第5章插值法3

1、第第5 5章章 插 值 法3基础教学部数学教研室基础教学部数学教研室 彭彭 晓晓 华华立体化教学资源系列立体化教学资源系列数值分析数值分析埃尔米特插值问题的来源：埃尔米特插值问题的来源：在某些实际问题中，在某些实际问题中，希望近似多项式能更好的密合原函数，即不但要希望近似多项式能更好的密合原函数，即不但要求插值函数在节点上等于已知函数值，而且还要求插值函数在节点上等于已知函数值，而且还要求其导数值相等求其导数值相等. .例如，飞机外形曲线，它由几例如，飞机外形曲线，它由几条不同的曲线衔接，此时要求衔接处足够光滑条不同的曲线衔接，此时要求衔接处足够光滑. .这种使插值函数和被插值函数密合程度更好

2、的插这种使插值函数和被插值函数密合程度更好的插值问题，称为埃尔米特插值（值问题，称为埃尔米特插值（Hermite Hermite InterpolationInterpolation）. .5.5 5.5 埃尔米特插值埃尔米特插值01naxxxb( ),( ),(0,1, )iiiiyf xmfxinix0 x1xnx)(iixfy 0y1yny)(iixfm0m1mnmHermiteHermite插值问题的提法插值问题的提法：上，上，即已知数据表如下即已知数据表如下只考虑满足连续和一阶光滑条件的只考虑满足连续和一阶光滑条件的HermiteHermite插值问题插值问题. .假设在节点假设在节

3、点)()(12xHxHn1212221012)(nnnxcxcxccxH其形式为其形式为的多项式，记为的多项式，记为12 nnimxHyxHiiii, 1 , 0,)(,)(22 n 这里给出了这里给出了个条件，可唯一确定一个次数不超过个条件，可唯一确定一个次数不超过（5.125.12）)(xH求插值多项式求插值多项式，满足条件，满足条件)(12xHn)(12xHn)()()(1212xHxHxQnn12 n., 1 , 0, 0)(, 0)(nixQxQii), 1 , 0(nixxi)(xQ)(xQ22 n0)(xQ)()(1212xHxHnn5.5.1 5.5.1 埃尔米特插值多项式的存

4、在唯一性埃尔米特插值多项式的存在唯一性及及为次数不超过为次数不超过的多项式，且满足条件的多项式，且满足条件这说明这说明都是都是的二重零点，即的二重零点，即共有共有个零点，故个零点，故，即，即. .唯一性：满足插值条件（唯一性：满足插值条件（5.125.12）的插值多项式是唯一的）的插值多项式是唯一的. .证明：证明： 用反证法，假设用反证法，假设HermiteHermite插值问题插值问题(5.12)(5.12)的解，则的解，则都是都是21( )nHx)(12xHnnkkkkknmxyxxH012)()()()(),(xxkk), 1 , 0(nk12 n)(12xHn0)(, 0, 1)(i

5、kkiikxikikxikikxxkiikik, 0, 1)(, 0)(nik, 1 , 0,存在性：满足前面所述条件的存在性：满足前面所述条件的用拉格朗日插值基函数的方法寻求用拉格朗日插值基函数的方法寻求. .其中基函数其中基函数为待定的为待定的次多项式次多项式. .为使为使基函数满足性质：基函数满足性质：， .，满足插值条件，满足插值条件，证明：证明：是存在的。是存在的。设设221122( )() ( ),( )() ( ),kkkkxa xb lxxa xb lxiiba ,0)(2)(, 1)(111kkkkkkkxlaxbxax)(21kkxlakkkkxxlxab)(21111)(

6、)()(21 )(2xlxlxxxkkkkk)()()(2xlxxxkkknkkkkkkkknxlmxxyxlxxxH0212)()()()(21)(令令其中其中由插值基函数的性质确定由插值基函数的性质确定. .显然显然所以，所以，即，即同理得同理得因此，因此，HermiteHermite插值多项式为插值多项式为 （5.135.13） , ,. . . . 返回三次埃尔米特插值22( ) , ,nf xCa b)(22xHn,ba210)22(12)()()!22()()(nnnxxxxxxnfxR),(bax5.5.2 5.5.2 埃尔米特插值余项埃尔米特插值余项是是其中其中且与且与有关有关

7、. .(5.12)(5.12) 的的HermiteHermite插值多项式，则其插值余项插值多项式，则其插值余项， （5.145.14）若若上满足插值条件上满足插值条件nxxx0niinxtxktHtft0212)()()()()(), 1 , 0( , 0)()(nixxii0)(x32 n)(xf)(22xHn)(t22 n)(t),(ba201212 )()()()()(niinnxxxkxHxfxR20)22( )()!22()(niinxxnf证明证明: :对于对于，作辅助函数，作辅助函数易知易知且且( (有有个零点）个零点）. .的假设及的假设及知，知，具有具有阶导数阶导数. .对

8、对反复应用反复应用RolleRolle定理，可知在定理，可知在少有一点少有一点，使，使因此，因此，.，而由对而由对内至内至，0)!22()()()()22()22(nxkfnn1n110011003)()()()()(mxmxyxyxxH20101010( )(12)() ,xxxxxxxxx220100111010( )()() ,( )()() .xxxxxxxxxxxxxx),(,)()(! 4)()(102120)4(3xxxxxxfxR5.5.3 5.5.3 三次埃尔米特插值多项式三次埃尔米特插值多项式的情形的情形. .此时，插值多项式为此时，插值多项式为其中，插值基函数为其中，插值

9、基函数为插值余项为插值余项为作为带导数插值多项式（作为带导数插值多项式（5.135.13）的重要特例是）的重要特例是，（，（5.155.15）20111010( )(12)() ,xxxxxxxxx返回返回23xysin)5 . 0(3H例例8 8 已知已知HermiteHermite插值多项式插值多项式，并估计误差，并估计误差. .01010.84150.5403ix)(ixf)(ixf 在节点处函数值及导数值如表，求三次在节点处函数值及导数值如表，求三次,)1(21 )(,) 1)(21 ()(2120 xxxxxx,) 1()(,) 1()(2120 xxxxxx解解 1 1） 由三次由

10、三次HermiteHermite插值公式插值公式(5.15)(5.15)，1100113)()()()(mxmxyxxH5403. 0) 1() 1(8415. 0)23(222xxxxxx5 . 0 x47821. 0)5 . 0(3H2120)4(3)()(! 4)()(xxxxfxR8415. 01sinsinmax)(max)4(4xxfM0022. 0) 15 . 0()05 . 0(! 48415. 0)5 . 0(223R所以，所以，当当时，时，2 2） 估计误差估计误差. .根据插值余项公式根据插值余项公式，因此，因此，. . .， )(xfy )(3xP1133)(),2 ,

11、 1 , 0( ,)(fxPiyxPiix0 x1x2x)(xf0y1y2y)(xf 1f )(3xP)(3xP),(),(),(221100yxyxyx)(,)(,)(102100100 xxxxxxxfxxxxfxf的函数值及导数值如表，的函数值及导数值如表，满足，满足解解 1 1）求插值多项式）求插值多项式. .由于由于通过点通过点而通过这三点的二次插值多项式为而通过这三点的二次插值多项式为例例9 9 已知已知求次数不超过求次数不超过3 3的多项式的多项式，于是，于是，3001001201( )(),(), ()()P xf xf x xxxf x x xxxxx)()(210 xxxx

12、xxAA113)(fxP)()(,)(210101210101xxxxxxxxxfxxfxfA其中，其中，为待定系数，可由条件为待定系数，可由条件来确定，通过计算可得来确定，通过计算可得. .，3( )( )( )R xf xP x)(xf,20 xx210,xxx)(xR1x)()()()(2210 xxxxxxxkxR)(xk,20 xxx2 , 1 , 0, ixxi)()()()()()(22103xtxtxtxktPtft2 2）求插值余项）求插值余项设设在在上具有连续的上具有连续的4 4阶导数，由插值条件，阶导数，由插值条件，为为的零点且的零点且为二重零点，于是为二重零点，于是其中

13、，其中，为待定函数为待定函数. .，且，且构造函数构造函数，. .，不妨设不妨设，0)(, 0)(, 0)(, 0)(210 xxxx1x)(t)(t,20 xx)()4(t,20 xx0! 4)()()()4()4(xkf! 4)()()4(fxk)()(! 4)()()()(2210)4(3xxxxxxfxPxfxR),(20 xxx显然，显然，且，且为为的二重零点（共的二重零点（共5 5个零点），反复应用个零点），反复应用RolleRolle定理可知，定理可知，在在内至少有内至少有4 4个互异的零点，个互异的零点，在在内至少存在一点内至少存在一点，使，使所以所以于是，余项公式为于是，余项

14、公式为其中其中，且依赖于，且依赖于. .，. .，,ba)(xLn)(xf)(xLnn)(xf,ba)()(1)(0)1(1)1(0)(0,nnnnxxxxxxx,)(baCxfn)(xLnn)(xf5.6 5.6 分段低次插值分段低次插值 上给出的节点做插值多项式上给出的节点做插值多项式近似近似，一般总认为，一般总认为的次数的次数越高逼近越高逼近的精度越好，但的精度越好，但上任意给定的三角阵上任意给定的三角阵总存在总存在由三角阵中的任一行元素的插由三角阵中的任一行元素的插插值多项式插值多项式，当，当时，不能一致收敛到时，不能一致收敛到5.6.1 5.6.1 高次插值的病态性质高次插值的病态性

15、质根据区间根据区间1 1、FaberFaber于于19731973年发现，对年发现，对实际上并非如此实际上并非如此. .，使得，使得值节点所生成的值节点所生成的阶阶LagrangeLagrange( )f x)(xf)1 (1)(2xxfn1nnkkknyxlxL0)()(n)(xLn63. 3ccx )()(limxfxLnncx )(xLn2020世纪初，龙格世纪初，龙格(Runge)(Runge)发现，甚至当发现，甚至当为解析函数时，等距节点的为解析函数时，等距节点的LagrangeLagrange插值也不一定收敛到插值也不一定收敛到，这种现象称为，这种现象称为龙格现象龙格现象. .例如

16、，函数例如，函数在在-5,5-5,5上各阶导数均存在上各阶导数均存在. .将将-5,5-5,5区间区间等分等分, ,取取个等距节点，构造个等距节点，构造LagrangeLagrange插值插值可以发现，当可以发现，当时时RungeRunge证明了，存在一个常数证明了，存在一个常数，使得当，使得当时，时，而当，而当时时发散发散. . .在在-5,5-5,5上不收敛上不收敛. .2 2、龙格、龙格(Runge)(Runge)现象现象10n)10, 1 , 0(5kkxk)1 (12xy)(10 xLy 下面取下面取，以，以根据计算画出根据计算画出及及的图形，见图的图形，见图5-5.5-5.为节点，

17、为节点，在在-5,5-5,5上上-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52- 1/(1+x2)- L10(x)-5-4-3-2-101234500.10.20.30.40.50.60.70.80.91原 函 数分 段 线 性 插 值图图5-5 5-5 龙格现象示意图龙格现象示意图图图5-6 5-6 分段线性插值分段线性插值5x)(10 xL)1 (1)(2xxf)(xLn)(xf)1 (12xy5, 4, 3, 2, 1, 0 x)(10 xL)(xf从图从图5-55-5看到，在看到，在附近附近与与偏离很远，逼近效果很差偏离很远，逼近效果很差. .这说明用高次插值多项式这说明用

18、高次插值多项式近似近似分段低次插值分段低次插值. .从本例看到，如果将从本例看到，如果将在节点在节点处用折线连起来（见图处用折线连起来（见图5-65-6）显然比）显然比逼近逼近低次插值低次插值(Piecewise- Polynomial Approximation)(Piecewise- Polynomial Approximation)的的出发点出发点. .效果并不好，因而通常不用高次插值，而用效果并不好，因而通常不用高次插值，而用好得多好得多. .这正是我们讨论分段这正是我们讨论分段,bakxbxxxxan210), 1 , 0)(nkxfykk)(xIh(),0,1, ,hkkIxy k

19、n)(xIh,1kkxx5.6.2 5.6.2 分段低次插值方法分段低次插值方法上各节点上各节点处的函数值，即处的函数值，即，求插值多项式求插值多项式，满足插值条件：，满足插值条件：且且在小区间在小区间上为低次多项式上为低次多项式. .设已知在区间设已知在区间，,1kkxx)(xIh1111)(kkkkkkkkhyxxxxyxxxxxI,1kkxxx1, 1 , 0nk一、分段线性插值一、分段线性插值. .上，上，为为其中其中，. .在每个小区间在每个小区间，,1kkxxx,1kkxx)(xIh12121)(21 ()()(21 ()(kkkkkkhyhxxhxxyhxxhxxxI12121)

20、()(kkkkkkmhxxxxmhxxxx,1kkxxxkkxxh11, 1 , 0nk二、分段三次二、分段三次HermiteHermite插值插值. .三次三次HermiteHermite插值多项式（插值多项式（5.155.15），在每个小区间在每个小区间上，上，为为其中其中，. .若在若在上，节点处的一阶导数已知，上，节点处的一阶导数已知，由两点由两点，fbaCxf ,)(1,ba在)(xIh), 1 , 0(nkxkMhxIxfxRh8)()()(2)()(lim0 xfxIhh,bax)(max,max1xfMxxhbxakkk ,1kkxx8)(2)(max)(max21)(2111

21、1kkkkxxxxxxxxMxxxxxfxRkkkk 5.6.3 5.6.3 分段低次插值余项分段低次插值余项上存在，上存在，是过节点是过节点的分段线性插值多项式，则的分段线性插值多项式，则且有且有，其中其中这是因为，由线性插值的余项公式，在每个小区间这是因为，由线性插值的余项公式，在每个小区间上，都有上，都有一、分段线性插值余项一、分段线性插值余项设设，. .，. .)()(lim0 xfxIhh因此，在因此，在上，上，且有，且有MhxIxfxRh8)()()(2,ba)(,)()4(3xfbaCxf)(xIh), 1 , 0(nkxk44384)()()(MhxIxfxRh)()(lim0

22、 xfxIhh,bax)(max,max)4(41xfMxxhbxakkk二、分段三次二、分段三次HermiteHermite插值的余项插值的余项存在，存在，是过节点是过节点的分段三次的分段三次HermiteHermite插值多项式，则插值多项式，则且有：且有：，其中其中设设, ,. .,1kkxx212)4()()(! 4)()(kkxxxxfxR16)()()(max41212kkkkkxxxxxx)(max384)()()4(4411xfxxxRkkxxxk,ba44384)()()(MhxIxfxRh)()(lim0 xfxIhh这是因为，由这是因为，由HermiteHermite插值

23、的余项公式，在每个小区间插值的余项公式，在每个小区间上，总有上，总有而由于而由于所以所以因此在因此在上，上，且有且有. .，. .，,babxxxan10:kx(),kkyf x), 1 , 0(nk)(xS(),0,1, ;kkS xy kn1,kkxx0,1,1kn( )S x230123( );S xaa xa xa x2( ) , .S xC a b)(xSkx)(xS)(xS5.7.1 5.7.1 三次样条插值三次样条插值上有一划分上有一划分给定节点给定节点处的函数值为处的函数值为若存在函数若存在函数满足满足（2 2） 分段条件：在小区间分段条件：在小区间上，上，是三次代数多项式，即

24、是三次代数多项式，即（3 3） 光滑条件：光滑条件：则称则称为样条节点为样条节点上的上的三次样条插值函数三次样条插值函数，称求，称求的方法为的方法为三次样条插值方法三次样条插值方法. .称求称求的问题为的问题为样条插值样条插值设设，（1 1） 插值条件：插值条件：问题问题. .5.7 5.7 三次样条插值三次样条插值( )S x,1kkxx,bann4n42( ) , ,S xC a b)(xS) 1, 2 , 1(nkxk(0)(0),kkS xS x(0)(0),kkS xS x)0()0( kkxSxS33 n)(xS1n24 n条件分析：条件分析：在小区间在小区间因此要确定因此要确定4

25、 4个待定系数，个待定系数，上共有上共有应确定应确定个参数，所以共需要个参数，所以共需要在节点在节点处应处应满满足足，共有，共有（2 2）满足的满足的个插值条件，共有个插值条件，共有个条件个条件. .个条件；个条件；上是三次多项式，上是三次多项式，个小区间，个小区间，（1 1）根据光滑条件）根据光滑条件个条件；个条件；nnfxSfxS)(,)(00nnfxSfxS )(,)(000)()(0 nxSxS 0,mmnSxSx2 , 1 , 0m（3 3）边界条件：）边界条件：第二种边界条件，即已知两端的二阶导数值，第二种边界条件，即已知两端的二阶导数值，其特殊情况为自然边界：其特殊情况为自然边界

26、：第三种边界条件，即周期特性第三种边界条件，即周期特性三种边界条件都有它们的实际背景和力学意义三种边界条件都有它们的实际背景和力学意义. .满足满足给定边界条件的三次样条插值函数是存在且唯一的给定边界条件的三次样条插值函数是存在且唯一的. . 第一种边界条件，即已知两端的一阶导数值，第一种边界条件，即已知两端的一阶导数值，)(xf( 1)1,(0)0,ff)(xf2n.1 , 0,)(,0 , 1,)()(11213110020300 xdxcxbxaxsxdxcxbxaxsxS1) 1 (, 0)0(, 0)0(, 1) 1(1100ssss. 1, 0, 0, 111110000cbadd

27、cba)0()0(),0()0(1010ssss 1010,bbcc例例1010 己知函数己知函数在三个点处的值为在三个点处的值为在区间在区间-1,1-1,1上，求上，求的三次样条插值多项式的三次样条插值多项式. .区间区间-1,1-1,1分成两分成两由插值和函数连续条件由插值和函数连续条件得得由内节点处一、二阶导数的连续条件由内节点处一、二阶导数的连续条件得得解解 利用待定系数法利用待定系数法. .这里这里(1)1f在自然边界条件下在自然边界条件下个子区间，故设个子区间，故设0) 1 (, 0) 1(10 ss026 , 0261100baba0101010113,0,22aabbccdd

28、.1 , 0,2321,0 , 1,2321)(2323xxxxxxxS最后由自然边界条件最后由自然边界条件，得，得联立各方程，解关于待定系数的线性方程组，得联立各方程，解关于待定系数的线性方程组，得因此，三次样条插值问题的解为因此，三次样条插值问题的解为n4n1n(),kkSxMkMkx)(xSkxkM)(xS5.7.2 5.7.2 三弯矩法三弯矩法阶的线性方程组，当阶的线性方程组，当较大时工作量相当大较大时工作量相当大. .下面介绍的三弯矩法只要解一个不超过下面介绍的三弯矩法只要解一个不超过阶的线性方程组，而且力学含义明确阶的线性方程组，而且力学含义明确. .记记在力学上解释为细梁在在力学

29、上解释为细梁在弯矩，称为弯矩，称为在节点在节点处的处的弯矩弯矩. .三弯矩法就是由三弯矩法就是由待定而构造出待定而构造出的表达式的表达式. .例例1010的待定系数法要解一个的待定系数法要解一个截面处的截面处的)(xS1,kkxx) 1, 1 , 0(nk)(xS ,1kkxx,)(111 kkkkkkkkxxxhxxMhxxMxSkkkxxh1112212)(2)()(CMhxxMhxxxSkkkkkk2113316)(6)()(CxCMhxxMhxxxSkkkkkk因为因为在每个小区间在每个小区间上是三次多项式，故上是三次多项式，故在在函数，用函数，用LagrangeLagrange插值公

30、式得到插值公式得到其中其中. .对对(5.16)(5.16)式积分两次，得到式积分两次，得到， （5.175.17）. . （5.185.18）上是线性上是线性， （5.165.16）11)(,)(kkkkyxSyxS21,CC)(6111kkkkkkMMhhyyCkkkkkkkkkkkkxMhxMhxhyxhyC111126621,CC)(62)(2)()(111221kkkkkkkkkkkkMMhhyyMhxxMhxxxSkkkkkkkkkkkhxxhMyMhxxMhxxxS121331)6(6)(6)()(. 1, 1 , 0,)6(1211nkxxxhxxhMykkkkkkk利用插值条

31、件利用插值条件可求出常数可求出常数将将代回（代回（5.175.17）（）（5.185.18）式中，得到）式中，得到（5.195.19） （5.205.20）kM), 1 , 0(nkkM)0()0(kkxSxSkkkkkkkkkkkkkkhyyMhMhhyyMhMh111111163631, 2 , 1211nkdMMMkkkkkk,6,11111kkkkkkkkkkkkxxxfdhhhhhh这里这里未知未知. .为确定为确定，利用连续条件，利用连续条件，有，有整理成整理成 其中其中.（5.215.21）1n1n01,nMMMnnfxSfxS)(,)(00).,)(62),(,(6211101

32、0010nnnnnnxxfxfhMMxfxxfhMM), 1 , 0(nkMk这这个方程中含有个方程中含有个未知数个未知数需利用边界条件补充两个方程，才能求解需利用边界条件补充两个方程，才能求解. .式可导出两个方程式可导出两个方程将将(5.21)(5.21)、(5.22)(5.22)式写成矩阵形式，为三对角方程组（式写成矩阵形式，为三对角方程组（5.235.23）, ,这是严格对角占优的，因此存在唯一解，且可以用追赶法解出这是严格对角占优的，因此存在唯一解，且可以用追赶法解出（1 1） 对第一种边界条件对第一种边界条件，由（，由（5.195.19）（5.225.22）),(6),(62102

33、0212111101001011211nnnnnnnnnxxffhddfxxfhMMM（5.235.23）nnfxSfxS )(,)(001k1121102.MMdM1 nknnnnnnMdMM111212（2 2） 对第二种边界条件对第二种边界条件，由，由得到得到由（由（5.215.21）式取）式取，得到，得到(5.21)(5.21)式取式取121,nMMMnnnnnnnnnMdddMdMMMM1122011122112222120222从而得到求从而得到求的三对角方程组的三对角方程组这个方程组是严格对角占优的，因此可以由追赶法获得唯一解这个方程组是严格对角占优的，因此可以由追赶法获得唯一解

34、. .(5.24).(5.24)0,nMMnnnnndMMM21101011101001,1,6.nnnnnnnnnnhhf xxf xxdhhhhhh 121,nMMMnnnnnnnnnMdddMdMMMM1122011122112222120222（3 3） 对第三种边界条件，可得对第三种边界条件，可得，其中，其中，从而得到求从而得到求的三对角方程组的三对角方程组.5.255.25）)(,)(4xSbaCxf)(xfy 2 , 1 , 0,)(max)()(max4)4()()(ihxfCxSxfibxaiiibxa101max,0,1, ,kkkkk nhh hxxkn 0125/384

35、,1/24,3/8.CCC5.7.3 5.7.3 三次样条插值的误差估计与收敛性三次样条插值的误差估计与收敛性是使是使第二种边界条件的唯一的三次样条插值函数，则第二种边界条件的唯一的三次样条插值函数，则其中其中 三次样条函数的收敛性与误差估计比较复杂，这里三次样条函数的收敛性与误差估计比较复杂，这里不加证明地给出一个主要结果不加证明地给出一个主要结果. .设设满足第一种或满足第一种或（5.265.26）)(xS0h( )S x 、 ( )S x)(xS ,ba( )f x 、)(xf ( ).fx)(xS)(xS)(xS 【注注】 公式（公式（5.265.26）不但给出了三次样条插值函数）不但

36、给出了三次样条插值函数的误差估计，且当的误差估计，且当时，时， 及及于于上均分别一致收敛于上均分别一致收敛于及及由误差估计式（由误差估计式（5.265.26）可知，）可知，收敛最快，收敛最快，次之，次之， 如果在实际应用中不需要规定内节点处的一阶导数如果在实际应用中不需要规定内节点处的一阶导数值，那么使用三次样条插值比分段三次埃尔米特插值的值，那么使用三次样条插值比分段三次埃尔米特插值的效果更好效果更好. .最慢最慢. .x-1.5012y0.125-119)(xfy )(xS14)2(,75. 0)5 . 1(SSkkkd,kM36186 . 6621005 . 025 . 0004 . 026 . 000123210MMMM例例1111 已知函数已知函数的函数值如下表的函数值如下表. .在区间在区间，使它满足，使它满足解解 1 1） 根据给定数据和边界条件计算根据给定数据和边