多元函数微分法及其应用复习题及解答

1、多元函数微分法及其应用复习题及解答、选择题2，一一x yi.极限 lim( b) x0 xyy P(A)等于0;(B)不存在；(C) 等于 -;(D)存在且不等于0或122(提示：令y =k2x2 )2、设函数11xsin- ysin - f(x,y) = y x0xy "0 ,则极限 lim f (x,y) =x_0xy = 0y )0(A)不存在；(B)等于1；(C)等于0； (D)等于2(提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小)xy3、设函数 f (x,y) = x2 y20(A)处处连续；(C)仅在(0,0)点连续；22 cx y : 0 ,则 f(x, y)22x y =

2、0(B)处处有极限，但不连续；(D)除(0,0)点外处处连续(提示：在x2 +y2 00 ,f (x, y)处处连续；在 xt。，丫7 0,令丫 =卜*,kx2kxlimTim -0 = f (0,0)* x2 k2x2x)0、,1 k2. 一. 22，故在x +y =0 ,函数亦连续。所以,f(x,y)在整个定义域内处处连续。)4、函数z= f (x, y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的(A )(A)必要而非充分条件；(C)充分必要条件；yu5、设 u = arctan，贝U = x改(B)充分而非必要条件；(D)既非充分又非必要条件(A)(B)(C)(D) x2y26

3、、设 f (x, y) = arcsin-,则 fx(2,1) = x1(B)；4：,z二 z7、右 z = ln( Jx Jy),则 x + y- =；x；:y(C)1(D)2(A)尿 +Jy；(B) Jx-/y ；(D)x8、设 z = arctan 一 , y/“、 u-v(A) u - vx=u+v, y=uv,则zuzv 二(C)u - v22u v9、若 f (x,2x) = x2一 ' 一、 一 一，+ 3x, fx (x,2x) = 6x +1,则 fy(x,2x) =3(A) x+；2(B) x2(C) 2x+1;(D) -2x 1:z.:z10、设 z = yx,则

4、(一 一):y(2,1)(A) 2 ；(B) 1+ln2 ;(C) 0 ；(D) 111、设函数z = 1 Jx2 + y2 ,则点(0,0)是函数 z的(A)极大值点但非最大值点;(B)极大值点且是最大值点;(C)极小值点但非最小值点;(D)极小值点且是最小值点。12、设函数z = f (x, y)具有二阶连续偏导数，在 P0(x0,y。)处，有fx(F0) =0, fy(R) = 0, fxx(P°)= fyy(P0)=0, fxy(P0) = fyx(P0)=2,则(A )点P0是函数z的极大值点;(B)点P0是函数z的极小值点;(C)点P0非函数z的极值点;(D)条件不够，无

5、法判定。、填空题sin( xy)1、极限 lim0-” x2、极限y >1x2ln( y e )。答：ln23、函数z = Jln(x + y)的定义域为。答：x + y之14、函数z = arCSinx的定义域为。答：iwxwl, y#0y。答：k2 f (x, y)5、设函数 f (x, y) = x2 + y2 + xy lnI，则 f (kx, ky)=226、设函数 f (x,y) = xy-,则 f(x +y,x y)= 。答：x -y22j)2x。答：3cos5x y2x(x y)(x-y)(,f (x y, x - y)=(x y) (x-y)x -2yz7、设 z =

6、sin(3x - y) + y ,则一 fx-2(v )z8、函数z = z(x, y)由方程x + y + z = e"所确te,则 2=09、设x_1O答：一y-2 u u = xln xy ,则xcy_2_ 29、函数 z = 2x -3y 4x6y1 的驻点是。答：(1, 1)二、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形(1) z=_1x2y2(2)z = ln(x y)1，,、(3) z = (4)z = ln(xy -1)ln(x y)解：(1)要使函数z = Ji -x2 y2有意义，必须有1 x2 y2之0,即有x2+ y2 W1.故所求函数的定义域为 D

7、 =( x, y) | x2 + y2 M1,图形为图3.1(2)要使函数z = ln(x+y)有意义，必须有x+y>0.故所有函数的定义域为D =(x, y)|x + y >01，图形为图 3.21(3)要使函数z =有意义，必须有ln(x + y) =0 ,即x + y a 0且x + y # 1.ln( x y)故该函数的定义域为D =(x, y) |x+y A0, x + y*1,图形为图 3.3 要使函数z = ln( xy 1)有意义，必须有 xy -1 > 0.故该函数的定义域为D =( x, y) | xy >1,图形为图 3.4图3.3图3.2图3.4

8、2、求极限ximjyoxxye4- J6 xyx xye 解：limx 24 -，16 xyy )0xyex (416 xy)=limx -xyy 30=-82xyz - 121 一 xy2Z »3、设函数z = z(x, y)由万程xy z = x + y + z所确定，求一。答: 二 yLL xz 二 z4、设 z = y ln(xy),求丁，丁。 二 x 二 yx1 x解：zx = y ln y ln xy - y x四、应用题O1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是22、400 + 2x+3y + 0.01(

9、3x +xy+3y )兀,求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少?解：L(x, y)表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数 L(x,y) =(10x 9y) 一400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2)一 一 一-，-2-2、 一 -、=8x+6y-0.01(3x +xy+3y ) -400,(x > 0, y > 0),Lx =80.01(6x + y) =0,解得唯一驻点(120, 80).Ly =60.01(x+6y) =0又因 a = l妻= 0.06 <0,B = L： =0.01,C = L： =0.06,得xxxyyyAC

10、 - B2 =3.5 10，0.得极大值L(120,80) =320 .根据实际情况，此极大值就是最大值.故生产 120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题_(1 .1).1、设2=3 x y 求证 x2Z + y2Z=2zex 二 y、门；z1泣1证明： 因为 =ey，亍 =ey，-：xx22 yy2所以二二，1)J 1)x2 " y2 = e x y -e x y =2z:xFy2 ,设 2sin(x+2y-3z )=x+2y3z.证明口口 =1:x ：:y证明：设 Flx.y.z-sinay-3z)-x-2y+3z.贝U Fx=2cos(x 2y-3z)-1 Fy =2cos(x 2y-3z)2-2=2Fx Fz=2cos(x 2y-3z) (-3) 33Fx:z =_Fx= Fx =1iz= Fy=仅Fz -3Fx 3：:y Fz2Fx 2-3Fx 3；zFzFxFz1