碎石运输方案设计

1、碎石运输方案设计摘要：本文对运输碎石的方案设计建立数学模型。这是一个道路改造项目中安排石料运输的规划问题，目标是在给定的条件下寻求使碎石运输总费用最少的规划方案。问题的关键是给出两个石料供应点的运量，恰当选择铺设临时道路的路线，确定设置码头的数量及位置。注意到通过水运运输碎石时，必须有装有卸，所有如果需要建临时码头，码头数应不小于2。由于S2处离河道处太远，又由于桥的造价很高，所以S2处运的碎石全部通过陆地运输。为了使总费用在17亿元左右，我们在S1附近建设一个装碎石码头M0 ，可能建设装碎石码头M1 、M2、M3，从码头M1修建的临时道路与AB路的交点为L1，从码头M3修建的临时道路与AB路

2、的交点为L2。从S2处铺设临时道路到临界点Q1。可能在点C处铺设临时道路到临界点Q2。路线图为S2（180,157）S1（20，,120）CM1M0（20.2,115）M2L2Q2BQ1L1A1）铺设道路的总费用M312wwww =+ ( 1 ) 1w：碎石（碎石）费关键词：最优解 lingo软件一、问题重述在一平原地区要进行一项道路改造项目，在A，B之间建一条长200km，宽15m，平均铺设厚度为0.5m的直线形公路。为了铺设这条道路，需要从S1，S2两个采石点运碎石。1立方米碎石的成本都为60元。（S1，S2运出的碎石已满足工程需要，不必再进一步进行粉碎。）S1，S2与公路之间原来没有道路

3、可以利用，需铺设临时道路。临时道路宽为4m，平均铺设厚度为0.1m。而在A，B之间有原来的道路可以利用。假设运输1立方米碎石1km运费为20元。此地区有一条河，故也可以利用水路运输：顺流时，平均运输1立方米碎石1km运费为6元；逆流时，平均运输1立方米碎石1km运费为10元。如果要利用水路，还需要在装卸处建临时码头。建一个临时码头需要用10万元。建立一直角坐标系，以确定各地点之间的相对位置：A（0,100），B（200,100），s1(20,120)，s2(180,157)。河与AB的交点为m4(50,100) （m4处原来有桥可以利用）。河流的流向为m1m7，m4的上游近似为一抛物线，其上另

4、外几点为m1(0,120)，m2(18,116)，m3(42,108)；m4的下游也近似为一抛物线，其上另外几点为m5(74,80)，m6(104,70)，m7(200,50)。桥的造价很高，故不宜为运输石料而造临时桥。此地区没有其它可以借用的道路。为了使总费用最少，如何铺设临时道路（要具体路线图）；是否需要建临时码头，都在何处建；从s1，s2所取的碎石量各是多少；指出你的方案的总费用。二、符号说明：修路的总花费；：卸碎石码头的坐标；：第个装碎石码头的坐标，；：从码头修建的临时道路与AB路的交点的坐标，；：AB上的一点（我们称它为临界点），修建它左边的道路需要的碎石取自S1, 修建它右边的道路

5、需要的碎石取自S2；：从修建的临时道路与AB路的交点的坐标，；：临时道路的横截面面积，等于；：正式铺设的AB道路的横截面面积，等于；：AB直线形公路的总长度；：从采石点S1运出的仅用于修建AB公路的碎石数；：从采石点S2运出的仅用于修建AB公路的碎石数。三、问题假设1）河有足够的跨度，可以满足在两岸都修建码头；2）假设每个码头通向AB的临时道路只有一条；3）除水路外，假设所有的运输道路均为直线型；4）把河流的上游和下游分别看作两条抛物线的一部分；5）不考虑题目所涉及范围以外的其他不确定因素产生的费用。四、模型准备考虑到在运输方案设计的数学模型中涉及大量的计算公式，为了方便，我们首先用一个示意图

6、表示运输线路，并且逐步依次对各种量的表达式进行讨论。S2S1M1M0L2Q1AQtQL11）铺设道路的总费用M212wwww =+ ( 1 ) Mk1w：碎石（碎石）费2w：运输费3w：修建码头的费用总费用=码头建设费+铺设道路的碎石成本费+碎石运输费。1）码头建设费w0：修建一个码头的费用为105元，修建K个码头的费用为w0=k1052）碎石成本费=铺设AB的碎石成本费+铺设临时道路的碎石成本费： 铺设AB的碎石成本费：=元铺设临时道路的碎石成本费：=其中，而,.3）碎石运输费=铺设临时道路的碎石运输费+铺设AB的碎石运输费:首先计算铺设临时道路的碎石运输费：下面依次计算各段道路的运输费。从

7、S1出发的临时路段的碎石运费计算：为计算修建段道路的运输费，第一步，计算把碎石从s1运到M0的运费。如果把碎石分成无数小份，则每一份的运费与其将来被铺设的位置与采石点之间的距离成正比，所以这段路的运费可以用一个积分式求出来：，修建段道路需要的碎石要经过M0运到M1的河流，由于，利用第一型曲线积分可以计算这段河的长度为：其他河段的长度可以类似计算：.这里，我们假定了M2在下游抛物线上。所以，修建段道路需要的碎石运费为： 同样得到修建段道路需要的碎石运费为：从S2出发的临时路段的碎石运费计算：其次计算铺设AB的碎石运输费，即：等于铺设点左右两边各段道路需要的碎石运输费之和。则 点中的为：. 是从采

8、石点S1运出的仅用于修建AB公路的碎石数：；是从采石点S2运出的仅用于修建AB公路的碎石数：.五、模型的建立与求解由上可以知道，为了完成AB道路的修建工程，在假定修建个码头，条临时道路的情况下，总修建费用为：=+其中：W0=(K+1)105；=+；=+，而，.具体的计算表达式如上节，其他的约束条件为：至此，我们已经成功建立了一个关于碎石运输的优化规划数学模型，要求的就是在上述约束条件下的最小值. 用Lingo求解得： 采石方法k(从河流出发到AB的临时道路条数)码头数（k+1）t(从S2出发的临时道路条数)最小费用（亿元）只从S1取石23024.534021.145028.7同时从S1、S2取

9、石12118.6218.13317.82417.0123118.64216.80316.9834118.13218.06318.945118.15218.4319.2具体程序参见附录。结论：3码头2道路最优方案总费用为16.8亿元，各有关数据为：六、模型的评价与模型的改进模型主要优点： 1) 考虑问题比较全面，我们建立的模型可以对不确定因素的各种情况都进行讨论; 2) 问题描述逐层深入，每个独立部分的模型建立与求解比较简洁； 3) 得到较好的结果，误差主要依赖于Lingo程序及计算机计算的精确度。模型缺点：没有建立一个全局动态的模型，不能直接求解出全局的最优结果。比如可以考虑从某条临时道路的中

10、间位置建设另外一条临时道路，建立更科学的网络优化模型。S2S1M1M0LkL2Q1AQtQL11）铺设道路的总费用M212wwww =+ ( 1 ) Mk1w：碎石（碎石）费2w：运输费七、参考文献1姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型. 北京：高等教育出版社，2003.8.2姜启源，薛毅. 优化建模与LINDO/LINGO软件. 北京：清华大学出版社，2005.7.3刘光灿，刘简达. 道路改造项目中碎石运输的数学模型. 长沙大学学报，2007年9月，第21卷第5期，1-4.附录一：MODEL: Title road; data: sets:LL/l0=sqrt(20-x0)2+(120-y0)2

11、);l1=sqrt(L(1)-x1)2+(100-y1)2);!.;lk=sqrt(L(k)-xk)2+(100-yk)2);/endsetssets:QQ/q1=sqrt(180-Q1)2+(157-100)2);!.;qt=sqrt(180-Qt)2+(157-100)2);/endsetssets:X/x1=(-1/8)*y12+25*y1-1200;x2=(3/20)*y22-12*y2+650;!.;xk=(3/20)*yk2-12*yk+650;/endsetsw11=sum(L(i):l(i)+sum(Q(i):q(i)*s1*60*109;s1=0.4*10-6;f0=10*l

12、02*s1*109;sets:C/c1=(1/8)*(-100+y0)*sqrt(-1/4)*y0+25)2+1)-2*log(100-y0)/4+sqrt(-1/4)*y0+25)2+1)-(1/8)*(-100+y1)*sqrt(-1/4)*y1+25)2+1)-2*log(100-y1)/4+sqrt(-1/4)*y1+25)2+1);c2=(1/8)*(-100+y0)*sqrt(-1/4)*y0+25)2+1)-2*log(100-y0)/4+sqrt(-1/4)*y0+25)2+1)-2*log(sqrt(-1/4)*100+25)2+1)+;/endsetssets:F/f1=(

13、20*l0+6*c1)*l1*s1*109+10*l12*s1*109;f2=(20*l0+6*c2)*l1*s2*109+10*l22*s1*109;f3=(20*l0+6*c3)*l1*s3*109+10*l32*s1*109;f4=(20*l0+6*c4)*l1*s4*109+10*l42*s1*109;!.;fk=(20*l0+6*ck)*l1*sk*109+10*lk2*s1*109;/endsets sets:F2/f21=(20*l0+6*c1+20*l1)*(L(1)+(L(2)-L(1)/2)*s2*109+10*L12+sqr(L(2)-L(1)/2)*s2*109;f22

14、=(20*l0+6*c2+20*l2)*(L(2)-L(1)/2+(L(3)-L(2)/2)*s2*109+10*sqr(L(2)-L(1)/2)+sqr(L(3)-L(2)/2)*s2*109;f23=(20*l0+6*c3+20*l3)*(L(3)-L(2)/2+(L(4)-L(3)/2)*s2*109+10*sqr(L(3)-L(2)/2)+sqr(L(4)-L(3)/2)*s2*109;f2k=(20*l0+6*ck+20*lk)*(L(k)-L(k-1)/2+(q-L(k)/2)*s2*109+10*sqr(L(k)-L(k-1)/2)+sqr(q-L(k)/2)*s2*109;/e

15、ndsetssets:R/r1=10*q12*s1*109;r2=10*q22*s1*109;r3=10*q32*s1*109;r4=10*q42*s1*109;!.;rt=10*qt2*s1*109;/endsetssets:R2/r2t=20*qt*(Q(t)-L(k)/2+(Q(t-1)-Q(t)/2)*s2*109+10*(Q(t)-L(k)/2)2+(Q(t-1)-Q(t)/2)2*s2*109;r22=20*q2*(Q(2)-Q(3)/2+(Q(1)-Q(2)/2)*s2*109+10*(Q(2)-Q(3)/2)2+(Q(1)-Q(2)/2)2*s2*109;r21=20*q1*(

16、Q(1)-Q(2)/2+(200-Q(1)/2)*s2*109+10*(Q(1)-Q(2)/2)2+(200-Q(1)2*s2*109/endsetsenddata obj min w=w0+w1+w2; w0=(1+k)*2*10*104;w1=200*s2*60*109+sum(LL(i):l(i)+sum(QQ:q(i)*s1*60*109;w2=w21+w20;w20=sum(F(i):f(i)+sum(R(j):r(j);w21=sum(F2(i):f2(i)+sum(R2(j):r2(j);q=(L(k)+Q(t)/2;b1=s2*q;b2=s2*(200-q);0<=l1&

17、lt;=50<=l2<l.<lk<qt<.<q1<=2000<=x1<=50<=x2<.<xk<lk<200END附录二：data: s1=0.4e-6;s2=7.5e-6;L0=sqrt(x0-20)2+(y0-120)2)L1=sqrt(l1-x1)2+(100-y1)2)L2=sqrt(l2-x2)2+(100-y2)2)Q1=sqrt(180-q1)2+(157-100)2)enddataobj min=(1+k)*2*10*104+200*s2*60*109+(L0+L1+Q1)*s1*60*109+

18、10*(L0)2*s1*109+(20*L0+6*c1)*L1*s1*109+10*(L1)2*s1*109+(20*L0*+6*c2)*L2*s1*109+10*(L2)2*s1*109+(20*L0+6*c1+20*L1)*(l1+(l2-l1)/2)*s2*109+(20*L0+6*c1+20*L2)*(l2-l1)/2*(l3-l2)/2)*s2*109+10*(l2-l1)/2)c1=(1/8)*(-100+y0)*sqrt(-1/4)*y0+25)2+1)-2*log(100-y0)/4+sqrt(-1/4)*y0+25)2+1)-(1/8)*(-100+y1)*sqrt(-1/4

19、)*y1+25)2+1)-2*log(100-y1)/4+sqrt(-1/4)*y1+25)2+1);b1+b2=1500000; 1000*x200*h1*d1=b1; x10>0; x20>x10; x20<50; y20>100; y20<y10; x10=-0.125*y102+25*y10-1200; x20=-0.125*y202+25*y20-1200; b1>0; b2>0; x00<200; x00>x200; y00=100; x2<x200; x2>0; x2<50; y2=100; d1=15; h

20、1=0.5; c1=60; d2=4; h2=0.1; c2=20; c3=6; c4=10; end附录三：min=(1+k)*2*10*104+200*7.5*60*109+(x0-20)2+(y0-120)2)0.5+(l1-x1)2+(100-y1)2)0.5+(l2-x2)2+(100-y2)2)0.5+(180-q1)2+(157-100)2)0.5+(180-q2)2+(157-100)2)0.5*0.4*60*109+10*(x0-20)2+(y0-120)*s1*109+(20*(x0-20)2+(y0-120)2)0.5+6*c1)*(l1-x1)2+(100-y1)2)0

21、.5*s1*109+10*(l1-x1)2+(100-y1)2)s1*109+(20*(x0-20)2+(y0-120)2)0.5+6*c1)*(l2-x2)2+(100-y2)2)0.5*s1*109+10*(l2-x2)2+(100-y2)2)s1*109+10*(180-q1)2+(157-100)2)*s1*109+x0-20)2+(20*(y0-120)2)0.5+6*c1+20*(l1-x1)2+(100-y1)2)0.5)s1=0.4;s2=7.5b1+b2=1500000; 1000*x200*h1*d1=b1; x10>0; x20>x10; x20<50; y20>100; y20<y10; x10=-0.125*y102+25*y10-1200; x20=-0.125*y202+25*y20-1200; b1>0; b2>0; x00<200; x00>x20