2014年1月真题详解初数

1、2014 年 1 月份详解1.】 E【】本题考查平均值应用题，此类题目可直接选择列方程解题，也可选择用交叉法先求比例再解题解法一：列方程解应用题设一等奖的个数为 x ，则其他奖品的个数为26 - x ，根据总钱数相等列方程：400x + 270 (26 - x) = 280 ´ 26， x = 2即一等奖的个数为2 。解法二：交叉法101即一等奖与其他奖品的个数比为=，总个数为26 ，则12012的个数为2 。综上所述，此题选 E 。2.】 B【】本题考查工程类型应用题。需要列出方程组再解题设甲公司每周的工时费为 x 万元，乙公司每周的工时费为 y 万元，则ìï(

2、 x + y )´10 = 100ìx = 7í6x +18 y = 96í y = 3，ïîî即甲公司每周的工时费为7 万元。综上所述，此题选 B 。3.】 B【】本题考查平面几何比例中的面积问题。利用同高不同底的三角形面积比等于底边长比来解题DABC 与DABF 等高不同底： SDABC= 1 ，因此有 S2= 2S= 4 ；=DABFDABCSDABFDABF 与DAEF 等高不同底： SDABF= 1 ，因此有 S3= 3S= 12 ；DAEFDABCSDAEF综上所述，此题选 B 。4.】 B【】本题考查浓度问题中

3、的反复稀释问题设该容器的容积是 x ( x > 1) 升，则( x -1)290% ´= 40% ，x = 3 ;x2综上所述，此题选 B 。5.】 E【】本题考查平面几何中的扇形弓形的面积问题。作辅助线，连接 AB, AE, AF, BE, BF ，可知DABE, DABF 都是边长为 1 的等边三角形，则扇形 ABE 所对应的弓形面积为：p3= 60° ´p ´12 -3 ´12 =-6= S- SS弓形ABE扇形ABEDABE360°44ABAEBCBF3 +4 æ p -3 ö = 2p -33 +因

4、此， S= S+ S+ 4S=ç 6÷DABEDABF阴影弓形44432èø综上所述，此题选 E 。6.】 B【】本题考查应用题中的倒推法此题中，最后的“ 8 千万元”相当于上半年剩余部分的 1 ，因此上半年剩余部分为：30.8 ¸ 1 = 2.4 亿元；322此时的“上半年剩余部分”占总预算的 ，因此总预算为： 2.4 ¸= 3.6 亿元33综上所述，此题选 B 。7.】 D【】本题考查行程问题应用题此题中，第一次相遇时，两人的路程和为 AB 之间的距离，即(V甲+V乙 )´1=SAB ；从第一次相遇的 9:00 到第二次

5、相遇的 10:30，两人的路程和为 2 倍的 AB 间的距离，即(V甲+1.5+V乙 +1.5)´1.5=2SAB ；ìï(V甲+V乙 )´1=SAB= 9 ；SAB则可得到í，ïî(V甲+1.5+V乙 +1.5)´1.5=2SAB综上所述，此题选 D 。8.【】 D【】本题考查等差数列的中项性质及其推论：等差数列an 有如下两个重要性质：（1）等差中项 an-1 + an+1 = 2an（2）若有 m + n = p + q ，则有am + an = ap + aq此题中， a2 - a5 + a8 = (a2

6、+ a8 ) - a5 = 2a5 - a5 = a5 = 9 ，则有 a1 + a2 + a3 + a9 = 9a5 = 81 。综上所述，此题选 D 。9.】 E【】本题考查古典概型样本空间：直接给甲、乙、丙三组每组分两人，即种类数 N = C2 ´C2 ´C2642A：先将男志愿者分给三组，再将女志愿者分给三组，即种类数 M = A3 ´ A333A3 ´ A3M2=33=因此概率为NC 2 ´ C 2 ´ C 25642综上所述，此题选 E 。10.】 D【】本题考查圆的切线方程求法圆心O (0, 0) 与切点 P (1, 2

7、) 的连线与切线 L 互相垂直，即斜率 kOP ´ kL= -1，已知 k= 2 ，则 k =- 1OPL2则切线 L 的直线方程可用点斜式表示，即 y - 2 = - 1 ( x -1) ，纵截距为 522综上所述，此题选 D 。11.】 D【】本题考查排列组合中的错排问题元素个数为4 时，错排的种类数为9 ；元素个数为3 时，错排的种类数为2 ；元素个数为2 时，错排的种类数为1；“每位经理必须轮换到4 个部门中的其他部门任职”，即4 个经理的任职岗位要进行错排，9种任职的方式。综上所述，此题选 D 。12.】 A【】本题考查空间几何中的长度问题作辅助线，连接 AD' ，

8、得到直角三角形 AD' F ，其中：AD ' = 2 2 ， D' F =1，则 AF =AD '2 + D ' F 2 = 3综上所述，此题选 A 。13.】C【】本题考查空间几何中的体积问题一个球形工艺品需要的装饰金属的体积为V = 4 p (5.013 - 53 )；3则10000 个需要的体积为V = 4 p (5.013 - 53 )´104 ；z3一个正方体锭子的体积为V ' = 203 ；4 p (5.013 - 53 )´104因此最少需要的个数为 N = Vz = 3» 3.9 ，即4 个.203V

9、 '综上所述，此题选C 。14.】 E【】本题考查整数的质因数分解将770 分解质因数， 770 = 2´ 5´ 7 ´11，因此这几个质数为： 2, 5, 7,11，和为25 ；综上所述，此题选 E 。15.【】C【】本题结合概型考查分类原理。由正面向上次数大于向上次数时停止，可分类：（1）正： P = 112æ 1 ö3115（2）反 正 正： P =Þ P =+=2ç÷èø2288综上所述，选 C。16.【】A【】本题考查立方和与完全平方公式2 -1+ö = 18 ，1条

10、件（1）：由÷2xø充分。条件（2）：由æ1 ö2æ1 öæö111= x +- 2 Þ x += ±3 Þ+ x3 = ç x +÷ç x2 -1+÷ = ±18 ，不充分。÷x3x2 øx øxèx øè综上所述，条件（1）充分，条件（2）不充分，选 A。17.【】C【】本题考查非零常数列此题显然条件（1）、（2）单独都无法确定甲乙丙三人相同，故起来的甲乙丙三人年龄即成等差

11、数列又成等比数列，故为非零常数列，因此可得相同。综上所述，条件（1）、（2）都不充分，起来充分，选 C18.【】B【】本题考查二次函数的图像抛物线x2 + 2x + a£ 1 的解集为空集，即 x Î R ，不条件为取值范围，故从题干入手求解，不等式) = x2 + 2x + a 的图像必定与 x 轴无交点，且最小x2 + 2x + a> 1 恒成立，即函数 f等式值大于 1，故 x = -1 ® -1+ a > 1 ® a > 2 ，条件（1）不是其子集，不充分，条件（2）是其子集，充分。综上所述，条件（1）不充分，条件（2）充分，选

12、 B。19.【】A【】条件充分性的推理题干验证得：a + b - 5 = 0 ，可得题干(a + b - 5)(a - b - 5) = 0 ，条件（1）：将点（1,0充分。条件（2）：将点（-1,0）题干验证得： a + b - 7 = 0 ，不能推出题干，不充分。综上所述，条件（1）充分，条件（2）不充分，选 A。20.【】A【】考查圆及三角形的性质条件（1）：已知 BC 的长，可在三角形 ABC 中，由直径 AB 对的圆周角均为 90°得：OD 为三角形 ABC 的中位线，故可求解 OD，充分。条件（2）：已知 AO 的长，仍可利用中位线求解，但无法求解 OD 的长，不充分。综

13、上所述，条件（1）充分，条件（2）不充分，选 A。21.【】A【】考查直线与圆、圆与圆的关系条件（1）：不等式表达了直线 4 y - 3x = 5 的一侧，由一系列的点组成的一个区域均在圆x2 + y2 ³ 1外，即充分。可画图如下：不等式表达了圆( x -1)2 + ( y -1)2 = 5 外部的点，由在此区域内的点并不是全部条件（2）：满足 x2 + y2 ³ 1，即有圆 x2 + y2 = 1内的点，可画图如下：22.【】C【】考查古典概型23条件（1）：可知的数量占总数的 ，即红球和黑球占总数的 ，无法确定红球的量，55故不充分。14条件（2）：至少一黑的概率小于

14、 ，即没有黑球的概率大于 ，即红球和占球总量大554于 ，无法确定红球的量，故不充分。5两个条件起来，赋值共有 10 个球，由条件（1）可得4 个，条件（2），至少一黑，和红球的总量为 n ，可得：考虑：无黑球，即取两球为或红球，设(n -1)24<Þ> Þ1，结合条件（1）红球的量大于 5，510 ´ 9510因此红球最多，充分。综上所述，条件（1）、（2）不充分，起来充分，选 C。23.【】C【】考查二次函数的图像条件（1）：将点（0,0）和（1,1）函数可得： c = 0, a + b = 1，无法求得 a, b 的值，不充分。4ac - b2条

15、件（2）：曲线与 y = a + b 相切，即最小值为 a + b ，a + b=，无法求得a, b, c 的4a值，不充分。ì4ac - b2ïa + b=® a +4aï两条件： ía + b = 1，充分。ïc = 0ïïî综上所述，条件（1）不充分，条件（2）不充分，两个条件起来充分，选 C。24.【】A【】考查方程根的情况条件（1）： a, b, c 组成三角形，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，题干方程有根即： éë2(a + b)ùû2 - 4c2 ³ 0 Û (a +，因此条件（1）充分。条 件 （ 2 ）： a, b, c成 等 差 数 列 得 2b = a + c， 举 反 例 ，a = 0, b = 1 , c = 1 Þ éë2(a + b)ùû2 - 4c2 < 0 ，不充分。2综上所述，条件（1）充分，条件（2）不充分，选 A。25.【】C【】考查方差的定义。条件（1）和（2），可得a, b, c, d, e 的值有无数种，故均不充分。两个条件起来可得：ìa + b + c + d + e = 50ï1，由 a, b