华师大版上册第3章函数极限

1、 在这一节中, 我们仍以 为代0lim( )xxf x一、归结原则3 函数极限存在的条件三、柯西收敛准则二、单调有界定理他类型的极限,也有类似的结论.表, 介绍函数极限存在的条件. 对于其一、归结原则的充要条件是的充要条件是: 对于在对于在内内),(0 xU以以 x0 为极限的为极限的, nx任何数列任何数列)(limnnxf 极限极限都存在都存在, 并且相等并且相等.证证 (必要性必要性) 设设,)(lim0Axfxx 则对任给则对任给存存, 0 ,0 在在有有时时当当,|00 xx定理定理 3.8.),(0有定义有定义在在设设 xUf存在存在)(lim0 xfxx.|)(| Axf nx设

2、设, ),(00 xxxUn 那么对上述那么对上述 存在存在, 有有时时当当,NnN ,|00 xxn所以所以.|)(| Axfn这就证明了这就证明了.)(limAxfnn (充分性充分性)（下面的证法很有典型性，大家必须学（下面的证法很有典型性，大家必须学恒有恒有.)(limAxfnn 0)(xxxf在在若若时时, 不以不以 A 为极限为极限, 则存在正数则存在正数设任给设任给),(0 xUxn ,0 xxn会这种方法会这种方法. .）.|)(|0 Axf现分别取现分别取,2,21nn 存在相应的存在相应的),(,21nnnxUxxxx 使得使得., 2, 1,|)(|0 nAxfn 对于任

3、意正数对于任意正数),(,0 xUx 存在存在使得使得,0 另一方面另一方面,|00nxxnn 所以所以.lim0 xxnn 这与这与Axfnn )(lim矛盾矛盾.注注 归结原则有一个重要应用：归结原则有一个重要应用：若存在若存在,),(,000 xyxxxUyxnnnn 但是但是),(lim)(limnnnnyfBAxf)(lim0 xfxx则则不存在不存在.例例1xxxxcoslim,1sinlim0 证明证明都不存在都不存在.解解110,0 ,2 2 2nnxynn 取取有有,1sinlim101sinlimnnnnyx 故故xx1sinlim0不存在不存在.2 ,2 ,2nnxnyn

4、 同理可取有同理可取有,coslim01coslimnnnnyx 故故xxcoslim 不存在不存在.密集的等幅振荡密集的等幅振荡, 当然不会趋于一个固定的值当然不会趋于一个固定的值. 为为了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原则则, ,我我们写出们写出 时的归结原则如下：时的归结原则如下： 0 xx-1-0.50.511-1xyxy1sin 的图象在的图象在 x = 0 附近作无比附近作无比从几何上看，从几何上看，义义, 则则定理定理 3.90)(xxf在在设设的某空心右邻域的某空心右邻域)(0 xU 有定有定作为一个例题作为一个例题, 下面给出定理下面

5、给出定理 3.9 的另一种形式的另一种形式.义义.Axfxx )(lim0那么那么的充要条件是任给严格递减的充要条件是任给严格递减,),(000 xxxUxnn 的的.)(limAxfnn必有必有例例 20)(xxf在在设设的某空心右邻域的某空心右邻域),(0 xU 上有定上有定Axfxx )(lim000(),lim().nnnnxUxxxf xA 任给任给必有必有证证必要性应该是显然的必要性应该是显然的. 下面我们证明充分性下面我们证明充分性.,0时时假若假若 xxf(x) 不以不以 A 为极限为极限. 则存在正数则存在正数;|)(| ,0,0110111 Axfxxx取取,2min012

6、xx ;|)(| ,0,022022 Axfxxx,min01xxnnn , ),(0 xUx 存在存在.|)(|0 Axf使使,0 ,0 这样就得到一列严格递减的数列这样就得到一列严格递减的数列),(0 xUxn ,|)(|,00 Axfxxnn但但这与条件矛盾这与条件矛盾.;|)(| ,0,00 Axfxxxnnnn二、单调有界定理定理定理 3.10 设设 f 为定义在为定义在)(0 xU 上的单调有界函数上的单调有界函数, 则右极限则右极限.)(lim0存在存在xfxx （相信读者也能够写出关于（相信读者也能够写出关于, )(lim, )(lim0 xfxfxxx 证证不妨设不妨设 f

7、在在.)(0递减递减xU 因为因为 f (x) 有界有界, 故故使使),(0*xUx 的单调有界定理的单调有界定理 .）)(limxfx )(sup)(0 xfxUx 存在存在, 设为设为A .由确界定义由确界定义, 对于对于, 0 .)(*AxfA ,0,00*时时当当令令 xxxx由由 f (x) 的递减性的递减性,.)()(* AAxfxfA这就证明了这就证明了.)(lim0Axfxx对于单调函数对于单调函数, 归结原则的条件就要简单得多归结原则的条件就要简单得多.例例3)(lim),()(00 xfxUxfxx 则则上单调，上单调，在在设设 存在的充要条件是存在一个数列存在的充要条件是

8、存在一个数列, )(0,0 xxxUxnn .)(lim存在存在使使nnxf 证证 必要性可直接由归结原则得出必要性可直接由归结原则得出, 下面证明充分下面证明充分, )(0, 0 xxxUxnn 设设.)(limAxfnn.)( AxfAn对于任意对于任意),(00 xxxUxN ).()(xfxfAN , 0N 故故当当 时时, 有有Nn 假设假设)(xf递减递减性性. . ,0 xxxn 又因为又因为),(1NN所以所以,1xxN 使使因此因此从而从而.)()(1 AxfxfN.)( AxfA.)(lim0Axfxx 即即)(xfy xNx1Nxx0 xOy A AA三、柯西收敛准则 的

9、柯西收敛准则的柯西收敛准则, 请读者自请读者自这里这里 仅给出仅给出)(limxfx有定义有定义, 则极限则极限)(limxfx存在的充要条件是存在的充要条件是: 任任),(, 0MX 存在存在给给 均有均有对于任意对于任意,21Xxx .| )()(|21 xfxf定理定理3.11 设设 f (x) 在在 的某个邻域的某个邻域|Mxx 上上明之明之. .行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证),(MX 存在存在对一切对一切 x X，.2|)(| Axf有有所以对一切所以对一切,21Xxx 1212|()()|()|()|.f xf xf xAf

10、xA 证（必要性）证（必要性）,)(limAxfx 设设则对于任意则对于任意,0 ( (充分性充分性) ) 对一切对一切，存在，存在对任意的对任意的,0MX 有有,21Xxx .21 xfxf，则存在，则存在任取任取Nxxnn,时时当当Nn .)()( mnxfxf ., 因因此此收收敛敛是是柯柯西西列列这这就就是是说说nxf使使若存在若存在, ,nnnnyxyx.)(发发散散，矛矛盾盾但但nzf,)(,)(ABByfAxfnn 1122,nnnzxyxyxy则则令令为为，. nz显然显然故故,Mxxmn ,.时时又当又当NmnXxn 这样就证明了对于任意的这样就证明了对于任意的,nnxx)(limnnxf 存在且相等存在且相等. .由归结原则由归结原则, ,)(limxfx存在存在. .虽然虽然以及以及是：是：, , 00nnyx ，nnyx .0 nnyfxf但是但是注注 由柯西准则可知