初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及问题详解)

1、实用标准文案精彩文档初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静 ，灵活运用有关数学知识解决问题 .关键：动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例1: （2013年上海市虹口区中考模拟第 25题）如图1,在 RtAABC中，/ A= 90° , AB= 6, AC =8,点D为边BC的中点，DEBC交边AC于点E,点P为射线

2、AB上的一动点，点 Q为边AC 上的一动点，且/ PDQ = 90° .（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2,求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F,若 PDF为等腰三角形，求 BP的长.思路点拨1 .第（2）题BP=2分两种情况.2 .解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系.3 .第（3）题探求等腰三角形 PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形 CDQ .解答：（1）在 RtABC 中， AB = 6, AC =8,所以 BC=10.3 1525在 RtCDE 中，CD = 5,所以 ED =CD tan/C=5M3=15

3、 , EC =三.4 44（2）如图2,过点 D作DM LAB, DNXAC,垂足分别为 M、N,那么 DM、DN是 ABC的两条中位线， DM = 4, DN=3.由/ PDQ = 90° , / MDN = 90° ,可得/ PDM =Z QDN .因此 PDMA QDN .4PM = QN .3PM DM 4所以=.所以QNQN DN 3如图3,当BP=2, P在BM上时，PM = 1.333 19此时 QN =3 PM =3 .所以 CQ =CN +QN =4 +- =19 .444 4如图4,当BP=2, P在MB的延长线上时， PM=5.315 15 31此时

4、QN =-PM .所以 CQ =CN +QN =4+"=.4444（3）如图 5,如图 2,在 Rt PDQ 中，tan/QPD Q =_DN=3 .PD DM 4BA 3在 RtAABC 中，tan/C = =.所以/ QPD = / C.CA 4由/ PDQ = 90° , / CDE=90° ,可得/ PDF = / CDQ.因此 PDFA CDQ .当 PDF是等腰三角形时， CDQ也是等腰三角形.如图 5,当 CQ = CD = 5 时，QN = CQ- CN=5-4= 1 （如图 3 所示）.44 一4 5此时 PM =_QN =,所以 BP =BM

5、-PM =3=.333 3如图 6,当 QC=QD 时，由 cosC=CH,可得 CQ= + 4=.CQ2 5825 7所以 QN = CN CQ= 4 25=7 （如图 2 所示）.477 25此时 PM =QN =,所以 BP =BM +PM =3+= .366 6不存在 DP = DF的情况.这是因为/ DFP >Z DQP>Z DPQ （如图5,图6所示）.图5图6考点伸展：如图6,当 CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三25角形，PB = PD.在 BDP中可以直接求解 BP='6二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题4例2: (

6、2008年河南省中考第 23题)如图1,直线y = f x+4和x轴、y轴的交点分别为 B、C,点 3A的坐标是(-2, 0).(1)试说明 ABC是等腰三角形；(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点 N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒 1个单位长度.当其中一个动点到达终点时， 他们都停止运动.设M运动t秒时, MON的面积为S.求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在 S= 4的情形？若存在，求出对应的 t值；若不 存在请说明理由；在运动过程中，当 MON为直角三角形时，求t的值.思路点拨：1 .第(1)题说明 ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M

7、、N同时出发，同时到达终点.2 .不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示 OM边上的高都是相同的，用含有 式子表示OM要分类讨论.3 .将S= 4代入对应的函数解析式，解关于t的方程.4 .分类讨论 MON为直角三角形，不存在/ ONM =90°的可能. 解答：4(1)直线y = 一一x+4与x轴的交点为 B (3, 0)、与y轴的交点C (0, 4). 3RtBOC 中，OB=3, OC = 4,所以 BC= 5.点 A 的坐标是(-2, 0),所以 BA = 5.因此BC=BA,所以 ABC是等腰三角形.(2)如图2,图3,过点N作NHLAB,垂足为H.4 4在 RtAB

8、NH 中，BN = t, sin B =，所以 NH = t .5 5如图2,当M在AO上时，OM = 2t,此时c 1 - 1 _、4224 S = - OMNH= (2-t)M 1 = - t 十一t.te 义域为0vtw 2.22555如图3,当M在OB上时，OM = t2,此时-1 -142 2S = OM NH (t -2) t = -t22554,一一t .定义域为2vtW5.5图3解得t1=2 + Jii, t2=2布(舍去负值).因此，当点 M在线段OB上运动时，存在 S= 4的情形，此时t=2 +布.3如图 4,当/ OMN = 90 时，在 RtABNM 中，BN = t,

9、 BM =5t , cosB = 一5，5 -t 325所以=.解得t =.t58如图5,当/ OMN = 90°时，N与C重合，t=5.不存在/ ONM =90°的可能.t = 3;如图 7,当 MNAC 时，t=2.5.图6三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题例3: （2010年山西省中考第 26题）在直角梯形OABC 中，CB/OA, /COA=90° , CB=3, OA =6, BA= 3/5 .分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.（1）求点B的坐标;（2）已知D、E分别为线段 OC、OB上的点，OD = 5,

10、 OE=2EB,直线 DE交x轴于点F.求 直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在 x轴上方的平面内是否存在另一点N,使以0、思路点拨:1.第（1）题和第（2）题蕴含了 0B与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础.2 .讨论菱形要进行两次 （两级）分类，先按照DO为边和对角线分类， 再进行二级分类,DO与DM、DO与DN为邻边.解答：如图2,作BH，x轴，垂足为 H,那么四边形 BCOH为矩形，OH = CB=3.在RtAABH中，AH = 3, BA= 3娓,所以BH = 6.因此点B的坐标为(3,6).(2)因为 OE = 2EB，所以 XE = XB

11、 = 2 , yE = yB = 4 , E(2,4). 33一一，- b =5,1设直线DE的解析式为y=kx+b,代入D(0,5), E(2,4),得解得k = , b = 5 .所2k b = 4.21以直线DE的斛析式为y = x + 5 .2(3)由 y=1x+5,知直线 DE 与 x 轴交于点 F(10,0), OF=10, DF = 575 .2如图3,当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点.此时点M的坐标为(5, 5),点N的坐标为(一5,5). 22如图4,当DO、DN为菱形的邻边时，点 N与点O关于点E对称，此时点 N的坐标为(4,8).如图5,当

12、DO、DM为菱形的邻边时，NO = 5,延长 MN交x轴于P.NPPONONPPO5_-由 NPO s DOF ,得=一=2即一=一=.解得 NP =，5 , D O OF D F 51 0 5.5PO =2j5.此时点N的坐标为(2J5, J5).图3图4考点伸展PQA图5Cab图6如果第(3)题没有限定点 N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形.四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题例4: （2013年苏州中考28题）如图，点 O为矩形 ABCD的对称中心，AB=10cm, BC=12cm,点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度

13、为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s,当点F到达点C （即点F与点C重合）时， 三个点随之停止运动.在运动过程中，4EBF关于直线EF的对称图形是 AEBF.设点E、F、G运动的时间为t （单位：s）.（1）当t=s时，四边形 EBFB为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点 F, C, G为顶点的三角形相似，求 t的值；（3）是否存在实数t,使得点B与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.思路点拨：（1）利用正方形的性质，得到 BE=BF,列一元一次方程求解即可；（2） 4EBF与4FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计

14、算；（3）本问为存在型问题.假设存在，则可以分别求出在不同条件下的 t值，它们互相矛盾，所以不存在.解答：（1）若四边形EBFB为正方形，则 BE=BF ,即：10- t=3t,解得t=2.5;（2）分两种情况，讨论如下： 若EBFsfcg,则有旦E里，即工?解得：t=2.8;FC CO 12- 3tRR RF 10 t 7+厂 若EBFsGCF,则有紫埸，即丁一瑜 口 ；，解得：t=- 14-2>69 （不合题意，舍去）Clr rL 1. 5t 1Z - Jt或t=-14+2/雨.，当1=2.8$或1= （-14+2。标）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点 F,C, G为顶点的三

15、角形相似.（3）假设存在实数t,使得点B与点O重合.如图，过点。作OMLBC于点M,则在RtAOFM中，OF=BF=3t, FM=）BCBF=63t, OM=5,由勾股定理得：OM2+FM2=OF2,即：52+ （63t） 2= （3t）一22解得：t=盥；36过点。作 ONAB 于点 N,则在 RtOEN 中，OE=BE=10 t, EN=BE BN=10 t5=5 t, ON=6,由勾股定理得：ON2+EN2=OE2,即：62+（5-t） 2= （10-t） 2解得：t=3.9.旦W3.9 .不存在实 36数t,使得点B与点O重合.考点伸展：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似

16、三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点.题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答.第（2）问中，需要分类讨论,避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在.拓展练习：1、如图 1,梯形 ABCD 中，AD / BC, / B=90 ° , AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从 A 开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P, Q分别从A, C同时出发，设移动时间为 t秒。 当t=时，四边形是平行四边形; 当t=时，四边形是等腰梯形.（1题图）备用图2、如图2

17、,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上，且DM=1 , N为对角线 AC上任意一点, 则DN+MN的最小值为。（3题图）3、如图，在 RtABC 中，/ACB=90。，/B = 60。，BC =2 .点 O是 AC 的中点，过点直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D .过点C作CE / AB交直线l于点E ,设直线l的旋转角为豆.(1)当度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为当1a =度时，四边形EDBC是直角梯形，此时 AD的长为（2）当"=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.4、在 ABC 中，/ ACB=90

18、76; , AC=BC ,直线 MN 经过点 C,且 ADMN 于 D, BE，MN 于 E.(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证:DE=AD-BE ;当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明5、数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABCO正方形，点E是边BC的中点.ZAEF =900,且EF交正方形外角 /DCG的平行线CF于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB的中点 M,连接 ME则 Ah=EG易证 AME 9A ECF，所以 AE =EF .在此基础上，同学们作了进一步的

19、研究：(1)小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点 E是边BC上(除B, C外)的 任意一点”，其它条件不变，那么结论" AE=EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确， 写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2)小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除 C点外)的任意一点，其他条件不变，结论 “AE=EF'仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.图I图36、如图，射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点，AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿 射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设 P的

20、运动时间为t.求(1) PAB为等腰三角形的t值；(2) PAB为直角三角形的t值；(3) 若AB=5且/ABM=45 ° ,其他条件不变，直接写出PAB为直角三角形的t值。7、如图1,在等腰梯形ABCD中，AD/BC, E是AB的中点，过点F . AB =4, BC =6, / B=60：求:(1)求点E到BC的距离;E作EF / BC交CD于点（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM，EF交BC于点M，过M作MN / AB交折线ADC于点N ,连结PN ,设EP =x.当点N在线段AD上时（如图2）, PN的形状是否发生改变？若不变，求出4PMN的周长；若改变，请说明理由；当

21、点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P ,使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由图1图2图3图4 （备用）图5 （备用）8、如图，已知ABC中，AB = AC=1°厘米，BC =8厘米，点D为AB的中点.（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C点向 A点运动若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后，BPD与CQP 是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使 BPD与 CQP全等？（2）若点Q以中的运动速度从点 C出发，点P以

22、原来的运动速度从点 B同时出发，都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点 P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？C9、如图所示，在菱形 ABCD中，AB=4, /BAD=120°, 4AEF为正三角形，点 E、F分别在菱形的 边BC. CD上滑动，且 E、F不与B. C. D重合.(1)证明不论 E、F在BC. CD上如何滑动，总有 BE=CF;(2)当点E、F在BC. CD上滑动时，分别探讨四边形 AECF和 CEF的面积是否发生变化？如果 不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值.10、如图，在 4AOB 中，/ AOB=90 °, OA=OB=6 , C

23、 为 OB 上一点，射线 CDLOB 交 AB 于点 D, OC=2 .点P从点A出发以每秒 W个单位长度的速度沿 AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个 单位长度的速度沿 CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点 P到达到点B时停止运动，点 Q也随 之停止.过点P作PE± OA于点E, PFLOB于点F,得到矩形PEOF.以点Q为直角顶点向下作等 腰直角三角形 QMN ,斜边MN / OB,且MN=QC .设运动时间为t (单位：秒).(1)求t=1时FC的长度.(2)求MN=PF时t的值.(3)当4QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠(阴影)部分图形面积S与t的函数关系式.(4

24、)直接写出4QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时 t的值.1、解：(1)要使四边形 PQCD为平行四边形，则 PD=CQ, AD=18cm ,即18-t=2t ,解得：t=6;(2)设经过ts,四边形PQCD是等腰梯形.过Q点作QEXAD ,过D点作DF, BC,二四边形PQCD是等腰梯形，PQ=DC .又. AD/BC, / B=90° , AB=EQ=DF . /.A EQPA FDC. . FC=EP=BC-AD=21-18=3 ,又AE=BQ=21-2t , EP=t-AE , . EP=AP-AE=t- (21-2t) =3.得：t=8.经过8s,四边形PQCD是等腰

25、梯形.2、5; 3、解：(1) 30, 1 ; 60, 1.5;(2)当/ a =900时，四边形 EDBC是菱形.一/ a=/ACB=900,BC/ED. / CE/AB,二.四边形 EDBC 是平行四边形在 RtAABC 中，/ ACB=900, / B=600,BC=2,A=300.AB=4,AC=2 6.，AO=5AC =百.在 RtAOD 中，/ A=30°, AD=2.BD=2. BD=BC.又四边形 EDBC是平行四边形，四边形EDBC是菱形4、解：(1)/ ACD= ZACB=90 . . / CAD+ / ACD=90 . . / BCE+/ ACD=90，/CAD

26、=/BCE AC=BC /.A ADC CEB /A ADCA CEB CE=AD , CD=BE . DE=CE+CD=AD+BE(2) / ADC= / CEB= / ACB=90°/ ACD= / CBE 又 ; AC=BC ACD CBE CE=AD , CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3)当 MN 旋转至U图 3 的位置时，DE=BE-AD(或 AD=BE-DE , BE=AD+DE 等) / ADC= / CEB= / ACB=90°= / ACD= / CBE, 又 AC=BC , ACD CBE, AD=CE , CD=BE ,. DE=CD-CE

27、=BE-AD.5、解：(1)正确.证明：在 AB 上取一点 M ,使 AM = EC,连接 ME .二 BM = BE .BME = 45 , 二/AME =135, VCF 是 外 角 平 分 线，DCF=45,二/ECF =135 .，/AME=/ECF ./AEB+2BAE = 90 , / AEB+N CEF = 90 ,/BAE =/CEF .AMEWBCF(ASA).AE = EF .(2)正确.证明：在 BA 的延长线上取一点 N. 使 ANC, 连接NE ., BN =BE , 二/ N =/PCE =45 . ，* 四边形 ABC D 正方形，二 AD / BE . DAE=

28、/BEA ., N A E= /C.ANE ECF(ASA).任 F6、解：解：（1）作 AELBM 于 E。贝U AE=3 , AB=5 , . BE=，（ AB2-AE2） =4 MP=t, BP=9-t 若 AP=AB,，9-t=2t=1若 PA=PB, . . BP/（1/2AB尸AB/BP .（ 9-t）2=1/2*5*5 . . t=9-，5/2（9+，5/2去）若 BA=BP ,|9-t|=5，t=4、14. 综上，t=1、4、9-V5/2 14（2）若/ APB=90 . . 9-t=4 . . t=5若 / PAB=90 BP/BA=BA/BE . . （9-t）/5=5/4

29、 . . t=11/41BE = AB =2.2. 综上，t=5、11/4。7、解：（1）如图1,过点E作EG _L BC于点G. E为AB的中点,在 RtEBG 中，/B=60:./BEG =30°-1BG BE =1,2EG = J22 -12 = .3.即点E到BC的距离为忑3（2）当点N在线段AD上运动时, PM _L EF, EG _L EF, ，PM PMN的形状不发生改变./ EG. EF / BC, EP =GM , PM= EG=J3.同理 MN=AB = 4.如图2,过点P作PH _LMN于H. MN / AB,图1/ NMC =/ B =60 : / PMH1=

30、30s .PH=-PM2工；323NH =MN -MH =4 一一 MH =PM Lcos30，= 3.则2在 RtPNH 中，PN = JNH2 +PH2APMN 的周长=PM +PN +MN =73 + 77+4.当点N在线段DC上运动时，4PMN的形状发生改变，但 4MNC恒为等边三角形.当 PM = PN 时，如图 3,作 PR _L MN 于 R ,则 MR = NR._3类似，MR=3. .MN=2MR=3.MNC 是等边三角形， MC=MN=3.2此时，x =EP =GM =BC - BG -MC =6-1 -3 =2.当 MP =MN 时，如图 4,这日MC = MN =MP

31、=避.此时，x = EP = GM = 61 J3 = 5 J3.当 NP =NM 时，如图 5, / NPM =/ PMN =30°, 则/ PMN =120口，又/ MNC =60'Z PNM +/MNC =180°, 因此点P与F重合，zPMC为直角三角形.MC =PM tan30* = 1. 此时，x=EP =GM =611=4.综上所述，当x=2或4或（5-J3 ）时，4PMN为等腰三角形.8、解：解：（1）t =1 秒，BP =CQ =3父1 =3厘米,AB =10厘米，点D为AB的中点，bd =5厘米.又.PC =BC -BP, BC =8厘米,. P

32、C =83 = 5厘米，PC = BDVp . BP=CQ1 P DA又.AB = AC, . NB=/C, . BPD CQPBP = PC =4, CQ = BD =5.点P ,点Q运动的时间BP 4t =二33秒,CQ vQ=T5 154 - 43厘米/秒。（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,由题意，得15一 x4=3x 2 10解得80x 二 一3秒.，点803 =80P共运动了 3厘米.80 = 2父 28 + 24 ,，点P、点Q在AB边上相遇,80.经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.9、解：（1）证明：如图，连接 AC,二,四边形 ABCD 为菱形，/ BAD =120

33、 °, / BAE+/ EAC=60 °,/ FAC+/EAC=60° ,BAE=/FAC。/ BAD=120° ,，/ABF=60°。 ABC 和 ACD 为等边三角形。ACF=60°,AC=AB。，/ABE=/AFC。.在 ABE 和 4ACF 中，/ BAE= / FAC, AB=AC, /ABE=/AFC,ABEA ACF (ASA)。，BE=CF。1)得 ABEA ACF,(2)四边形AECF的面积不变， CEF的面积发生变化。理由如下：由(贝U SaABE=Saacf。 二 S 四边形 AECF=SAEC+SaACF=SaAEC+SaABE