线长不大于6米，另

7、一条对角线长不小于6米。试问该菱形喷水池的两条对角线的长度之和的最大值为多少米？解:设两对角线的长度分别为a,b，则a,b应满足约束条件：求a+b的最大值。由线性规划知识易得a+b的最大值为14米。例3：（2007年湖南卷理14题）设集合，则（1）的取值范围是；（2）若，且的最大值为9，则的值是答案：（1） （2）解析：（1）作出图象可知的取值范围是（2）若令t=，则在（0，b）处取得最大值，所以0+2b=9，所以b=.2跟踪练习：(1).设，且，则的取值范围是.(2).已知实数x，y满足，则y-3x的最小值为；（3）.实系数方程x2+(a+1)x+a+b+1=0的两根分别为一个椭圆和一个双曲

8、线的离心率，则的取值范围是； 姊妹题：已知是三次函数f(x)=的两个极值点，且0则的取值范围是.(4)已知点A（2，1）和B（3，）在直线：的两侧，则实数的取值范围是。(5). (2009湖北) 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台。若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元(6).已知集合，则的面积为。(7). （08山东卷12）设二元一次不等式组所表示的平面区域

9、为M，使函数yax(a0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是( )（A）1,3 (B)2, (C)2,9 (D),9(8). （08陕西卷10）已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（ ）A7B5C4D3(9). （08安徽15）若为不等式组表示的平面区域，则当从2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域面积为(10). （08浙江卷17）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域的面积等于_。（11）m若，则m的范围为。(12) 已知集合A=，则实数k的取值范围是。（13）已知如果一个线性规划问题的可行域是边界及其内部，线性目标函数，在B处取得最小值3，在C处取得

10、最大值12，则下列关系一定成立的是 （ ） A、 B、 C、 D、（14）设，则满足条件，的动点P的变化范围（图中阴影部分含边界）是（ ） A B C D （15）设p:,(x、yR),q:x2+y2r2(x、yR,r0),若非q是非p的充分不必要条件,则r的取值范围是_.（16）已知不等式组表示的平面区域面积是f(a),则f(a)的图象可能是( ) A B C D(17)(09湖南) 已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆 在区域D内的弧长为 ( ) A B C D(18)(09年山东)设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的是最大值为12，则的最小值为( ).

11、A. B. C. D. 4（19）.(08年四川文) 设函数。（）求的单调区间和极值；（）若当，求的最大值。 （理）设函数f(x) =（）求的单调区间和极值；（）对任意的x，求的最大值。（20）（2009全国卷理）设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；(II)证明：跟踪练习参考答案: 1. -1,10 2. ,提示:作出图形,对f(x)=x2求导，用f (x)=3或解方程组，=0可求切点，再代如y=3x+z即可。3. (-2, )，( ,1)4.（-12，-1） 5.B，解析:设甲型货车使用x辆，已型货车y辆.则,求Z=400x+300

12、y最小值.可求出最优解为（4，2）故 . 6. 1 7.C8. B 9., 10.1 11. 12. 13.C 14.A 15. （0，16.C 17.B 18.A 解析:作出不等式表示的平面区域,当直线ax+by= z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而=, 【命题立意】:本题综合考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题. 19. 解：（文科）()略。（）根据（）及，在的最大值为4，最小值为1，因此，当时，的充要条件是，即满足约束条件，根据线性规划的知识可求得的最大值为7.(理科)（）当时，；当时，所以函数在单调增加，在，单调减少。的极小值为，极大值为。（）由0，又因为 ，所以，所以的最