南京市高三一模(数学)含答案

1、南京市2019届高三第一次模拟考试（数学）2019.011 n参考公式：1.样本数据x1,x2J|,xn的方差s2=1£ （xi -x）2 ，其中x是这组数据的平均数。n i a2.柱体、椎体的体积公式：V柱体=shV隹体=1Sh，其中S是柱（锥）体的底面面积,3h是身。一、填空题：（5分X 14=70分）1.函数y =j2x -x2的定义域是2.已知复数z满足（z2）i =1 +i （i为虚数单位），则z的模为Jx -y 2 =0,3.已知实数x, y满足Jx+y20,则z=2x + y的最小值是x _1,4.如图所示的流程图，若输入的x = -9.5,则输出的结果为5.在集合A

2、=2,3中随机取一个元素 m ,在集合B =1,2,3 中随机取一个元素n,得到点P（m,n）,则点P在圆x2+y2 =9内部的概率为 .6.已知平面向量a,b满足|a |=1,|b| = 2 , a与b的夹角为n，以a,b为邻边3作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 6场比赛中的1 4 7SS2 018.在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c,若11nA2-c ,则角A的大小为On B b229.已知双曲线C：=1（a>0,b a0）的右顶

3、点、右焦点分别为A、F,它的左准线与x轴的交 a2 b2'点为B,若A是线段BF的中点，则双曲线 C的离心率为 .10.已知正数数列 Qn对任意p,q w N*,都有apqq =ap%，若a? = 4 ,则a9 =11.已知l,m是两条不同的直线，a, P是两个不同的平面。下列命题:若 luc(,mca,l|P,m|BMc(|B； 若 l u a, l | 口 p 口 目=m,则 l |m ；若。|即|必则1|B；若 l _Ls,m|lp |日,则 m_L B .其中真命题是（写出所有真命题的序号）12.已知f (x) =log2(x2),若实数 m,n满足f (m) + f(2n)

4、=3 ,则m + n的最小值是13 .在4ABC中，已知 BC=2, AB AC =1,则 ABC面积的最大值是 .14 .若直角坐标平面内两点 P、Q满足条件：P、Q都在函数f（x）的图象上；P、Q关于原 二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）点对称，则称点对（P, Q）是函数f（x）作同一个“友好点对”）.已知函数的一个“友好点对,22x 4x 1,x ： 0,（点对（P, Q）与（Q, P）看f (x) = 2ex ,x -0,则f （x）的“友好点对”有 个.15 .（本题满分14分）已知函数f （x） =2sin（cox+5）（8>0,0 <b<n）的最小正周期

5、为 h，且f（：）=J2.5分别是（1）求以中的值；（2）若f （） =_6（0（京 冗），求cos2a的值。16 .（本题满分14分）如图，在棱长均为 4的三棱柱 ABCAB1G中，DBC和B1C1的中点.（1）求证：AD1 /平面 AB1D ;（2）若平面ABC，平面BCC1B1 , /BBC =60°,求三棱锥 B1 - ABC 的体积。17 .（本题满分14分）如图，在半彳至为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料 ABCD ,其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。（1）怎样截取才能使截得的矩形 ABCD的面积最大？并求最 大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮 A

6、BCD卷成一个以AD为母线的 圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗） ，应怎样截取，才 能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积 18 .（本题满分16分）在直角坐标系xOy中，中心在原点 O,焦点在x轴上的椭圆C上的点（2j2,1）到两焦点的距离之和为4 .3.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点,其中点A在x轴下方，且 AF =3FB.求过O、A、B三点的圆的方程19 .(本题满分16分)将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表:a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9III已知表中的第一列数 ai,a2,a5,|构成

7、一个等差数列，记为bn,且b? = 4,bs =10.表中每一行正中间一个数 阚©3且7川|构成数列cn,其前n项和为Sn.(1)求数列bn的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行.中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比 为同一个正数，且a13 =1.求Sn ；记M =n |(n+1)cn之九,nw N",若集合M的元素 个数为3,求实数九的取值范围.20 .(本题满分16分)已知函数 f (x) = x-1-a In x(a R).(1)若曲线y = f(x)在x=1处的切线的方程为 3x y 3=0,求实数a的值；(2)求证：f (x) >0恒成立的充要

8、条件是 a = 1 ；11(3)若a<0,且对任意“2J0,1,都有| f(x1)f (x2)|W4| |,求实数a的取值范围南京市2019届高三第一次模拟考试数学附加题2019.0121.【选做题】在 A、B、C、D四小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分.A.选彳4-1 :几何证明选讲如图，AB是半圆。的直径，C是圆周上一点(异于 A、 B),过C作圆O的切线l ,过A作直线l的垂线AD ,垂足为 D, AD交半圆于点E.求证：CB=CE.B.选彳4-2 :矩阵与变换1 a在平面直角坐标系 xOy中，直线x + y + 2 = 0在矩阵M = 对应的变换作用下得到,b 4直线

9、m: x - y -4 = 0 ,求实数a, b的值.C.选彳4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，圆 C： P=10cos8和直线l :3 Pcos日4Psin日30=0相交于A、B两点，求线段AB的长.D.选彳4-5:不等式选讲解不等式|2x-4|：二4-冈.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22 .如图，在直三棱柱 ABCABC 中，/ACB=90O/BAC = 30O,BC=1,AA = J6,M是CCi的中点.(1)求证：A B _L AM 1;(2)求二面角 B - AM -C的平面角的大小23 .已知等比数列aj的首项4 =2,公比q =3, Sn是它的前n项

10、和.求证：§n±w3n±1 Snn南京市2011届高三第一次模拟考试高三数学答案第3页（共6页）数学参考答案及评分标准2011.01说明、1-本解答给出的解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制订相应的评分细则.2 .对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半,如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 .解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 .只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题（本

11、大题共14小题,每小题5分，共70分）1/0,22. V103- -14. 16.勺7.58f9.6+111 .12.714.25-110. 512二、解答题:本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演售步骤. 15.（本小题满分14分）解，由函数的周期为人可知勺=心所以&=2.Ct）又由/（手）=，T，得2sin垮= ，所以COSF=<.又吒（0,幻,所以4（2）（方法一）由/吟）=一卷,得 sin（a+?）=一 /.L Q43因为。£（0西3所以a+千e （千号）.10分又,sin（a+4） 一，V0,所以。+手6 （京岑）,所以cos（a+手）

12、=一454 44314分所以cos2a=sin（葺+ 2a） = 2sin（a+手）cos（a+/） = | Z44（方法二）由/勺）=一/，得sin（a+£） = 一右 因为。（0次为所以。+于6（：号）10分又sin<r+%一，V0.所以+手6 （常,巧，所以cos（q+子）454443所以 cosa=cos（a+手）一力=cos（a+手）cos y+sin（a+Y）sin y = 444444 1U14分所以 cos2a=2cos1-1 = 2X （ 1 = 11 v（方法三）由/吟）=一/，得如（。+手）=一卷.Z 343所以 sina+cosa= J所以 1+sin2

13、a即 sin2a=£ 1°分25Zo因为a （0,幻，所以a+?6（?，斗）. 44 4又sin（a+力卜V0,所以a+£e（*苧），即（竽亦），2。2"所以 cos2a=>/1 sii?2a=给 - 14分16.（本小题满分14分）央=_解，证明：如图，连结皿.八在三棱柱ABC-A】SG中，/ 方/因为。,A分别是5c与0G的中点，/ / X /所以 EBBQ,jaBQLBD/ / 人/所以四边形B8OA为平行四边形，J 1 J所以 55。5,且又因为 AA155, AA】=BBi，D所以 AAX"DDi ,AAX=DD,所以四边形AA

14、AO为平行四边形，所以A】DiAD 4分又AiD】U平面ABQ，ADU平面月B。，故AD1平面481 6分（2）（方法一）在ABC中，因为A5=AC,O为BC的中点，所以工。JLBC.因为平面A5UL平面氏GC5,交线为BC,ADU平面ABC, 所以AQ，平面BiC】CB,即AD是三梭锥A-B.BC的高. 10分在ABC 中，由 AB=AC=BC= 4 得 AD=2，！在ABiBC 中,BiB=5C=4,N5i5C=6（r,所以55C的面积5.产=亨乂4?=4 VT.所以三棱锥8-A5C的体积，即三棱锥A-55c的体积V=XSsc - AD=X4 a/Tx2 /T=8. 14 分J3（方法二）

15、在B5C 中，因为BiB=5C,NS5C=6（r,所以55C为正三角形，因此囚为平面ASC_L平面BQiCS，交线为DC, S OU平面BCCB, 所以氏。，平面A5C,即氏。是三棱锥氏一A8C的高. 10分在A8C 中，由 A5=AC=BC=4 得ABC 的面积X4?=4，T 在BBC 中，因为5i8=5C=4,N5C=60，所以 50=2，。所以三棱锥5-A5C 的体积 V=vXSaxbc BtD=X4 JTx2= 8. -14 分17 .（本小题满分14分）解：（1）（方法一）连结OC.设BC=z,矩形ABC。的面积为S.则45=2 “900一小，其中0VzV30 2分所以 S = 2z

16、 V900-X2 = 2 Vx2（900-x:）+（900-x2）= 900. 4分当且仅当/ = 9003,即m=15，F时,S取最大值为900cm2.答:取为15Tcm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2. 6分（方法二）连结OC.设N8OC=G,矩形A5CQ的面积为S.则 BC=30sin，Q8=30cos仇其中 OVGV. 2分所以 S=AB BC=2OB BC=900sin2. 4分所以当sin26= 1,即0n时,S取最大值为900cmz，此时8C= 15，5 4答:取8c为15，Fcm时，矩形A5CO的面积最大，最大值为90001?. 6分（2）（方法一）设网柱底面半

17、径为一高为工，体积为V.由 AB=2 ,9002 = 2所,得，900所以旷=" =工（900%一工3）,其中0<x<30. 10分贯由 丫，=工（9003/2）=0,得z=10 VT, 大因此V=4（900z-J）在（0,10C）上是增函数，在（10，F,30）上是减函数. 12分所以当工=10，予时,V的最大值为§°0°/.答:取BC为10 Ton时，做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为巡察区cmJ /V 14 分（方法二）连结OC,设NBOC=8,圆柱底面半径为八高为人体积为V,则圆柱的底面半径为芈"，高/i = 30siM其中

18、0夕当所以 旷=k/人=女05峪=（sin6-sin,G） 10 分, It7C设，=8由夕,则由3?）=。,得，=卒，“兀O因此P=红咽a-J）在（0,空）上是增函数，在（空,1）上是减函数.12分所以当< =乂£时，即sind=4，此时BC=10O的最大值为陋答:取BC为10Ccm时，做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为晒少&cm3.14分高三数学答案第#页（共6页）18 .（本小题满分16分）解：（1）由题意，设椭圆C：£ + £ = l（a>6>0），则为= 4C，a = 2，T. 2分,因为点（2，F,1）在椭圆a+方=1,所以3

19、+ 2 = 1，解得 a oI 乙。所以所求椭圆方程为需+ ¥ = 1. 5分（2）设4（工|0）,502，“）6<0,%>0）点尸的坐标为"3,0）所以8（学介亭）,代入得从点坐标为一，T） -12分因为亚蓊=0,所以OA_A8."所以过0,4,6三点的圆就是以08为直径的圆， 其方程为/十丁一学工一卒,=0 16分19 .（本小题满分16分）解：（1）设数列6的公差为d, "则九'解得Cl'所以瓦=加4分I 仇+ 4d=10,ld=2,（2）设每一行组成的等比数列的公比为g.由于前行共有1 + 3+5 + （2-1）=4个

20、数，且3y 13<4,所以。10=瓦=8.所以。13 = 5皿'=网3,又。口=1，解得gnj.乙因此。=2"©尸=目7分所以S. +C2+C3+c产白+嘉+需+因此会产自+ * + * +六一户1 = 4_昌_*=4_竽 高三数学答案第4页（共6页）10分14分16分解得工=8-*.由知,c产券,不等式( + Dc.儿可化为吟护1 JX. Z*z (几 + 1 )设 /() = -三一，计算得"1) = 4 J(2)=/(3) = 6J(4) = 5J(6) = ¥. 4因为/( + 1)圣口,所以当3时,/Gt+l)V+)因为集合的元素

21、的个数为3,所以久的取值范围是(4,51.20 .(大小题满分16分) 解：(1)因为/(工)=1一?，所以/(1) = 1 一所以曲线,=/(n)在工=1处切线的斜率为因为曲线y="r)在z=l处的切线为3x>3=0»所以1。= 3,解得。=-2 3分,(2)充分性. .当。=1 时 JCt)=n1Inx/CrHl-5所以当Z>1时，r(Z)>0,所以函数f(z)在(1,+8)上是漕函数，当OVhVI时,r(H)VO,所以函数fGr)在(0,1)上是减函数.所以f(z)>/(D = O 5分必要性.(方法一，其中 N>0.(i)当。40 时，

22、'r(x»o恒成立，所以函数人/在(0,+8)上是增函数.而/=0,所以当zW(O,D时JGr)VO,与/(外)0恒成立相矛盾.所以。0不满足题意.7分(ii)当。>0 时，因为当工时所以函数f(z)在(。，+8)上是增函数， 当OVnV。时JG)V0,所以函数人外在(Or)上是成函数.所以 /(x)/(a ) a 1 alna.因为f(D = O,所以当aWl时J(a)V/(l) = O,此时与/G)0恒成立相矛盾.所以。=1.综上所述,/(工)20恒成立的充要条件是。=1. 10分(方法二)，Cr) = l ? =其中 z>0.(i)当时，因为，Cz)>

23、0恒成立，所以函数/Or)在(0,+8)上是增函数.而/(1) = 0,所以当工(0,1)时JG)V0,与“公0恒成立相矛盾.所以不满足题意. 7分高三数学答案第5页(共6页)（ii）当。0 时，因为当工。时,70）0,所以函数/（外在（。，+8）上是增函数；当OViVa时,，Gc）V0,所以函数/（z）在（0,。）上是减函数.所以 /（x）/（a） =a 1 alna.于是，由/Gr）O恒成立可知，存在。0,使得/（a）=a-l-alna0.”记函数双 z）=z -1工 Inx,则。（x） = Inx,当OVhVI时H（z）。，所以函数次了）在（0，D上是增函数，.：当zl时,BGr）VO,

24、所以函数可/在（1,+8）上是减函数，/1,所以奴工）欢1） = 0,所以。=1.综上所述恒成立的充要条件是0 = 1. 10分（3）由（2）可知，.二:当。0时，函数/Or）在（0,11上是增函数.又函数尸:在0,11上是减函瓢.不妨设 0xix：Cl则I =八题）一/3）,小一9I =:一十,x xt N1 12所以1/（耳）一八叫”44|!一|等价于/（4）一/（与）一§，一即/GD+盘&/但）+4则IfCr。一，（孙）144|4一等价于函数AG）在区间（O,。上是减函她13分因为"（x） = l -A = 一等所以工”-or-440在mW （0,11时恒成立

25、， 即。工一!"在工W（0,l上恒成立，即。不小于）工工一!在区间（0,1内的最大值. 而函数在区间（0,11上是增函数，所以y=z-5的最大值为一 3，所以a）一3. 又aVO,所以13,0）. 16分高三数学答案第6页（共6页）6分因为C:HH1所以4的坐标为1,一孙10分10分南京市2011届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2011. 0121 . A.选修4一，几何证明选讲证明：（方法一）连结BE.因为A6是半IHO的直径,E为圆周上一点,所以NAE5=90°,即又因为AOJJ,所以8E/.所以NJDCE=NCEB.因为直线/是圆O的切线， 所以NDC

26、E=/CBE.所以 NC5E=NCER所以CE=CB. '（方法二）连结AC,BE,在QC延长线上取一点尸.因为AB是半圆O的直径,C为圆周上一点， 所以 NAC5=90，即 NBCF+NACD=90.又因为AOJJ,所以NOAC+N ACD=90.所以 NBCF=NDAC.又因为直线/是圆O的切线，所以NCE5=NBCE 又 ZDAC=NCBE,所以 ZCBE="EB.所以 CE=CB. R选修4-2,矩阵与变换解：（方法一）在直线/次+,+2=0上取两点A（2,0）,8（0,-2）. A.B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点；:，H二j，所以用的坐标为一勿，一8）.由题

27、意4 99在直线加立一4=0上，所以解得a = 2,6=3 10分（方法二）设直线/0+,+2=0上任意点（工沙）在矩阵”对应的变换作用下对应于点 （ry）.所以 x1 =x+ay9yf =bx+4y.解得工=ab-4 ab-4 * 因此三W产 + 笠才+2=。，即S-4H + Q1），+（勿。-8）=0. 因为直线/在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：z-y-4 = 0.高三数学附加题答案第1页（共3页）所以早一°二1 2a一1 一410分10分解得。=2,6=3 C.选修4-4 :坐标系与参数方程解:分别将园C和直线/的极坐标方程化为直角坐标方程: 圆 7：h2+丁=10/，即(上-5)2+/ = 25,圆心 C(5,0). 直线/：31 4y30=0 因为圆心C到直线/的距尚4=,一号3。1=3. 0所以 48 = 2 ”25/ = 8.D.选修4一5,不等式选讲解，当工>2时，原不等式