《几何与代数》5-1向量的内积、长度和施密特正交化

1、定义定义1 1维向量维向量设有设有n,2121 nnyyyxxx nnyxyxyx 2211),( 令令.),(的内积的内积与与称为向量称为向量 说明说明1 维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积的推广，但是没有的推广，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义 4 nn.),( :, 2 T为为内积可用矩阵记号表示内积可用矩阵记号表示向量向量都是列都是列如果如果内积是向量的一种运算内积是向量的一种运算内积的运算性质内积的运算性质 :,为为实实数数维维向向量量为为其其中中 n);,(),()1( );,(),()2( );,(),(),()3( . 0),(0, 0),

2、()4( 时有时有且当且当定义定义2 2 非非负负性性. 1齐齐次次性性. 2三角不等式三角不等式. 3 . 范范数数或或长长度度的的维维向向量量为为称称 n向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：; 0,0; 0,0 时时当当时时当当; . ;),(22221nxxx 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念. ,0),( 与与称称向向量量时时当当 正交正交. , 0 ,与任何向量都正交与任何向量都正交则则若若由定义知由定义知 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组量组为正交向量组, 0021111 T由由.01

3、 从从而而有有. 02 r 同同理理可可得得.,21线线性性无无关关故故r 使使设有设有r ,21证明证明02211 r 得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1aT0111 T 正交向量组的性质正交向量组的性质线线性性无无关关. ., , , ,则则非非零零向向量量, ,是是一一组组两两两两正正交交的的, , , ,维维向向量量若若定定理理rrn 2121 14 4 标准正交基标准正交基. ,)( , 3212121 的的一一个个标标准准正正交交基基是是则则称称向向量量两两两两正正交交且且都都是是单单位位如如果果的的一一个个基基是是向向量量空空间间维维向向量量设设定定义义VeeeeeeRVVee

4、enrrnr .212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如.212100,212100,002121,0021214321 eeee . 4 , 3 , 2 , 1, 1),(. 4 , 3 , 2 , 1, 0),(jijieejijieejiji且且且且由由于于.,44321的的一一个个标标准准正正交交基基为为所所以以Reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一个标准正交基的一个标准正交基也为也为R（1）正交化正交化，取，取 ，11ab ,),(),(1112122bbbabab ,21的一个基的一个基为向量空间

5、为向量空间若若Vaaar5 5施密特正交化的方法施密特正交化的方法正正交交化化称称为为把把这这样样一一个个问问题题等等价价与与使使的的单单位位向向量量就就是是要要找找一一组组两两两两正正交交的的一一个个标标准准正正交交基基要要求求的的一一个个基基是是向向量量空空间间rrrrreeeeeeVV , , , , ,2121212121111122221111),(),(),(),(),(),( rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等等价价与与且且两两两两正正交交那那么么rrraabbbb（2）单位化单位化，取，取,222111rrrbbebbebbe .,21的的一一个个

6、标标准准正正交交基基为为那那么么Veeer222321113133),(),(),(),(bbbabbbbabab 例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交标准化正交标准化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab1112122),(),(bbbabab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 称称为为的的过过程程向向量量组组构构造造出出正正交交上上述述由由线线性性无无关关向向量量

7、组组rrbbaa施密特正交化过程施密特正交化过程222321113133),(),(),(),(bbbabbbbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再再单位化单位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe证明证明EAAT E 定义定义4 4 . , 1正正交交矩矩阵阵为为称称则则即即满满足足阶阶方方阵阵若若AA

8、AEAAAnTT 定理定理 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212222111211212221212111 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交AA EnTnTT ,2121EnTnTnTnnTTTTTT 2122212n12111 njijijiijjTi, 2 , 1, 0;, 1 当当当当 例例3 3 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵 ,1213121121312111 .9794949491989498912 解解 1213121121312111, 02131121211 所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵 100010001由于由于 97949494919894989121 1将一组基标准正交化的方法：将一组基标准正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交