广东省惠州市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

1、2016-2017学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. （5分）下列命题中的假命题是（）A. ? xCR,lgx=0B.? xC R,tanx=1C.?xC R,x30D.? xC R,2x02. （5分）一个人打靶时连续射击两次，事件至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C,只有一次中靶D.两次都不中靶3. （5分）“K0”是 方程二+21=1表示双曲线”的（）t -k kA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. （

2、5分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为 0的小球1 个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球， 取到标号是2的小球的概率是2，则n=（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5225. （5分）已知椭圆长轴在y轴上，若焦距为4,则m等于 工 U 一 m m z（ ）A. 4 B, 5 C, 7 D. 86. （5分）若样本数据x1，x2,，x10的标准差为8,则数据2x1 - 1, 2x2-1, 2x10- 1的标准差为（）A. 8 B. 15 C. 16 D. 327. （5分）双曲线 二-二1的渐近线与圆（x-3） 2+y2=r2 （r0）相切，

3、则r= 54A. 2B.丁 C. 3 D. 68. （5 分）的概率为（在区间0,1上任取两个实数a, b,则函数f （x） =x2+ax+b2无零点B.D时，输出的k的值为（9. （5 分）程序框图如图所示，当10. （5分）抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是看记事件A为 率 P （AUB）=（向上的点数是奇数”，事件B为向上的点数不超过3，则概BC.11. （5分）已知Fi、F2是椭圆的两个焦点，满足 ?2=。的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A.（0, 1）B.（0,/C. （0,半）D.遵,1）12. （5分）在三棱锥P-ABC中，D为底面ABC

4、的边AB上一点，M为底面ABC一.3内一点，且满足AB-AE,蝴二AD,则三棱锥P-AMD与三棱锥P ABC的小工口 . r -MD4/体积比方为（叩一必CA.B.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. （5分）若抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上，则此抛物线的标准方程是14. （5分）某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：产量x （千件）2356成本y （万兀）78912则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为 .15. (5分)在空间直角坐标系 O-xyz中，平面OAB的一个法向量为；=(2, -2, 1),已知点P (-1, 3, 2),则点P到平面OAB的距离

5、d等于.16. (5分)已知函数 f (x) =4|a|x- 2a+1 .若命题：？ xoC (0, 1),使 f (x0) 二0”是真命题，则实数a的取值范围为三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (10分)已知集合 A=y| y=x2- 1x+1, xC 岛 2 , B=x|x+m21,若 “x ；jiCA”是飞B的充分条件，求实数 m的取值范围.18. (12分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是50, 60) , 60, 70) , 70, 80) , 80, 90) , 90, 100.(I )求图中a的值；(R)若这

6、100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成绩在50, 90)之外的人数.分数段50, 60)60, 70)70,80)80,90)x： y1： 12： 13： 44： 519. (12分)从抛物线y2=32x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为 E.(I )求轨迹E的方程；(H)已知直线l: y=k (x- 2) (k0)与轨迹E交于A, B两点，且点F (2,0)，若| AF =2| BF ,求弦AB的长.20. (12分)已知椭圆的两焦点为F1 ( - 1, 0)、F2 (1,0), P为椭圆上一点， 且 2产汜| 二|PH|+|

7、PE| .(1)求此椭圆的方程；(2)若点P在第二象限，/ EFiP=120,求PF1F2的面积.21. (12分)如图，在三棱柱ABC- A1B1C1中，4ABC是边长为2的等边三角形, AAi,平面ABC, D, E分别是CC, AB的中点.(1)求证：CE/平面 ABD；(2)若H为A1B上的动点，当CH与平面A1AB所成最大角的正切值为 号时, 求平面A1BD与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值.冉22. (12分)已知点F (1, 0),直线l: x=-1, P为平面上的动点，过 P作直 线l的垂线，垂足为点 Q,且丽而二正五.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线交轨迹

8、C于A, B两点，交直线l于点M,已知证二%i而， 诬二人而，求为+打的值.2016-2017学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理 科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .下列命题中的假命题是（）A. ? xC R, lgx=0 B. ? xC R, tanx=1 C. ? xC R, x30 D. ? xC R, 2x0 【考点】命题的真假判断与应用.【分析】A B、C可通过取特殊值法来判断；D、由指数函数的值域来判断.【解答】解：A、x=1成立；B、x）-成立；D、由指数函数的值域来判断.对于4C选项

9、x=- 1时，（-1） 3=- K0,不正确.故选C【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域， 属容易题.2. 一个人打靶时连续射击两次，事件 至少有一次中靶”的互斥事件是（）A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C,只有一次中靶 D.两次都不中靶【考点】互斥事件与对立事件.【分析】利用互斥事件的概念求解.【解答】解：至多有一次中靶”和至少有一次中靶”，能够同时发生，故A错误;两次都中靶”和至少有一次中靶”，能够同时发生，故B错误；只有一次中靶”和至少有一次中靶”，能够同时发生，故C错误；两次都不中靶”和 至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确.故选：D.【点评】本题

10、考查互斥事件的判断，是基础题，解题时要熟练掌握互斥事件的概念.223. ao”是方程工r+J!_=i表示双曲线”的()L k kA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的方程进行判断即可.22【解答】解：若方程上+工_ = 1表示双曲线，Lk k贝U k (1 - k) 0,解得 k1 或 k10 m,即 m6,G/m- 2产-Qi。- Ki） 二21 解得 m=8故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及 焦距的关系要明了.6.若样本数

11、据xi, X2,，X10的标准差为8,则数据2xi - 1, 2x2-1,，2x10-1的标准差为（）A. 8 B. 15 C. 16 D. 32【考点】极差、方差与标准差.【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的 方差关系进行求解即可.【解答】解：.样本数据x1, x2,，x10的标准差为8,布=8,即 DX=64,数据 2x1-1, 2x2-1,，2x10- 1 的方差为 D （2X- 1） =4DX=4X64,则对应的标准差为一二一=二16,故选：C.【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键.227 .双曲线3-二二1

12、的渐近线与圆(x- 3) 2+y2=r2 (r0)相切，则r=(54A. 2 B.二 C. 3 D. 6【考点】双曲线的简单性质.【分析】求得圆的圆心和半径r,双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条 件：d=r,计算即可得到所求值.【解答】解：圆(x- 3) 2+y2=r2的圆心为(3, 0),半径为r,双曲线jd-式=1的渐近线方程为 54,2y=TT由直线和圆相切的条件：d=r,6可得 r= r =2, 4故选：A.【点评】本题考查直线和圆相切的条件：d=r,同时考查双曲线的渐近线方程, 考查运算能力，属于基础题.8 .在区间0, 1上任取两个实数a, b,则函数f (x) =x2+ax

13、+b2无零点的概率为( )A 1 C 3 c 2clA 不 B. C t D 工【考点】几何概型.【分析】函数f (x) =x2+ax+b2无零点的条件，得到a, b满足的条件，利用几何 概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论.【解答】解：: a, b是区间0, 1上的两个数，.a, b对应区域面积为1x1=1若函数f (x) =x2+ax+b2无零点,则=# 4b212,K 十 J. JL J一,12 所以：当A喑时，输出的k的值为12.故选：B.【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解 答本题的关键，属于基础题.10 .抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现

14、任意一种点数的概率都是 看，记 事件A为向上的点数是奇数”，事件B为向上的点数不超过3，则概率P (AUB)=(A.B.C.D.【考点】互斥事件的概率加法公式.【分析】P (AU B) =P (A) +P (B) - P (AB),由此能求出结果.【解答】解：二.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率者B是6记事件A为向上的点数是奇数”，事件B为向上的点数不超过3”，.p =A-1 p(B) =|=1, P (AB) =|4， 6 26263P (AU B) =P (A) +P (B) - P (AB) 44T=1.士 上 JO故选：C.【点评】本题考查概率的求法，是基础题，

15、解题时要认真审题，注意等可能事件 概率计算公式的合理运用.11 .已知Fl、F2是椭圆的两个焦点，满足MF?MFz=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A.(0, 1)B. (0, - C (0,给 D.零 1)【考点】椭圆的应用.【分析】由MF?MFz=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆.又 M点总在椭圆内部，cb, c2b2=a2-c2.由此能够推导出椭圆离心率的取值 范围.【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a, b, c,1 .?“！ ：-=0, .M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆.又M点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即c b,

16、 c2b2=s2- c2.I小小.0e隼故选：C.【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容， 解题时要注意公式的选取，认真解答.12.在三棱锥P-ABC中，D为底面ABC的边AB上一点，M为底面ABC内一点,则三棱锥P- AMD与三棱锥P- ABC的体积比A,一【考点】B.C.,D. -棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】/ ADM,【解答】由题意画出图形，结合向量等式可得AD=|胆DM=|丈且/ ABC= 进一步得到 ADM与 ABC面积的关系得答案.设三棱锥P-ABC的底面三角形ABC的面积为S,高为h,AD=AE, M二高哈法， . AD=-AE, DM=mBC,且/ ABC之ADM, 45

17、SAAPH=V&DM*1EnNADN=yJ_ _9_.,%-加 3 *20 34 9 -故选：D.【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查平面向量在求解立体几何 问题中的应用，是中档题.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13 .若抛物线的焦点在直线 x-2y-4=0上，则此抛物线的标准方程是y2=16x或 x2= - 8y .【考点】抛物线的标准方程.【分析】分焦点在x轴和y轴两种情况分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标 准形式可得答案.【解答】解：当焦点在X轴上时，根据y=0, x-2y-4=0可得焦点坐标为（4, 0） 抛物线的标准方程为y2=16x当焦点在y轴上时，根据x=0,

18、 x-2y- 4=0可得焦点坐标为（0, -2）抛物线的标准方程为x2=- 8y故答案为：y2=16x或x2= - 8y【点评】本题主要考查抛物线的标准方程.属基础题.14 .某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据:产量x （千件）2356成本y （万兀）78912则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为t=1.10x+4.60 .J【考点】线性回归方程.【分析】根据表中数据先求出平均数，再由公式求出a, b的值，即可写出回归直线方程._ 1【解答】解：由题意，计算s=1x （2+3+5+6） =4,1,八八、八气 X （7+8+9+12） =9,2X7+3X 8+5X 9+6

19、X 12 - 4Xb二三.二.：!工”=1.10，且回归直线过样本中心点（L y）,a=9- 1.10X4=4.60,故所求的回归直线方程为：=1.10x+4.60.故答案为:=1.10x+4.60.【点评】本题考查了利用公式求线性回归直线方程的应用问题,15 .在空间直角坐标系O-xyz中，平面OAB的一个法向量为r= (2, - 2, 1), 已知点P ( - 1, 3, 2),则点P到平面OAB的距离d等于 2 .【考点】点、线、面间的距离计算；空间两点间的距离公式.【分析】直接利用空间点到平面的距离公式求解即可.【解答】解：平面OAB的一个法向量为；=(2, -2, 1),已知点P(-

20、 1, 3,2),一一一一-I；而 I 1-2-6+21贝U点P到平面OAB的距离d= inyi=pq-=2.Ini 也 2+(2)，J故答案为：2.【点评】本题考查空间点、线、面距离的求法，公式的应用，是基础题.16 .已知函数 f (x) =4| a| x- 2a+1.若命题：？ xoC (0, 1),使 f (xo) =0 是真命题，则实数a的取值范围为.【考点】特称命题；命题的真假判断与应用.【分析】由于f (x)是单调函数，在(0, 1)上存在零点，应有f (0) f (1) 0,解不等式求出数a的取值范围.【解答】解：由：? &C (0, 1),使f (x0)=0”是真命题，得：f

21、(0)?f(1)0? (12a) (4| a| 2a+1) 。-J*。l(2a+l)(2a-l)CX(6a- 1)-1) 1,若“丘A”是“ B的充分条件，求实数 m的取值范围.【考点】充分条件.【分析】先求二次函数尸-晟介1在区间,2上的值域，从而解出集合 A, 在解出集合B,根据 yA”是 yB的充分条件即可得到关于 m的不等式，从而 解不等式即得实数m的取值范围.【解答】解：丫=工2-冬+给/”纷出; z416该函数在率 句上单调递增，x=2时，y=2；A=yjy1 - m2；. x A是xC B的充分条件；1 -16解得m0）与轨迹E交于A, B两点，且点F （2,0），若| AF =

22、2| BF ,求弦AB的长.【考点】轨迹方程.【分析】（I）先设出垂线段的中点为 M （x, y） , P （X0, y。）是抛物线上的点， 把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可；(n)根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出a, B的中点横坐标，即可求出弦 AB的长.【解答】解：(I)设垂线段的中点 M (x, y) , P (xo, y。)是抛物线上的点，D(X0, 0),因为M是PD的中点,所以xo=x, yyo,有 xo=x, yo=2y,因为点P在抛物线上，所以yo2=32x,即4y2=32x,所以y2=8x,所求点M轨迹方程为：y2=8x.(n)抛物线

23、y2=8x的焦点坐标为(2, 0),准线方程为x=- 2,设 A (xi, yi) , B (x2, y2),则v | AF| =2| BF| ,xi+1=2 (x2+1) , xi=2x2+1. |yi| 二2| y2| ,.xi=4x2,乂=2, x2苦，.| AB| =xi+x2+p=-r+4=-.【点评】本题主要考查求轨迹方程的方法，考查学生分析解决问题的能力，利用 抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键，属于中档题.20. (12分)(2016秋？惠州期末)已知椭圆的两焦点为 Fi (-1, 0)、F2 (1,0) , P 为椭圆上一点,且 2| F1F2|=| PF|+

24、| PF2| .(1)求此椭圆的方程；(2)若点P在第二象限，/ F2F1P=120,求PF1F2的面积.【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的应用.【分析】(1)根据2| F1F2| =| PF|+| PFd ,求出a,结合焦点坐标求出C,从而可求b,即可得出椭圆方程；(2)直线方程与椭圆方程联立，可得 P的坐标，利用三角形的面积公式，可求 PFF2的面积.【解答】解：(1)依题意得| F1F2| =2,又 2|F1F2|=|PR|+| PFd , . | PR|+| PE| =4=2a,. . a=2, c=1, . b2=3一 ， 22所求椭圆的方程为,+=1.43（2）设P点坐标为（x,

25、 y）,/ F2FiP=120,一PF所在直线白方程为y= （x+1） ?tan 120；即 y=-无（x+1）.尸-Va+i）解方程组，22+，=143并注意到x 0,可得， （6分）I尸等.Spfif24|FiF2|?=*.（ 8 分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计 算能力，确定P的坐标是关键.21. （12分）（2013?广州一模）如图，在三棱柱 ABC- A1B1C1中， ABC是边 长为2的等边三角形，AA1,平面ABC, D, E分别是CC, AB的中点.（1）求证：CE/平面 ABD；（2）若H为A1B上的动点，当CH与平面A1AB所成最大

26、角的正切值为 中时， 求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值.月【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角 及求法.【分析】(1)通过补形，延长延长 AiD交AC的延长线于点F,连接BF,从而 可证明C曰BF,然后由线面平行的判定定理得证；(2)由已知找出C点在平面AiAB上的射影CE CE为定值，要使直线CH与平 面AiAB所成最大角的正切值为 亨，则点H到E点的距离应最小，由此得到 H 的位置，进一步求出EH的长度，则在直角三角EHB中可得到BH的长度，利用 已知条件证出BF，平面AiAB,从而得到/ EBH为平面AiBD与平面ABC所成的 二面角

27、，在直角三角形EHB中求其余弦值.本题也可以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决.【解答】法一、(i)证明：如图,延长AiD交AC的延长线于点F,连接BF. CD/ AAi,且 CD=yAAi,.C为AF的中点.E为AB的中点,CE/ BF.V BF?平面 AiBD, CE?平面 AiBD, . CE/ 平面 AiBD.(2)解：: AA，平面 ABC, CE?平面 ABC,.AAnXCEABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点, . CELAB, CE-AB=VS -. AB?平面 AiAB, AAi?平面 AiAB, ABA AAi=A, C旦平面AlAB. / EHC为

28、CH与平面AiAB所成的角.CE-V3,在 Rt CEH中,tan/EHC0., EH EH 当EH最短时，tan/EHC的值最大，则/ EHC最大. /EHL AiB时，/ EHC最大.此时，tan/EHC二兽里玛. HH EH 2册笔. 5. CE/ BF, CE1平面 AiAB,BF,平面 AiAB. AB?平面 AiAB, AiB?平面 AiAB,BFAB, BFAiB./ABA为平面AiBD与平面ABC所成二面角（锐角）.在EHB中，BhHer2 - eM 芈，cos/ ABA要多.5Jib 5平面AiBD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为 艰. 5法二、（D证明：如图，取Ai

29、B的中点F,连接DF、EF.E为AB的中点,. EF/ AAi,且即占匕. CD/ AAi,且 CDAAi, .EF/ CD, EF=CD四边形EFDCg平行四边形.CE/ DF.V DF?平面 AiBD, CE?平面 AiBD, . CE/ 平面 AiBD.(2)解：: AAi,平面 ABC, CE?平面 ABC,.AAiXCEABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，CE!AB, CEAB=V1 - u. AB?平面 AiAB, AAi?平面 AAB, ABA AA尸A,. CEL平面 AiAB. / EHC为CH与平面AiAB所成的角.CE=Vs,在 RtzCEH中，tanNEHHq

30、f, dH ljEL当EH最短时，tan/EHC的值最大，则/ EHC最大.当EHLAiB时，/ EHC最大.止匕时，tan/EHC二暮或二当. Ln22V55在 RtAEHB中，BH=Jeb? _1炉二害.v RtA EHB- RtAAiAB,. EH .bh 口挛占. AAj蜴，即怖二反 .A A NAA=4.以A为原点，与AC垂直的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，AAi所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系A - xyz.WJ A (0, 0, 0) , Ai (0, 0, 4) , B(J5，L。)，D (0, 2, 2). .西=(0, 0, 4),甲=伤1,-4),= (0, 2,

31、 -2) .设平面AiBD的法向量为n= (x, y, z),由；3二0, r 4尸。,虹二。人,L得，令y=1,则七二工，班.2y- 2z=0平面AiBD的一个法向量为n=G/5，1, 1).AA，平面ABC,= (0, 0, 4)是平面ABC的一个法向量. .cos I!.一一周研55A1BD与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值为暗.【点评】本小题主要考查空间线面位置关系、 直线与平面所成的角、二面角等基 础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化 的数学思想方法.是中档题.22. (12分)(2007?福建)已知点F (1, 0),直线l: x=- 1, P为平面上的 动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q,且庙,加二7? 而.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线