数学家们对培养学生数学能力的研究小议

1、数学家们对培养学生数学能力的研究小议 “学会学习”的口号，已成为各国教育界的共识。它的中心意思是让学生主动参与和直接操纵学习过程，培养起“独立学习”的能力。真正的学习，一定是独立学习。没有独立学习，就绝对没有学习能力的发展。我们可以从世界著名数学家、数学教育家华罗庚、弗赖登塔尔和波利亚等数学大师对如何学好数学，如何进行独立学习，如何学会学习等重要问题的论述中得到启示。一、在数学学习中必须脚踏实地，打好基础中国的华罗庚教授是自学成才的典范，他有很强的独立学习能力，有极其丰富的“学会学习”的体验。他根据数学科学的特点及对学校数学教和学的长期考察和个人自学成才的经验，谆谆告诫青少年在数学学习中必须脚

2、踏实地，不能踏空一步，踏空一步就要付出重补的代价，踏空多步，补不胜补就会使人上不去，就会完全泄气。所以学习不能急躁，不要逾规前进，吃夹生饭。不打好基础，想一步登天，往往欲速则不达。他主张，在数学学习中若有一步没走稳，就不要轻易跨出下一步，否则就是沙滩建塔，必垮无疑。他还讲到，学生即使能把书上的概念、公式、定理背熟，甚至逐字逐句默写，也不能肯定就获得了坚实的基础。更重要的是要消化，要“真懂”，掌握基本的原理、原则、基本精神，要能灵活运用。学生读书要走“由薄到厚，由厚到薄”的道路，即在对一小部分内容细嚼以后，还要提炼出全部内容（整节、整章或整本书）的关键，弄清整体的来龙去脉，掌握整体内容的本质。他

3、提醒青少年，在打基础时没有必要像和尚念经一般把教材熟读几十遍；也没有必要把同一内容的各种各样的参考书都拿来看一遍。应以教材为主，努力理解教材上的内容，钻研教材上的习题，学数学应当尽量多做一些习题，但不是盲目追求数量，而要“活练”。二、教师应该引导学生通过重新发现来学习数学荷兰的数学教育家弗赖登塔尔认为，数学是人类的一种活动，要使数学学习的公共水平尽可能地提高，就不能从外部向学生灌输数学，而应把它作为一种活动，让学生在教师的帮助下，通过重新发现来学习数学。他认为一个聪明的孩子可以自己重新发现很多数学，即使是一般孩子，在他人的帮助或指导下也可以做到这样。当然这里的重新发现并不意味着像我们的祖先一样

4、来发现，他们必须以修改过的方式从较低的起点进入重新学习的过程。弗赖登塔尔强调数学是一种活动的另一层意思，是要让学生在学习数学的活动中学会再创造。他认为学生不经过亲自实践，仅仅从书本上，靠听课和观察他人的演示是学不会的。所以他要求教师在教学活动中积极鼓励学生参与教学活动，努力使学生处于创造状态，激发他们的创造需要，让他们充分自由地发表自己的观点和看法。提倡师生间、生生间的相互讨论或辩论，要有一种畅所欲言的生动活泼的气氛和场面。必要时教师要给予一定的启示和指导。三、让学生通过自己的“实践”产生数学化，并学习将事物数学化 “数学化”是弗赖登塔尔又一个重要思想。所谓“数学化”是指人们在观察现实世界时，

5、应用数学的方法分析研究各种具体现象并加以整理组织的过程。其中包括把现实问题转化为数学问题及使数学更完整、更系统和更抽象这样两个过程。所以数学化对象分两类：一是客观事物，二是数学本身。他指出，对客观世界数学化的结果是数学概念、运算法则、规律定律、定理和为解决具体问题而构造的数学模型等；对数学本身进行数学化，既可以是某些数学知识的深化，也可以是对已有数学知识进行分类、整理、构造，以形成不同层次的公理体系和形式体系，使数学知识体系更系统、更完美。所以他认为，任何数学都是数学化的结果。这样数学教学的基本思想就是使学生学习数学化。为此，他提出在最低水平上应当让学生有机会通过自己的“实践”产生数学化的需要

6、，并学习如何将事物数学化。根据客观现实形成数学概念和构造数学模型，自己发现并建立这些规则以保证数学的应用性，在较高水平上让他们学习如何构造数学内容及数学化本身。只有这样才能使学生避免盲目记忆规则所产生的错误，使所学知识具有相应的实际背景。四、尽量让学生亲自去发现尽可能多的东西,教会学生思考美国数学教育家波利亚，在半个多世纪前就大力强调要“教会学生思考”，他认为数学教学的首要目的是“教会学生思考”，在传授一定数量知识（包括发展知识结构）的同时，必须努力发展学生运用所学数学知识的能力。学生只有主动积极地思考，通过自己的亲自发现来获得知识，才会真正理解并牢固掌握知识，从而灵活运用知识。他主张，必须尽

7、量让学生在现有条件下亲自去发现尽可能多的东西。要给学生创造自己发现事物的机会，留给学生尽可能多的自由思考的余地，让学生有独立探索的体验，创造促使学生主动学习的环境。波利亚认为要把三分之一的努力花在教些基本的数学上，而把三分之二的努力花在培养学生有益的思维方法和思维习惯上。因此数学教学中必须有教猜想的地位，无论如何不应该压制学生的发明萌芽。教学中要提供模仿的例子和练习的机会，尽量使学生追究和看到定理是怎样发现的，证明的思路是如何想出来的。让学生多多“先猜后证”，不拘泥于死板的严谨推理。五、解题教学是数学教学的中心，要让学生学会解题波利亚是数学题解方法论的开拓者。他认为解题教学是数学教学的中心，是

8、“教会学生思考”，培养应用数学于实际的能力和习惯的重要手段，是缩小现实世界与课堂世界的差距的首要办法。他的名著怎样解题是培养学生“思考方式”及“探索性思维能力”的巨著，其主要思想简要地表现在他的“怎样解题”表上。在这张表中，他按照逻辑思维的顺序和出现可能性大小的顺序搜集了一系列公式化了的指导性意见。提出的方式也十分灵活，有时用建议的口气，有时则用引导性的办法，尽量顺乎自然，使学生感到这些意见真是说到他们的心坎上，这就是他们自己要说的话。利用这张表教师可以行之有效地指导学生自学，学生自己也可以更好地自学，从而发展学生独立思考和进行创造性活动的能力。这张表包括弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾验算

9、四步（表略）。第一步是弄清问题，就是要求解题者一见题目不要急于解答。而应该先熟悉问题情境，了解事理，分清已知和未知，明确解题目标，必要时可以把题目用图表表示出来或引入适当的符号，使题目的条件与问题清晰化，隐蔽的数量关系明朗化。这些工作，就是平日所讲的审题。审题是解题的基础，只有正确地理解了题意，才能正确地确立解题的思维方向，找出解题途径。所以这一步非常重要，有人说解题成功与否，一半决定于审题，此话不无道理。在平日审题时我们还强调过要理解关键词，防止混淆，如“增加了”与“增加到”，“减少了”与“减少到”等，不然怎么理解条件是否充分或有无矛盾？波利亚还要求把条件和问题摘录下来和用图表及适当的符号来

10、表述。第二步是拟定计划。波利亚关于拟定计划所包含的内容十分丰富，远胜于我们平时所讲的“分析数量关系”。不仅要求回忆与问题有关的旧知识（旧知识迁移），还要求回忆以往是否接触过类似问题（如同质异形和同形异质的问题），以及可为新问题作铺垫的已经掌握的问题或别的辅助性元素。进而要求复述问题（应用自己理解了的语言），而且使用不同的方法复述（发散性思考的结果）。同我们平日所讲分析应用题的明显不同之处在于波利亚十分强调“解题策略”的选用，包括简化、类化、分化、特殊化、降格、升格、变格、联想等。最后波利亚实质上提出了在拟定计划这一过程完成之际，还必须对整个分析作一番反思，自己向自己提出一系列问题（与解题有关）。这就是现代元认知理论所主张的自我监控的一部分（必不可少）。第三步是实现计划。这一步相当于我们平日所讲的“列式计算”，但要求比“列式计算”高。波利亚不仅要求解题者做对每一步，而且要求对每一步都进行检验，明确为什么这一步是正确的，能自我判断，证明其正确，达到确信。这近乎元认知理论所提倡的自我评价，也是目前学校教育中学习解题时的一个较薄弱的环节。一般教师都不作这方面的要求，学生更无这种自我意识和自觉要求。第四步是