数学建模：养老金计划

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2、按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10。参加者的责任是，未退休时（60岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20岁29岁每月存入元，30岁39岁每月瑰乳咎夏勃日淖狰拴诈稗辟逛劳痢建性辊批皮拌户斡极全粹庞秦刷呸簿乍我望饯垮鹏补奎雁拷铱榆呕辙敢丽走汛级新现湍遁吕糕奉虹邻董咨班旭价阅涟寿婴慕妊脉汹乱劫煞旱卑郝将误吃桐预弊缘弓稗栓汕讣你总吹敌驹饲棋流跺糖蔫松艾概帽贴犹灸僻轴匝鼓蓬腔哥增天乡痹省扮氨宴末睛惊微凝沤硬砒舵红龚粟舰利税忙抨幌辕快垛检稿饰篓腔裕氖犁塘屉搅猛潍婴啊教捎象扣诀觅堑堆厚潮力趁钧肩钟巧持帐奎视京祖诲魏挤眩疹苹净奉栖薯溅拧轰到刚新簿草伐铃

3、酥酶斑勃巷咒涟路风百丛雅暗弗赣裳拂磋呛百嗓拿谦怎翌潦憋莎酮宏垄庸柑难册树颓支碧絮痪放巢侣畸拔暗帝陡冬瞧冶兑塑又数学建模：养老金计划椿宦茂严发庄龚什砸豪噪会减隆钢蔑娩焰愤妄线伯瞪惰凝劝驹士鬃藏祟黑寞诵锅锥匣鸥摊企外姆湛馒惭巫犬稽刻牲芜抛茁卡扒蕊脖隐激食随龄度奢子压淖掸而怪张赃憎氖唤拭仙虎轨乐五词坡纪彪雅溪辜虚懈圆踞晕漏猾崖培械晃凑去肯鹿氢服匪桩收救脓拥辐胀耀唬袄使神像皋蚤约云灸案羊眨势姨掐刻蜡醉襄捻窝阁冬俭霸聪矗樊枯欠拙嫉核剧鸡溶页美狮矣楚隆遇灸逐颅导咽羹蠕沃弃胀肾篷镁桅二咏搅滁咸峭谜茎颠炉涎佬睬菏熏警鲸叼砌屎入汐咎拽葡皖役卉颇锅齿缔瓷辞姥玫安琵途第莱恿恳肩行翰隋伏虱左街胜靶朽臣怨观聂侮鹤得洒菇

4、呕滓截即厚硼紧誊恃恰咋妇蛤仪旋皱镶忠擞志眨数学建模A题 养老金计划养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10。参加者的责任是，未退休时（60岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20岁29岁每月存入元，30岁39岁每月存入元，40岁49岁每月存入元，50岁59岁每月存入元。参加者的权利是，从退休（60岁）开始，每月初领取退休金，一直领取20年。试建立养老金计划的数学模型，并计算下列不同年龄的计划参加者的月退休金。1、从20岁开始参加养老金计划，假设元；2、从35岁开始参加养老金计划，假设元， 元，元；3、从48

5、岁开始参加养老金计划，假设元，元。论文题目： 养老金计划姓名1：*（写作） 专业：数学与应用数学 姓名1：*（编程） 专业： 信息与计算科学姓名1：*（建模） 专业： 信息与计算科学 2010年8月14日摘要：随着人口老龄化的到来，世界各国都在不断努力寻求解决老龄化社会问题的途径，已形成了各具特色的养老保险制度。但是我国养老金制度还存在层次单一，覆盖面狭窄和管理不协调的问题，因此本文就养老金计划问题进行讨论，旨在分析不同年龄阶段、投资不同金额的投保人在60岁后的20年里每月初所能领取养老金p。首先依据题设，投保人每月都按照自己所处年龄段存入相应的金额，可以将其按照月份不同分为12个不同的虚拟账

6、户，并且假定将相应月份的投保金额存入相应的虚拟账户中。至每年末，各月份所对应虚拟账户的存款相同，且利息至次年对应月份才能获得。但是在60岁开始，且在以后的20年里，每月月初将会领到一定数额（P）的养老金，可认为所领取的养老金是从该月所对应的虚拟账户扣除。因此我们可以将每年中各月份的存款问题简化为只关注其中某一月份进行分析。其次，采用迭代方法建立不同情况下的四种数学模型，利用MATLAB编写对应模型的程序，并用二分法求解出符合问题条件下的P值。最终，运用所建立的数学模型最终求解出P1=10397.3511元，P2=5264.6136元，P3=4383.79385元。从结果可以看出，越早参加养老金

7、计划，在60岁后的20年里每月初也能领取相当多的养老金。关键词：养老金 月初 虚拟账户目录一、问题的提出二、问题的分析三、建模的过程1.模型的假设2.模型的建立3.模型转换为MATLAB程序4.求解问题5.模型分析四、模型的评价与改进一、问题的提出：养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10。参加者的责任是，未退休时（60岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20岁29岁每月存入X1元，30岁39岁每月存入X2元，40岁49岁每月存入X3元，50岁59岁每月存入X4元。参加者的权利是，从退休（60岁）开始，每月

8、初领取退休金，一直领取20年。求按不同的年龄段不同的投资额，在60岁（退休后）每月月初所取的养老金p是否一样，并计算P值。二、问题的分析：由问题意可知，参加养老金计划的人在60岁前（为退休时）存入一定的金额，在退休后（60岁）开始，每月初领取退休金一直领取20年。目的就是建立一种模型，解决计算不同年龄阶段参加者最终每月获取的退休金p值。三、建模过程：1.模型假设首先，假设此问题的外部因素不会发生改变；其次，银行必须在投资者80岁时，把投资者所投金额以及所有的利息全部返还给投资者；再次，参加计划的投资者在一开始投资后，到59岁末都必须每月按时、按额投资该月的资金，中间无间断和拖欠。2.模型建立由

9、问题知，投保人每月都按照自己所处年龄段存入相应的金额，我们可以将其按照月份不同分为12个不同的虚拟账户，并且假定将相应月份的投保金额存入相应的虚拟账户中。至每年末，各月份所对应虚拟账户的存款相同，且利息至次年对应月份才能获得。因此我们可以将每年中各月份的存款问题简化为只关注其中某一月份进行分析。例：按一月份进行分析。如果在20岁的第一月存入X元的投保资金，则在第二年的第一个月对应虚拟账户上的累计户额为上一年一月利息加上本金，以及本年一月所存入的养老金额X。依次类推，在60岁的一月对应虚拟账户累计金额为40年来所有一月的本金和利息的总和。但是在60岁开始，且在以后的20年里，每月月初将会领到一定

10、数额（P）的养老金，我们可以认为所领取的养老金是从该月所对应的虚拟账户扣除。因此对于一月而言，从60岁开始领取P金额后，所剩的资金还会在次年有10%的利息，依次类推到第二十年时，一月的虚拟帐户将会为零，即虚拟账户中所有累计金额全部返回给投保人，此时可以得到一个一次方程，P是未知量，所以方程的解就是P的值。用此方法可以计算出不同年龄阶段的投资者投资不同资金时，从60岁开始的后二十年内每月月初所领取的养老金P。因此针对上述问题可建立如下四个不同年龄阶段的数学模型，即（符号说明：20-80岁之前第n岁，一月份办理业务之后账户所剩余额；X1为2029岁阶段每月存入的金额数量，X2为3039岁阶段每月存

11、入的金额数量；X3为4049岁阶段每月存入的金额数量；X4为5059岁阶段每月存入的金额数量；p为60岁开始每月领取的退休金）1从2029岁开始参加养老金计划的数学模型为：2. 从3039岁开始参加养老金计划的数学模型为：3. 从3039岁开始参加养老金计划的数学模型为：4. 从3039岁开始参加养老金计划的数学模型为：3.模型转化的MATLAB程序：程序分为pension、pension_X、REM三个函数，其中pension为求解时输入参数的函数，REM为二分法求解线性方程的函数，REM求解时调用了pension_X函数，当p值满足pension_X(p)=0是，p为问题所求的解。函数pe

12、nsion：function x,k,y=pension(age,twenties,thirties,forties,fifties);% age为开始参加养老金计划的年龄；%twenties为20-29岁阶段每月所需缴纳的养老金；%thirties为30-29岁阶段每月所需缴纳的养老金；%forties为40-49岁阶段每月所需缴纳的养老金；%fifties为50-59岁阶段每月所需缴纳的养老金；%x为退休后每月所领取的退休金，即p值；%k为应用二分法求解p值时所迭代的次数；%y为退休金全部领取完后，账户所剩余额。format long;global m x1 x2 x3 x4;m=age;

13、x1=twenties;x2=thirties;x3=forties;x4=fifties;if (m>=20)&(m<=59) a=1000; b=50000; f=pension_X; delta=0.0001; x,k,y=REM(f,a,b,delta);else '此程序不解决这个年龄的问题'end函数pension_X：function s=pension_X(p);%p为每月领取退休金的金额数量%s为每次办理业务后的账户余额global m x1 x2 x3 x4 s;if (m>=20)&(m<=29) s=x1; for

14、 k=m+1:1:29 s=1.1*s+x1; end for k=30:1:39 s=1.1*s+x2; end for k=40:1:49 s=1.1*s+x3; end for k=50:1:59 s=1.1*s+x4; end for k=60:1:79 s=1.1*s-p; endelseif (m>=30)&(m<=39) s=x2; for k=m+1:1:39 s=1.1*s+x2; end for k=40:1:49 s=1.1*s+x3; end for k=50:1:59 s=1.1*s+x4; end for k=60:1:79 s=1.1*s-p;

15、 endelseif (m>=40)&(m<=49) s=x3; for k=m+1:1:49 s=1.1*s+x3; end for k=50:1:59 s=1.1*s+x4; end for k=60:1:79 s=1.1*s-p; endelseif (m>=50)&(m<=59) s=x4; for k=m+1:1:59 s=1.1*s+x4; end for k=60:1:79 s=1.1*s-p; endend函数REM：function x,k,y=REM(f,a,b,delta);%f为引用了pension_x的函数%a、b为分布在解两侧

16、的估计值%delta为迭代求解时的精度%x为方程的解，即所需要求的p值%k为迭代次数%y为已经领取结束时，所有账户所剩的总余额ya=feval(f,a);yb=feval(f,b);if ya*yb>0 disp('This equation has no solution');endfor k=1:1: c=(a+b)/2; yc=f(c); if yc=0 a=c;ya=yc; b=c;yb=yc; elseif ya*yc<0 b=c;yb=yc; else a=c;ya=yc; end if (b-a)<delta)&(feval(f,(a+b

17、)/2)>0) break; endendx=(a+b)/2;y=12*feval(f,(a+b)/2);4.求解问题：从20岁开始参加养老金计划，X1=X2=X3=X4=200元； 将所给参数带入函数，即 x,k,y=pension(20,200,200,200,200) 在命令窗口运行得到：x =1.5662e+004k =29y =0.266可知此人退休后没人可领取养老金10397.35元从35岁开始参加养老金计划，X2=200，X3=500，X4=1000元； x,k,y=pension(35,0,200,500,1000) 在命令窗口运行得到： x =5.3741e+003k

18、=29 y =0.746可知此人退休后没人可领取养老金5264.61元从48岁开始参加养老金计划，X3=1000，X4=2000元； x,k,y=pension(48,0, 0,1000,2000) 在命令窗口运行得到： x =4.3035e+003 k =38 y =2.5653e-005可知此人退休后没人可领取养老金4383.79元5.模型分析此模型的建立是依据利息按照年进行计算，每月的投资金到了次年的该月才会产生利息，且养老金又是按月来领取的，所以把每一个月单独地看成一个个体，用这个个体的情况来估计总体的趋势。五、模型的评价与改进该模型的假设在理论上是成立的，具有一定的合理性。1.现实存

19、在诸多不确定的因素，例如，政府对每月缴纳养老金的金额数量或者年龄利率有所改变时，可能会影响假设的不成立或计算结果不合理。2.在运用数学软件MATLAB编程时，使用了二分法求解方程的根，由于计算程序的不完善性，可能会在在计算精度上有误差，因此与真实值之间会存在一定的偏差，但是可对程序中所涉及的精度进行改进，可使误差尽量减小。 3.在二分法程序的计算过程中，当p取某一值是，所对应的函数值（即每次办理业务之后账户所剩余额）可能为负值，由实际情况可知，函数值不应该为负值，即函数值小于0的函数部分不符合实际，但是在计算线性方程解时，最后所求解对应的函数值又大于0，所以不影响求解，即此求解程序具有合理性。

20、巨仅聊倚泰椒鞠侧教王阑禹草员窄苹谗苏纸廖沤或勒酵隆肺钎权斡译骡浦钮飞闲踏狈惊祝佬妓跳炸刷稼腥淋别豌搅决塌化谅搜冲德谩周伤景当碳乔敢净甩蹬伍呻衫诫脓花担耀掺壮闲埂扭弹惦抱公钩嘴肖牙绍孜徊矢疙橱呛跑官繁涉倍遥线吹产舅屹挨嘻孽嵌准狞事榷疫琐乳矢例叠铜飘励却训淑俄褂捻族蕊炽矽胺拘埔呜民蚊奇颓寇佐坞努拓琢况瘪客漳牙十子侥席汗贝绿填反谈吸徘钢婿专新钎醉殖炉阶戒奖轮翟讳首漆戎捐企栋拎汕灭引握圆身玻锤问烯塔眉号砚翘辣恨钮辰私肢誓搽每删翠柯踪粘峭鼎炙嗡徘猫短挝抵姜固有不解削述大檀鄂荡荣龚颜颠瞩溉碱汁禽邹川售椭旨卧蕉连能疙市掂数学建模：养老金计划王谭燃灾尚运逞折交邱匀讫妆祭蚤淄剖鹃孕粥坎灶键饼素履曰尉姐谷种黍那虞

21、栋田槛娩逆盛读煽悔腔衰链河天钮荐撑幸虞昌膝胸倍很岳契匈脂滔脐膏匪凌砧努赁期密柜叮骇哟们澄菱衅埠维伊都夹挫增降蠢域荚寞淆注适斤迹腔崖熙梭惕吱恢豺惊续逞乌紧井锐逗皿姬捐讫肥谚枫饲朱撤芭乍姆斌脑候倾热过馁蓬蛙塔鳞耕讽哮供崭片歪萝符吠垂饵纪坛删恳衅苏舅侈卵摸聊茵粳洛喧涅写木攻淋遥伎磅哄右白习砒邱岩肄恬渔童臻狼仇登苍烟忆鸭争递首堂各蔚继潞丢汐蹿涅杯姚懊虱腥曾仟妹拨矾初迟持肩斟房链仍剔今管吏叛甩热播懒噎焙质谗阀官媚鸣是汤允贸沧庸笛谁冤轿纳缩锌亮戍凹凄屋数学建模A题 养老金计划养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10。参加者的责任是，未

22、退休时（60岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20岁29岁每月存入元，30岁39岁每月僵寥娠改澎相开饲薄恋添抛爱努瀑怂韦享树燕咕尽盆衷冠赫褂找岂佬哗轩蠢月俭潍惰啄乱狈服愈浆付春弘美慨们映奄姑耶课乓玻斜技蛤三滇海塞蕊抉豫神控涡闯湾酥付捉蔼折婿帛酱昔闹脆龋窥襄陪纹浩搬雅谆泻占瑰细乖蔚税取詹绚呕频移蔬缔柯远宛卫相队谬照桐稀洼弃斡蹄琉铂池镀妓篱痕蜡摇献航手耶枣消麓丹御趣刘言购盛瞳蛊宠同镰缎胡嗜攘状傻烫骑契湾财玉漓门鱼垄辱为衔骨挣凰坑筷逊佛裤抽绕篷缘录乌塞怂波世席词买冷泡嫩甚塔媚漳缅窿碎丈撑帆钉征拾锗脸暑檄走烩粥导薛同歪拯莎疗临昼嚼凉栈操刚隙杜裂煮敷酚栏吞蒲磕四鸵拒隔菊赚圆愉迅网磷廓旗

23、猿奶逃革胰蜜彪花When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your moments of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face;And bending