数学全归纳教师版函数的性质——奇偶性、单调性、周期性

1、第三节 函数的性质一一奇偶性、单调性、周期性考纲解读1 .理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，会利用单调性解决函数的最值问题.2 .结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.3 .会利用函数的图像理解和研究函数的性质.命题趋势研究有关函数性质的高考试题，考查重点是求函数的单调区间，利用函数单调性求函数的最值(值域)、比较大小及求解函数不等式 .函数奇偶性的判断及其应用是常考知识点，常与函数的单调性、周期性、对称性、最值等结合综合考查知识点精讲函数奇偶性定义设y = f (x), x w D(D为关于原点对称的区间)，如果对于任意的xw D ,都有f(_x) = f(x),则称函数y=f(x

2、)为偶函数；如果对于任意的x D ,都有f (x) = f (x),则称函数y = f (x)为奇函数.性质(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称(2)奇偶函数的图象特征.函数f(x)是偶函数u函数f(x)的图象关于y轴对称；函数f(x)是奇函数u 函数f(x)的图象关于原点中心对称 .(3)若奇函数y=f(x)在x=0处有意义，则有f(0) = 0;偶函数y=f(x)必满足f(x)=f(|x|).(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶

3、函数与一个奇函数的1 一一 .一 ,一1 一 一一和的形式.记 g(x) = 2f (x)+ f (-x) , h(x) = 2 f (x) - f (x),贝U f (x) = g(x)+ h(x).(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如 f(x) g(x), f (x) -g(x), f (x) g(x), f (x)-：- g(x).对于运算函数有如下结论：奇士奇=奇；偶±偶=偶；奇士偶=非奇非偶；奇父(2)奇=偶；奇父(+ )偶=奇；偶黑(子)偶=偶.(7)复合函数y = f g(x)的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为

4、奇函数的单调性定义一般地，设函数 f(x)的定义域为D,区间M=D,若对于任意的X1,x2w M ,当Xi<X2时，都有f(X1)<f(X2)(或f (Xi) a f(X2),则称函数f (x)在区间M上是单调递增(或单调递减)的，区间 M为函数f (x)的一个增(减)区间.注：定义域中的X1,X2 = M具有任意性，证明时应特别指出对于任意的为？2亡M ” .单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设 XpX2 w M =a, b且 Xi <X2 ,则 f (X1) - f (X2) >。U f (x)在a,b上是增

5、函数。过 Xi _ X2单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零u (Xi -X2)f(K)-f(X2) 0.f(Xi) - f (x2)M0u f (x)在a,b上是减函数 u 过单调递减函数图象上任意不同两点 Xi - X2的割线的斜率恒小于零 二(xi - x2)f(xi) - f (x2) :： 0.性质对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减二增；减-增二减.一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如 增Xt曾二增”不一定成立；若f(x)为增函数，则ii i为减函数 也是错反的.如f ( x) = x(x W R,X ¥ 0),则y =二

6、为减函数是不正f(X)f(x) x确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立：i -右f (x)为增函数，且 f (x) >0(或f (x) <0 ),则为减函数.f(x)i 一，右f (x)为减函数，且 f (x) >0(或f (x) <0 ),则为增函数.f (X)复合函数的单调性复合函数的单调性遵从同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增(减)函数，内层函数是增(减)函数，复合函数是增函数；外层函数是增(减)函数，内层函数是减(增)函数，复合函数是减函数.函数的周期性定义设函数y = f(x)(xWD),如存在非零常数T,使得对任何xWD,x+TWD,且f (x

7、 +T) = f (x),则函数f (x)为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.注：函数的周期性是函数的整体”性质，即对于定义域 D中的任何一个 X,都满足f(x +T) = f (x)；若f(x)是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.性质若f(x)的周期为T,则nT(n wZ,n=0)也是函数f(x)的周期，并且有f(x + nT)=f(x).有关函数周期性的重要结论(如表所示)函数式满足关系(xw R)周期f(x+T) = f (x)Tf (x +T) =f(x)2T11f (x+T) ; f(x+T)f(x)

8、f(x)2Tf(x+T) = f (x-T)2Tf (x +T) =-f (x-T)4T1f (a +x) = f (a -x) f (b +x) = f (b -x)2(b-a)f (a +x) = f (a -x)f (x)为偶函数2a'f (a +x) = -f (a -x) f (b +x) = f (b -x)2(b-a)'f (a +x) = - f (a -x)、f(x)为奇函数2a:f (a +x) = f (a -x) (f (b +x) =_f (b -x)4(b _ a)f (a +x) = f (a -x)(f (x)为奇函数4af (a +x) =_f

9、 (a -x)f(x)为偶函数4a函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y = f (x)有两条对称轴x = a, x =b(a < b),则函数 f(x)是周期函数，且T =2(b -a)；(2)若函数y = f (x)的图象有两个对称中心(a, c), (b,c)(a <b),则函数y=f(x)是周期函数，且 T =2(ba)；(3)若函数y = f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a <b),则函数y=f(x)是周期函数，且T =4(b a).题型归纳及思路提示题型16 函数的奇偶性f(_x)=_f(x),则函数 f(x)为奇f(x)的图像关于原点中心

10、对称，则思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：(1)定义法.首先看定义域是否关于原点对称；若函数；若f (x) = f (x),则函数f(x)为偶函数.(2)图像法根据函数图像的对称性进行判断，若函数f(x)为奇函数；若函数 f(x)的图像关于y轴对称，则f(x)为偶函数.【例2.25】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=36 - x2|x 3| -3 f (x) =Vl-x2 +4x2 -1 ；(3) f (x) =log2(x + Mx2+1)；(4)f(x)=10g2(1 -x2)|x-2| -2(5)f(x)x2 +x(x <0)=<2，-x +x(x >0)

11、解析v36-x2(1)由f(x)=可知|x+3|-3236-x2 之 0Jx+3|_3#0一'-6<x<6,故函数f (x)的 x丰0fix丰-6定义域为x|-6<x<0或0<x<6,定义域不关于原点对称，故 f (x)为非奇非偶函数.1x2 之 0c 2x2 =1= x = ±1 ,故函数f(x)的定义域为1,1,关于原点对称，故x -1 之 0f(x)=0,所以f(x)= f(x) = f(x),所以函数f (x)既是奇函数又是偶函数因为对任意实数x ,都有x +Vx2+1 Ax十|x |之0 ,故定义域为 R.且f (一x) =log

12、2(，x2+1 x) =log2(-j=) =-log2(%,x2+1 + x) = _f (x),故 f(x),X2 1 x为奇函数.'1-x2 >0.、 (4)由J=_1 < x < 0或0 < x <1 , 7E义域关于原点对称.Jx -2|-2 0022、此时，f (x)0g2(1-x ) =log2(1-x),故有 f(_x) = -f(x),所以 f(x)为奇函数. |x-2|-2-x2当 x <0 时,x >0, f (x) =x x = f(x);当 x > 0 时,-x <0, f(x) =x2 x= -f (x)

13、.故 f (x)为奇函数.评注 利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：首先必须判断 f (x)的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对称，则对定义域任意x说明满足定义.若否定奇偶性只需有一个自变量不满足.有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例(2),若不化简可能误判为偶函数，而本例(4)可能误判为非奇非偶函数.本例 (3) 若用奇偶性 的等价形式， 则f(一x) + f (x) =log2Gx2 +1 -x) +log2(nx2 +1 +x) =log21 = 0,即 f(-x) =-f (x),故f(x)为奇函数，显

14、然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便变式1:判断下列函数的奇偶性f(x) =(x-1)(2)f(x)=3二 | x_314 - x2(1)x 2(x T)(3) f(x) =<0(-1 Mx<1)； x-2(x >1)(4) f(x) =|x -2| |x - 2|.，一 一1 x .解析 (1)函数f(x)=(x-1)J的定义域为x|1Wx<1,其定义域不关于原点对1-x称，故函数f(x)为非奇非偶函数.(2)函数f(x)=3423的定义域为(-2, 2),其定义域关于原点对称，又函数 ,4-x2M

15、xxUxW1 =二*，可得f(-x) = -f(x),故f(x)函数为奇函数.4 -x2, 4 . x2(3)解法一：设 x <1 ,贝U x >1, f (x) = x2 = f(x),同样当iwxwl时，f(_x)=f(x),故f(x)函数为奇函数.解法二：(图象法)函数 f(x)的图象如图2-42所示，知函数f(x)为奇函数.图2 42(4)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称，又 f (_x) H -x -2| +| -x +2H x+2| +| x-2|=f (x),故函数 f(x)为偶函数.变式2：已知函数f (x) = lg(x + 22 + x2) lg J2 ,

16、试判断其奇偶性解析函数的定义域为 R,又2 x2x , 2 - x2 - xx2 - 2 - x2,f (x)为奇f (x) + f (x) = 1g尸一+ 1gx = lg() = 0,故函数222函数.a 一【例2.26已知函数f (x) =x2 + (x=0,x= R),试判断其奇偶性. x分析利用函数奇偶性的定义进行判断.解析 当a=0时，f(x)=x2,满足f (x) = f (x),故f (x)为偶函数；ao a当 a #0时，f (x) = x + , f (-x) = x 一一，假设 f (一x) = f (x)对任意 x= R , x ¥ 0 恒 xx成立，则此时a

17、 =0 ,与前提矛盾；假设f(x) = f(x)对任意xwR, x#0恒成立，则此时 2x2=0,即x = 0,与条件定义域x | x # 0, x w R矛盾.综上所述，当a=0时，f(x)为偶函数；当a#0时，函数f(x)为非奇非偶函数.评注 函数f(x)是奇函数u f(x) + f (x) = 0;函数f(x)是偶函数u f (x) f (x) =0 .奇偶函数的前提是函数的定义域关于原点对称.若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由x2与刍通过xa 一加法法则运算得到的函数，而y=x2为偶函数，y = (a#0)为

18、奇函数，故当a#0时，x2f(x)为 偶+奇”形式，故为非奇非偶函数；当 a = 0时，则f(x)=x为偶函数.2 一.一 一一变式1：函数F(x) =(1)f (x)是偶函数，并且f(x)不等于零，则f (x)是()2x -1A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数2，-2，解析 可证明g(x)=什ff 乂为奇函数，要使 F(x)= (1 f x(是)禺函2x -12x -1数，由运算函数的奇偶性规律可知，f (x)是奇函数，故选 A.变式2：对于函数y=f(x), xWR, "y =| f (x)|的图象关于y轴对称”是“f (x)是奇函数”的()A.充分不必要条件B

19、.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若函数y = f (x)是奇函数，则f ( x) = - f ( x)此时，| f ( x )#|-f x月f| x(因此y =| f ( x)岸偶函数，其图象关于 y轴对称，但当y =| f (x) |的图象关于y轴对称时，未必推出y = f(x)是奇函数，如 y = x2是偶函数，且 y =| f (x)|=|x2|=x2,其图象关于y轴对称，并非奇函数，故"y=| f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的必要不充分条件.故选B.【例 2.27 定义在实数集上的函数f(x),对任意x, yw R都有 f(

20、x+y) + f(x y) =2f(x)f(y),且 f(0)#0,试判断 f(x)的奇偶性.分析 对于抽象函数的奇偶性判断通常利用赋值法得到f (x)与f (x)的关系.解析 由函数定义域为R可知定义域关于原点对称.依题意可令x = 0,y = 0,得 2f(0) =2f(0)2，因为 f(0) #0,所以 f (0)=1 .令 x=0,可得 f (y) + f( y) = 2f (y), 即f (y) = f ( _y),所以f (x) = f ( x),故函数f (x)为偶函数.评注 对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法(如令x = 0,1,-1等)凑成含有f(x)与f(-x)的关系的

21、式子，然后进行判断.变式1:已知函数f (x)在R上有定义，且对任意 x, y w R都有f (x + y) = f (x) + f (y), 试判断f (x)的奇偶性.解析 令 x=y=0,得 f(0)=牙(0), =(0,)令丫 = 一x,得f(0) =f(x)+f(x=)0f (x=> f,所以函数 y=f(x)是奇函数.变式2：若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1,x2 w R有f (x1+x2) = f (x1)十f (x2) + 1 , 则下列说法正确的是()A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数C. f (x) +1为奇函数D. f(x) +1为偶函数解析解法一：

22、由 x1,x2WR有f(x+x)= f( x)+ f(2xK 1设 x1 =x,x2 = x,贝U f (0) = f (x)+ f (-x)+1 = 一1 ,所以 f (x)+1 = f(x)1 = f(-x)+1,令 F(x) = f (x)+1,故 F(x) = f(x)+1 = -f(x)+1 = F(x),所以 F(x)= f(x)+1 是奇函数，故选 C.变式3 ：已知函数f (x)在(-1,1)上有定义，且对任意x,yw (-1,1)都有x y、f (x) + f (y) = f (一-)，试判断函数f (x)的奇偶性.1 xy分析 对于抽象函数的奇偶性判断通常利用赋值法，如令

23、x = y = 0转化.解析 由于f(x)+f y )=f 卫上，论x=y = 0,得2f (0)f (0即f(0” 0令 1 xyy =x,则 f(x)+ f( x)= f(0, O 以 f(x) = f(x)故 f(x)为奇函数.变式 4 ：已知f(x) , g(x)在 R上有定义，对任意的x,yw R ,有f(x-y) = f (x)g(y)-g(x)f (y),且 f(1)#0 .(1)求证：f(x)为奇函数；(2)若 f (1) = f(2),求 g(1) +g(1)的值.解析 解法一：令 x = y=0,则 f(0)= f(0)g(0)g(0)f(0) =0,令 x=0,y=1,则

24、 f(1)=f(1)g(0)g(1)f(0),又 f(1)#0, f(0) =0，所以 g(0) = 1 ,令 x=0,则 f(-y) = f(0)g(y)-g(O)f(y) = -f(y),所以 f(x)为奇函数.解法二：令 x=m-n,则一x=n-m所以，f (x) = f (m n) = f (m)g(n) g(m) f (n),f (x) = f (n -m) = f (n)g(m) g(n) f (m) = f (x),所以 f (x)为奇函数.(2)令 x=1,y = 1，则 f (2)= f(1)g(1) + g(1)f (1),所以 f(2) = f(1)g(-1) + g(1

25、),又因为 f (1)=f(2) ¥0,所以 g(1) + g(1)=1 ,故 g(1)+g(1)的值为 1.32.2_【例2.28 已知偶函数f (x) = (1 a)x + mx +1的定义域为(m -3m 8,m),则m + 2a =.分析定义域关于原点对称是奇函数或偶函数的必要条件解析 因为f (x)为偶函数，故其定义域必关于原点对称，所以m2 -3m-8 = 0 ,且m2 - 3m -8 <m ,解得m =4 .由函数f (x)为偶函数得x3的系数为 0,则1-a = 0,即a =1 ,故 m +2a =6.变式1：若函数 f (x)=为奇函数，则 a=()(2x -

26、 1)(x-a)1 23A.B.-C.-D.12 341解析解法一：由函数的定义域为x|x#-且x#a,有因为f(x)奇函数，可知定义21域关于原点对称，故 a =,故选A.2解法二：f(x) =(2x 1)(x-a)为奇函数，由于分子为奇函数，则分母为偶函数，又知分母1为二次函数，则一次项系数为0,所以a=-,故选a.222、变式2：右函数f (x) =loga(x+可x +2a )是奇函数，则 a =,分析由函数的定义域含有数 0,则必有f(0)=0解析 函数f(x) =loga(x+Jx2+2a2)(a >0且a*1)为定义域为 R的奇函数，且在x = 0有意义，故满足 f(0)

27、= 0,从而得loga亚/ = 0= a2 = 1,又a>0且a*1,所以22 a =.21变式3：右f (x) = +a是奇函数，则 a =.2x -1解析解法一：因为f(x)为奇函数，所以f(x) + f(x)=0, 11. 一 1 2x一 1即+a + +a =0 ,整理得 +2a = 0 ,得 a = 一 .2 -12x -12x -121解法二：(赋值法)因为f(x)为奇函数，所以f(1)+f(1) = 0,解得a=-.2k -2x .变式4：函数f (x) =7(k为常数)为其定义域上的奇函数.则 k =1 k 2k -2x解析 依题意，函数f (x) = k x (k为常数

28、)为其定义域上的奇函数，则1 k 2xf ( _x) -2x -k1 k 2x故 (2k k)(2k -k) Zk2 -1)(1 k_2k)k -那k|_|2k _12k -kkk- " 2k k " 1 k|J2k ,1-k2k(k2 -1)(22k +1) =0,k =±1 ,11 _2x1 _2 -2x _1，,1 _2x .若 k=1,得f(x)=1 2x，f(_x)=1 2x=2x 1= f(x)，故f(x)=1 2x为奇函数；1212a 2x 11 . 2x_1 _2x2x 12-1 1 2x. 右 k=-1,得 f(x) =, f(-x) =_f(x

29、),故 f(x)为奇函数;1 -2x2x -12- -11 -2x故 k=1 或 k=-1.1 - kx变式5：函数f(x)=loga()(a A1)为其定义域上的奇函数，则 k =.x -1f(-x 尸1 k xlao-g-(=-x -1依题意，函数f(x尸)为其定义域上的奇函数，则F)log ()，1 kx-x -1-x1,#1 -k2x2 =1 -x2=(k2 -1)x2 =0,k =±11 -kx1 一 x右 k=1 ,付 f (x) =loga() =l0ga(1)，无息义，故舍去；x -11 -x1 -xx -1右 k=-1,得 f(x)=loga(), f (-x) =

30、 loga() loga() = -f(x)，满足 f (x)为前函x -1-x -1x 1数，故k=-1【例2.29已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x5-«,0)时，f(x) = x x4,则 当 x W (0, )时，f (x) =.解析 当 x>0 时，贝 u x<0, f(x)=(x)(x)4=x x4,因为 f(x)是偶函数，所 以 f (x) = f (x) =xx4 ,故当 xW(0,)时，f(x) = xx4.评注 解此类题分三步：第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；第2步将转化后的自变量代入已知解析式；第3步利用函数的奇

31、偶性求出解析式变式1：已知函数f(x)为R上的奇函数，且当 x>0时，f(x) = x x2,求函数f(x)的 解析式.解析 当x< 0时，-x> 0,所以 f(-x)=-x-(-x) 2=-x-x2，因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)=- f(-x)= x 2+x, 所以当 x<0 时 f(x)=- f(-x)= x 2+x；当 x=0 时，f(0)=0,1x2 -x所以 f(x)1_x2(x-0)(x ： 0)【例2.30已知f(x)为定义域是关于原点对称区间上的函数，求证： f (x) 一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式.分析 先设f(x)能写成一个

32、函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，再利用奇偶函数的定义列方程组，解方程组即得.解析 先假设存在f (x) = g(x) + h(x) 其中 g(x)为奇函数，h(x)是偶函数，则 f (x) = g(x) + h(x) =g(x) + h(x)由 + 得，h(x)= f(x) + f(-x),由-得,g(x)= f (x) f(-x). 22由此，我们得出结论，对定义域关于原点对称的函数f (x),都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和.变式 1 ：已知定义在 R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f (x)+g(x) =ax-a+2(a >0, a =1).若 g(2) = a

33、,则 f(2)=()A.2b.154C.174D.a2解析 因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以由f(x)+g(x)=a x-a-x+2得 f(-x)+g(-x)=a x-ax+2 即-f(x)+g(x)= a x-ax+2 . + ，得 g(x)=2,-得 f(x)= ax-a-x,又 g(2)=a,所以 a=2, 所以 f(x)= 2x-2-x, f(2)= 2 2-2-2=15/4，故选 B变式2:设函数f (x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数， 则下列结论正确的是 ()A. f(x) + |g(x)| 是偶函数B.f(x) |g(x)|是奇函数C.| f(x) | +g(

34、x)是偶函数D. | f (x)-g(x)是奇函数解析 令 f(x)=x2,g(x)=x3，则A.f(x)+ | g(x)|= x2+| x3|, f(-x)+1 g(-x)|= x2+| x3|= f(x)+ | g(x)|,故选项 A 正确.同理 B,C,D 错误.1例 2.31函数 f (x) =x3 +sinx+ 1(xw R),若 f (a) =2 ,则 f(a)的值为()A.3B.0C.-1D.-2分析 函数f (x) =x3+si伙+1中y = x3+si nx为奇函数，借助奇函数的性质求解.解析 令 g(x)=x3+si rx,得 f(x)=g(x)+1,依题意得，g(a)+1

35、 = 2,所以 g(a) = 1.由 y =g(x)为奇函数，故 g(-a) = -g(a) = -1 ,所以 f (a) = g(-a) +1 =0 ,故选 B.评注 本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是当f(x)为奇函数时，f(x) + f(x)=0,特别地 f (x)min+f(x)max=0.变式1：对于函数f (x) =asin x+bx+c (其中a,bwR,cwZ),选取a, b,c的一组计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是()A.4 和 6B.3 和 1C.2 和 4D.1 和 2解析 f(1)+ f(-1)=asin1+b+c+as

36、in(-1)-b+c=2c,因为 cz,则 f(l)+ f(-l 为偶数，在 4 个选项 中，只有选项 D中1+2=3不是偶数，故选 D.变式 2 ：已知函数 f (x) =ax3+bsin x+4(a,bw R) , f (lg(log210) =5 ,则f(lg(lg 2)=()A. -5 B. -5 C. 3D.411分析log210=,lg(log 210) =lg()=lg(lg 2),根据函数 y=ax3+bsinx为奇函数求解.lg2lg211解析 由 血10=,lg(log210)=lg()=lg(lg2),则 f( lg(lg 2) )+f( lg(lg 2) =8,故 lg

37、2lg2f(lg(lg 2) =3,故选 C.(x 1)2 sin x变式3：设函数f (x)g的最大值为 M,最小值为 m,则M +n=.x 1解析 将函数解析式化简，利用函数的奇偶性求解2一、 (x 1) sinx / 2x sin x 、几 2x sinxf (x)g=1 +-2,设 g(x)=2，贝U g(-x) =g(x),所以 g(x)是x 1x 1x 1奇函数，由奇函数图像的对称性知g(x)max +g(x)min =0,所以题型17 函数的单调性(区间)思路提示判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法a ,【例2.32】求证：函数f (x) =

38、x+(a >0)在Ja,+g)上是增函数.x，分析利用函数单调性的定义来证明.解析 设任意的两个实数x1, x2 w &+凶)且x < x2 ,则有f(x1)- f(x2) =(x1 -x2)亘 =(x1-x2)(1 -) .因为x1, x2,a, +°°),所以x1x2x1 x2, ax1x2 >a , 1 >0,x1-x2<0 ,f (x1) - f(x2) <0=f (x1)< f (x2),故 f (x)在x1x2ja,y)上是增函数.评注 利用函数单调性的定义判定时，其步骤为：(1)取值；(2)作差比较；(3)定量

39、；(4)判断.解题时注意所设的 x1，x2在区间内须具有任意性.若否定函数单调性时，只要取两个特殊自变量说明不满足即可.变式1：已知函数f (x)对任意x, y w R ,满足f (x) + f (y)= f(x + y) + 2 ,当x>0时，f(x) >2 ,求证：f (x)在R上是增函数.分析判断抽象函数的单调性利用定义法求解.解析 任取 Xl,X2WR,设 X1<X2, *2«1>0,因为*>0,时，f(x)>2,所以 f( X2- X1)>2,由 f(x)+ f(y)= f(x+y)+2,可得 f(x+y)- f(x)= f(y)-

40、2 ,设 x+y=x2,x=x1，贝U y=X2-X1，所以 f( X2)- f( X1)= f( x 2- X1 )-2.因为 f( x 2- X1) > 2,所以 f( X2)- f( x 1)= f( X2-X1)-2>0,所以 f( X2) > f( X1),当即X1<X2, f( X2)> f( X1),所以f(x)在R上是增函数.评注：判定抽象函数的单调性时，常利用赋值法和定义法比较f( X2)和f( X1)的大小变式2：定义在R上的函数y = f(x), f(0)=0,当x>0时，f(x)A1,且对任意的a,bWR,有 f (a b)= f(a

41、) f (b).(1)求证：f(0)=1;(2)求证：对任意的 x W R ,恒有f (x) > 0 ;(3)证明：f (x)是R上的增函数；(4)若f (x)，f (2x x2) >1 ,求x的取值范围.(5)解析 (1)令 a=b=0,则 f(0)= f(0) 2,因为 f(0)w0,所以 f(0)=1.(6) ( 2)当 x> 0 时，f( x) > 1 > 0;当 x=0 时，f( 0)=1 >0;(7)当 x< 0 时，f( x) f(- x)= f( 0)=1 ,则 f( x)=【f(-x)】 -10,(8)故对任意的 xWR,恒有f( x

42、) > 0.(9) ( 3)令 a > 0,贝U a+b > b,f(a+b)- f(b)= f(a) fb)- f(b)= f(a)-1 fb),(10)当 a>0 时,f( a)>1,且bWR,恒有 f(b) > 0.故 f(a+b) > f(b),(11)所以f(x)在R上是增函数.(12) (4)因为 f(x). f(2x-x 2)= f(3x-x2) > 1= f( 0)，所以 3x-x2 > 0,(13)所以0Vx<3,故x的取值范围时(0,3)【例2.33】设(*,a)是函数y =x2-4|x|+5的一个减区间，则实数a

43、的取值范围是()A.-2,二) B.(-二，-2C.2,二)D.(-二,2分析 作出函数的图象，找出递减区间，从而确定a的取值范围.2斛析 由y=x -4|x|+5得，f (-x) = f (x),知y = f (x)为偶函数，其图象关于y轴对称.只要画出当x之0时的图象，然后作出其关于y轴对称的图形即可得到x<0部分的图a < -2 .故选 B.象，如图所示.可知，若(*,a)为函数f(x)的减区间，则变式1 ：下列区间中，函数 f (x) =|ln(2-x)|在其上为增函数的是()4-3A.(-二,1B.-1,-C.0-)D.1,2)32解析 用图象法解决，将y=lnx的图像关

44、于y轴对称得到y=ln (-x),再向右平移两个单位， 得到y=ln (-(x-2)的图像，将得到的图像在 x轴下方的部分翻折上来，即得到f(x)=|ln(2-x)|的图像，由图2-43知，选项中f(x)是增函数的显然只有D.故选D.评注：要得到函数f(x)=|ln(2-x)|的图像，也可先作函数y=ln(x+2)的图像，将其关于 y轴对称得函数y=ln(-x+2)的图像，在x轴下方的部分翻折上来，即得到 f(x)=|ln(2-x)|的图像.变式2：已知函数f(x)=e|xa(a为常数).若f(x)在区间1,+/)上是增函数，则 a的取值 范围是.解析 如图2-44所示，函数f(x)在区间a,

45、+ °°)上单调递增, 因此11,+8)j【a,+8),故a的取值范围是(-8, 1】.变式3：定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f (x) = f (2-x),若f (x)在区间1,2上是减函数，则f(x)()A.在区间-2,1上是增函数，在区间3,4上是减函数B.在区间一2,1上是增函数，在区间3,4上是减函数C.在区间-2,1上是减函数，在区间3,4上是增函数D.在区间-2,-1上是减函数，在区间3,4上是增函数E.分析 根据题意，作出函数f(x)的草图，判断函数的单调性即求函数的单调区间F.解析 由f(x)= f(2-x)可知f(x)的图像关于x=1对称，又因为f

46、(x)为偶函数，其图像关于x=0 对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为2,结合f(x)在区间1,2是减函数，可得到如图2-45所示的函数f(x)的草图，观察可知，f(x)在区间-2,-1上是增函数，在区间3,4上是 减函数.故选B.G.变式4:已知f (x) =«(3a 1)x+ 4a(x <1) 口叱山一是R上的减函数，那么a的取值范围是()lOga x(x 之 1)A.(0,1)iB.%)1 1C.7,3)分析本题所给的函数为分段的形式，要满足在 减，而且要满足在整个定义域上都递减.id7,i)R上的递减不仅要满足在每个子区间上递解析 函数f(x)在R上递减，故 x

47、< 1时，f(x)=(3a-1)x+4a单调递减，因此 3a-1 < 0,彳导a<?;当x>1时，f(x)=logax单调递减，故0 < a< 1.同时结合f(x)的图像(如图2-46所示),当 x=1 时，(3a-1) +4a>loga1,解得 a >1/7,综上a的取值范围是1/7, 1/3).故选C.评注：关于分段函数的单调性应注意：若 f(x)=飒(X a，b、h(x)(xqc,d) ,(其中cb), g(x)在a,b上是增函数,h(x)在c,d上是增函数，则 数，若使f(x)在区间a,bU< h(c).即有下面的重要结论：f(x)

48、在区间a,bU c,d上不一定是增函c,可上一定是增函数，需补充条件g(b)分段函数f(x)=h(x)(x：黑)，(其中增函数g(x),二 h(x)在a,b上递增在c,d上递增，(其中c之b)g(x) max Mh(x) ming(x)分段函数f (x)二h(x)(xTa,b ) ,(其中c之b)为单调减函数(xWc,d)g(x) 在a,b上递减u h(x)在c,d上递减，(其中cb) g(x)mm -h(x) max题型18 函数的周期性思路提示(1) f(x+a)= f(x)= T =|a|(a¥0)； f(x + a)=f(x + b)= T =|a b|(a#b)；(2) f

49、(x+a) = f (x)= T = 2|a|(a#0);f(x+a) = f(x +b)= T = 2|ab|(a#b)；f (x a) f (x b)= c= T = 2 | a _ b | (a ； b, c ； 0).(3) f(x) - f (x-a) - f (x -2a),T =6|a|(a = 0).1 一 一【例2.34已知函数f(x)对任意实数x都满足f(x+1)=,若f(1)=8 ,则f(x)f(2014) =.一1斛析 f (x +1) =, f (x +1)叶(x) =1 ,有 f (x +1) - f (x +2) = 1 , 所 以f(x).11f(x) = f(

50、x+2),故T =2,所以 f(2 0)1f40)=.f (1)81 一一一变式1：函数f(x)对任意实数x都满足f(x + 2) =，若f(1) = 5 ,则f (f(5)=.f(x)解析 f (x + 2 即 f x(+ U2)x 彳，)有 f( x+ 4) f (x + 2 ),所以 f(x+4)=f(x),故T=4 , f(x)f(5)=f(1)=-5,所以 f(f(5)=f(-5)=f(-1)=1/f=-1/51【例 2.35已知函数 f(x)满足 f (1) =,4f (x)f (y) = f (x+y) +f (x y)(x,y= R),则4f(2010);.解析 令 y =1,

51、4f (x)f (1) = f (x+1) + f(x1)= f (x) = f(x+1) + f (x-1) =f(x+1) = f(x) f (x1) , T=6,所以 f(2010) = f (0),又令 x = 1,y = 0,有1 ，14 f (1) f(0) = f (1)十 f (1),所以 f (0) = 2, f (2010) =2 .【例2.36已知函数f(x)是定义在实数集 R上的不恒等于零的偶函数，且对任意实数X都5有 xf(x+1)=(1+x)f(x),贝U f1)的值是()A.0B. -C.1D. 522分析 f (x)为偶函数，有xf(x + 1) = (1+x)

52、f(x),只能从x+1=x或者x+1+x=0时入手.1.1 - 11-11 - 1一斛析 当 x+1+x=0 时，即* =时，一一f (一) = - f (一一)= f (一),得22222221 35f()=0, f()=Q f ()=0,故选 A.2 22评注 本题也可以从另外一方面解答，先构造一个函数，当x皂Z时，f ("1)=fxx 1 x. . f(x) . f (x 1) 1令 g(x)=,则 g(x+1)=.所以 g(x + 1) = g(x) , t =1 ,令 x =，得xx 12111111151 f(5)心f(一)=f(一)= f(一), f()=0 .因为 g

53、(一)=g(一),即 ，=,2 =0.故222222225122f(5) =0.21 f (x)变式1：已知a为非零常数，xuR且f(x+a)=U ,试判断f(x)的周期性.1- f(x)解析 f(x aUU%1-f x )x( a2 =)1 f x( a1 f x( a11f (x )_)1 - f (x )_ _ 1")1_1 f (x )- - f x ()1-f (x )所以 f (x +2a)|_f (x) = -1 ,即f (x +2a)|_f (x +4a) = -1 所以 f(x+4a)=f(x),T=4|a|,故(x)为周期函数，且 T=4|a|.题型19 函数性质

54、的综合思路提示(1)奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数(或轴对称函数)与单调性综合解 不等式和比较大小.(2)奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴(或对称中心)之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍. 如函数f (x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)中心对称，可得 T =2|ab|(a¥b).f(x) = f (2a -x), f(x) = f (2b x),所以 f (2a x) = f (2b x),可得 T = 2 | a b |. 如函数 f(x)的图象关于直线 x = a和直线 x = b轴对称，可得 T =2|a b|(a ¥b). f (x) = f (2a x), f (x) = f (2bx),所以 f(2a-x)= f (2b x), 可得 T =2|a -b|.如函数f(x)关于点(a,0)中心对称，且关于直线x=b轴对称，可得 T =4|a b|(a ¥b) . f (x) = f (2a x), f (x) = f (2b x) , 所 以 一 f(2a-x) = f (2b x),故 f(4b4a +x) = f(x) , T =4|a b|.2.37 定义在R上的偶函数f (x)满足：对任意的x1, x2 W (q ,0( x1 # x2),有