2016中考数学专题复习——一线三角三等角型

1、实用标准文档“一线三等角”基本图形解决问题三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位，在学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型， 对分析问题、解决问题有化繁为简的效果。 在近几年的中考题中， 经常可以看到“一线三等角”的数学模型，所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三 个角相等。所以，只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型， 也会存在相似三角形，当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了， 综合性题目往往就会把 相似和全等的转化，作为出题的一种形式，需要大家注意。本文将重点对这一基本图形进行探讨。通过对题目的有效分解，打破同学们对综合题的畏惧心理，让同学们

2、加深对于题目条 件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力, 在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题，并加强题后反思，培养他们解题的能力。 一、知识梳理：（1）四边形ABC虚矩形，三角板的直角顶点 M在BC边上运动，直角边分别与射线BA射线CD交于E、F,在运动过程中， EBMh MCF.（2）如图1:已知三角形 ABCP, AB=AC/ADE4 B,那么一定存在的相似三角形有 AB3 DEC.如图2:已知三角形 ABC中，AB=AC,Z DEFW B,那么一定存在的相似三角形有 DB ECF.（图1）（图2）二、【例题解析】【例1】（2014四川自贡）

3、阅读理解：如图1,在四边形ABCM边AB上任取一点E （点E不与点A、点B重合），分别连接ED EC, 可以把四边形 ABCM成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCM边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把 E叫做四边形ABCD勺边AB 上的强相似点.解决问题：（1）如图1, / A=/ B=Z DEC=55，试判断点 E是否是四边形 ABCD勺边AB上的相似点， 并说明理由；（2）如图2,在矩形 ABCD43, AB=5, BC=2且A, B, G D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形

4、ABCD的边AB上的一个强相似点 E;拓展探究：(3)如图3,将矢I形ABCW CM折叠，使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM勺边AB上的一个强相似点，试探究 AB和BC的数量关系.1、已知矩形 ABCM, AB=3, AD=2，点P是AB上的一个动点，且和点点P作PE垂直DP,交边BC于点E,设,PA=x, BE=y,求y 关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围.2、如图，已知正方形 ABCD将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，当M点旋转到BC的垂直平分线 PQ上时，连接 ON若ON=8求MQ勺长.A,B不重合，过3.如图，在矩形 ABCD43,

5、AB=m(m<于0的常数)，BC=8,E为线段BC上的动点(不与 BC 重合).连接DEL,彳EFL DE, EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y,(1)求y关于x的函数关系式(2)若m=8求x为何值时，y有最大值，最大值是多少?12y=一，要使 DEF为等腰二角形，m的值应为多少?m【例2】等边 ABC边长为6, P为BC边上一点，/ MPN60 ,且PM PN分别于边 AB AC 交于点E、F.(1)如图1,当点P为BC的三等分点，且 PE!AB时，判断 EPF的形状；(2)如图2,若点P在BC边上运动，且保持 PE±AB,设BP=x,四边形 AEP而积的y, 求y

6、与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)如图3,若点P在BC边上运动，且/ MPN§点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.图1分析过程：(1) EPF为等边三角形(2)设 BP=x,贝U C之 6x.由题意可 4BEP的面积为 x2 . 4CFP的面积为 "(6x)2.4ABC的面积为9 J3 . 82设四边形AEPF的面积为y. y = 9,3 - x2(6 -x)2= -5,3x2 6、.3x-9.3.828自变量x的取值范围为3<x< 6.BP BE(3)可证 EBWPCF.，=.设 BP=x,则 x(6x)=8.解得 k=4,x2=2. P

7、E 的长为 4 或2s/3.【练习】.如图，在 ABCf, AB=AC=5cm, BG8,点P为BC边上一动点(不与点R C重合)，过点P作射线PM交AC于点 M 使/ AP愤/B;(1)求证： ABP APCIM(2)设BF=x, CM=y.求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围.(3)当 APM等腰三角形时，求 PB的长.(4)当点D是BC的中点时，试说明 ADE是什么三角形，并说明理由.AO 2【例3】在AABC中，/C =90o,AC =4,BC =3,0是AB上的一点，且 =，点PAB 5是AC上的一个动点， PQ _LOP交线段BC于点Q,(不与点B,C重合)，已知AP=2求

8、CQ【练习】在直角三角形ABC中，/C =90o,AB = BC,D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，(与A,C不重合)，DF _LDE,DF与射线BC相交于点F.(1)、当点D是边AB的中点时，求证： DE = DF(2)、当殷=m ,求DE的值DBDF【例 4】如图，抛物线 y=ax形？若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.答案：(1)y=x2+2x -3; (2)S有最大值 空，点P的坐标为(旦，-15 ); 824M的坐标为(0, 3)或(0, -工)或(0, T)或(0, - 3). 2+bx+c 经过点 A( - 3, 0), B(1.0) , C(0,

9、- 3).(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设 PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标；(3)设抛物线的顶点为 D, DEI x轴于点E,在y轴上是否存在点 M使彳ADM直角三角课后作业:1. 已知：如图，在 ABC 中，AB = AC=5, BC=6,点 D 在边 AB 上，DE _L AB ,点E在边BC上.又点F在边AC上，且ZDEF =2B .(1)求证： FC3 AEBD(2)当点 四线段AB±运动时，是否有可能使 S加cf =4S生rd . /_FCE. EBD如果有可能，那么求出 BD的长.如果不可能请说明理由.2. 如图，在

10、ABC中，ABAG5, BC=6, P是BC上一点，且 BP=2,将一个大小与/ B相等的角的顶点放在 P点，然后将这个角绕 P点转动，使角的两边始终分别与 AB AC相交,交点为D E。(1)求证 BPD CEP(2)是否存在这样的位置， PDb直角三角形？若存在，求出 BD的长；若不存在，说明理由。3. 如图，在 ABC中，AB=AC=5, BC=6, P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PE!AB与 E, PF± BC交 AC-W F,设 PGx,记 PE= y1 , PF= y2(1)分别求yi、y2关于x的函数关系式(2) 4PEF能为直角三角形吗？若能，求出 CP的长

11、，若不能, 请说明理由。4. 如图，在4ABC中，AB=AC=5, BC=6, P是BC上的一个动点(与R C 不重合)，PE! AB E, PF± BC 交 AC 与 F,设 PC=x, PEF的面积为y(1)写出图中的相似三角形不必证明；(2)求y与x的函数关系式，并写出 x的取值范围；(3)若 PEF为等腰三角形，求 PC的长。5. 已知在等腰三角形 ABC中，AB =BC =4,AC =6, D是AC的中点， E是BC上的动点(不与B、C重合)，连结DE ,过点D作射线DF ,使/EDF A ，射线DF交射线EB于点F ,交射线AB于点H .(1)求证：ACED sadh ；

12、(2)设 EC = x, BF = y .用含x的代数式表示BH ；求y关于x的函数解析式，并写出 x的定义域.6. 已知在梯形 ABC丽,AD/ BC A氏 BC,且 AD= 5, AEB= DO 2.(1)如图8, P为AD上的一点，满足/ BP(C= /A求证； ABP" DPC求AP的长.(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A D不重合)，且满足/ BPE /A, PE交直 线BC于点E,同时交直线 D。点Q那么当点Q在线段DC的延长线上时，设 AP= x, CQ= y,求y关于x的函数解析式，并写 出函数的定义域；当C2 1时，写出AP的长(不必写出解题过程).实用标准E

13、BD SFE =(S BEDECBD6-x) 右 SCE 4s西BD , , (-)18=4 - x =11答案：1. 解：(1) AB=AC'. / B=ZC/BEB/DES/ C+/EFG90 又/DEF =NB，/BEa/ EFC FC巨 EBD 55(2) . BD=x, BE=-x , EC=6_x 33文档3. / DPC/ DP&Z EPC：/以/ BDP. / EPC= / BDP . . ABDh DCE(2)/ DPE=/B=90若/ PDE=90 ,在 RtAABhiFDPDE中PD BD 3PE - PC - 5RHPD 3 .cos/ABHcos/DP

14、曰EH =_PD =3ABPE 512PC=4BD =5若/ PED=90 在 RSABM口 RtAPDEBH PFcos/AB件cos / PEaBL =AB PD20 一1 PC=4BD => 5 （舍去）3一， 一 12综上所述，BD的长为54斛：(1) y1 = (6 -x)=5424-x 十一、55PDBDPEPCDDAB P HACEB P AH(2) . / FPE=Z B=90若/ PFE=90 ,在 RtMBM口 RtPFE中cos/ABHcos/ FPE=-BH- =-PF =3 .芈=3 .AB PE 5 y154 xQ3 一 3B424 5x55z27_,、H P

15、 C若/ PEF=90 ,在 RtMBM口 RtPFE中BHPF3cos Z ABH:cos Z FPE=-E£L = =-ABPE 5,y2 _ 5y1 一34一 x3424-x55BH PC4. 解：(1) PE中 EPC4_4_(2) . PCx，PF =-x , PE=(6 x), EH35416= -EP (6 -x)525536 6 - x =3 BD不存在311c.2. 解：(1) AB=AC . / B=ZC y1 PF EH232 2 _x27516 (62532 x)=75x(6 - x)(3)当 PE=PF时,当PE=EF时,当FE=PF时,64x (0 :二 x < 3)25x EP笠 PEB PG=BE=x, -6-x3-x5PHPMPF2cos / EPH=cosB,42 x34-(6-x)5108x =43-EP22 小、 _=(6 - x) , cos / FPMcosB, 5|(6-x) 5综上所述，PC的长分别为x = 9、"8、24435.解：(1)AB = BC , ZA =NC NCDE +/EDF =/A + /H又/EDF =/A,/CDE =/H ,ACED s MDH(2). ACED s &