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1、1 二重积分（1） 求二重积分的一般步骤为 画出积分区域的草图，并写出积分域； 根据积分区域与被积函数的特点选取适当的坐标系.一般地，当二重积分的被积函数等因子时，以及积分域为以原点为中心的圆域、扇域，或过原点而中心在坐标轴上的圆域，利用极坐标来计算往往会更加简便； 根据积分区域与被积函数的特点选取适当的积分次序.二重积分化为二次积分（也称累次积分）后，其本质是进行二次定积分的计算，对先积分的变量求定积分时，后积分的变量应视为一个常数.直角坐标系下定限口诀可归纳为：后积先定限，上限与下限，均应为常限；限内划条线，先交下限写，后交上限见. （2）注意根据积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化积分

2、计算. 如果关于轴对称，为的奇（偶）函数，则其中为中的部分. 如果关于轴对称，为的奇（偶）函数，则其中为中的部分. 如果关于原点对称，为的奇（偶）函数，则其中为中的部分，也可为中的部分. 如果关于直线对称，则 . （3）被积函数为分段函数（包括绝对值函数、取极值函数）时，要利用积分区域的可加性，正确划分积分区域，以确定被积函数的表达式.2三重积分（1）计算三重积分注意选择积分顺序问题：“先单后重”与“先重后单”积分法.回顾化成累次积分的顺序是先对某一个变量，例如 ，做一次单积分，然后再做关于另外两个变量与 的一个二重积分，即 其实，上式中的二重积分与单积分的次序是可以交换的，即可把它写成 其中

3、是把暂时固定，过点且垂直于z轴的平面截域所得到的截面域.对后一个等式我们可以这样来理解，把等式的左端看作是以 为密度的物质立体的质量，右端看作是把物质立体切成薄片，然后把所有薄片的质量相加.（2）根据积分域和被积函数的特点选择适当的坐标系.一般地，下列情形适用柱面坐标求三重积分：积分域的边界为圆柱面、圆锥面、旋转抛物面或投影域D为圆域，被积函数含有的因子.而若积分域的边界为球面或圆锥面，则利用球面坐标求三重积比较方便 .但要记住： 化为柱面坐标时，要把换成，； 化为球面坐标时，要把换成，. （3）注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性计算三重积分. 设在有界闭区域连续，若关于平面对称（），则其中. 若关于平面（或）平面，关于（或）为奇函数或偶函数有类似的结果.3. 重积分的应用 （1）几何方面的应用 求几何体的体积 ，或. 曲面的面积设曲面的方程为，则曲面的面积 . 其中曲面的面积元素. （2）物理方面的应用求质量 平面薄片的质量其中是平面薄片在点的面密度. 空间非均匀密度物体的质量为其中是非均匀物体在点处的密度. 求重心平面薄片的重心坐标为其中是平面薄片在点的面密度. 空间物体的重心其中是非均匀物体在点处的密度， 求转动惯量 平面薄片轴和

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