第三章微分中值定理习题参考解答[1]

1、习题3-1 微分中值定理1、 不用求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。解由于f(x)在1,2上连续,在(1, 2)内可导,且f(1)=f(2)=0,所以由罗尔定理可知,存在x1Î(1, 2),使f¢(x1)=0.同理存在x2Î(2, 3),使f¢(x2)=0;存在x3Î(3, 4),使f¢(x3)=0.显然x1、x2、x 3都是方程f¢(x)=0的根.注意到方程f¢(x)=0是三次方程,它至多能有三个实根,现已发现它的三个实根,故它们也就是方程f¢(x)=0的全部根.2、证明恒等式：

2、证明设f(x)= arcsin x+arccos x.因为,所以f (x)ºC,其中C是一常数.因此,即.3、 若方程有一个正根，证明方程必有一个小于的正根。证明设F(x)=a0xn+a1xn-1+×××+an-1x,由于F(x)在0,x0上连续,在(0,x0)内可导,且F(0)=F(x0)=0,根据罗尔定理,至少存在一点xÎ(0,x0),使F¢(x)=0,即方程 a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 +×××+an-1 =0必有一个小于x0的正根.4、 若函数在内具有二阶导数，且其中，证明在内至少有一

3、点使得证明由于f(x)在x1,x2上连续,在(x1,x2)内可导,且f(x1)=f(x2),根据罗尔定理,至少存在一点x1Î(x1,x2),使f¢(x1)=0.同理存在一点x2Î(x2,x3),使f¢(x2)=0.又由于f¢(x)在x1,x2上连续,在(x1,x2)内可导,且f¢(x1)=f¢(x2)=0,根据罗尔定理,至少存在一点xÎ(x1,x2)Ì(x1,x3),使f¢¢(x )=0.5、证明下列不等式：证明设f(x)=arctan x,则f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导

4、,由拉格朗日中值定理,存在xÎ(a,b),使f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a),即,所以,即|arctan a-arctan b|£|a-b|.习题32 洛必达法则1、用洛必达法则求下列极限：（1）；（2）（）；解(1).(2)（3）；（4）；解(3).(4)另解 (说明:灵活使用等价替换定理，常会比只用罗比达法则更方便）（5）；（6）；解(5).(6)因为,而,所以.另解：中间过程用等价替换定理更方便中间过程也可用重要极限计算。上述两种计算方法显然都比洛比达法则更方便,所以,具体计算中应使用哪种方法,应具体问题具体分析.（7）；（8）.解(7)因为,而,所

5、以.注意:中间过程用等价替换定理更好！如下述解答过程(8)因为,而,所以.习题33 泰勒公式1、按的幂展开多项式.解设f(x)=x4-5x3+x2-3x+4.因为f(4)=-56,f¢(4)=(4x3-15x2+2x-3)|x=4=21,f¢¢(4)=(12x2-30x+2)|x=4=74,f¢¢¢(4)=(24x-30)|x=4=66,f (4)(4)=24,所以=-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4.2、求函数按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式解因为f¢(x)=x-1,f

6、2;¢(x)=(-1)x-2，f¢¢¢(x)=(-1)(-2)x-3,×××,;(k=1, 2,×××,n+1),所以。另解由144页公式得。习题34 函数的单调性与曲线的凹凸性1、确定下列函数的单调区间：（1）； 解 (1) y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0,令y¢=0得驻点x1=-1,x2=3.列表得x(-¥,-1)-1(-1, 3)3(3,+¥)y¢+0-0+y可见函数在(-¥,-1和3,+¥)内单

7、调增加,在-1, 3内单调减少. (2) ().解(2),驻点为,不可导点为,x3=a.列表得xa(a,+¥)y¢+不存在+0-不存在+y可见函数在, (a,+¥)内单调增加,在内单调减少.2、证明下列不等式：（1）当时，；证明 (1)设,则f (x)在0,+¥)内是连续的.因为,所以f (x)在(0,+¥)内是单调增加的,从而当x>0时f (x)>f (0)=0,即,也就是.（2）当时，.证明设f(x)=sin x+tan x-2x,则f(x)在内连续,f¢(x)=cos x+sec2x-2.因为在内cos x-1<

8、;0, cos2x-1<0,-cos x<0,所以f¢(x)>0,从而f(x)在内单调增加,因此当时,f(x)>f(0)=0,即sin x+tan x-2x>0,也就是 sin x+tan x>2x.3、求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：（1）； （2）；解 (1)y¢=3x2-10x+3,y¢¢=6x-10.令y¢¢=0,得.因为当时,y¢¢<0;当时,y¢¢>0,所以曲线在内是凸的,在内是凹的,拐点为. (2),.令y¢¢

9、=0,得x1=-1,x2=1.列表得x(-¥,-1)-1(-1, 1)1(1,+¥)y¢¢-0+0-yÇln2拐点Èln2拐点Ç可见曲线在(-¥,-1和1,+¥)内是凸的,在-1, 1内是凹的,拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).（3）.解(3),.令y¢¢=0得,.因为当时,y¢¢>0;当时,y¢¢<0,所以曲线y=earctg x在内是凹的,在内是凸的,拐点是.4、利用函数图形的凹凸性，证明： （）证明设f(t)=et,则

10、f¢(t)=et,f¢¢(t)=et.因为f¢¢(t)>0,所以曲线f(t)=et在(-¥,+¥)内是凹的.由定义,对任意的x,yÎ(-¥,+¥),x¹y有,即.5、问、为何值时，点(1，3)为曲线的拐点？解y¢=3ax2+2bx,y¢¢=6ax+2b.要使(1, 3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点,必须y(1)=3且y¢¢(1)=0,即a+b=3且6a+2b=0,解此方程组得,.习题35 函数的极值与最大最小值1、 求下列函数

11、的极值：（1）； （2）.解(1)函数的定义为(-¥,+¥),y¢=-4x3+4x=-4x(x2-1),y¢¢=-12x2+4,令y¢=0,得x1=0,x2=-1,x3=1.因为y¢¢(0)=4>0,y¢¢(-1)=-8<0,y¢¢(1)=-8<0,所以y(0)=0是函数的极小值,y(-1)=1和y(1)=1是函数的极大值.(2)函数的定义域为(-¥, 1,令y¢=0,得驻点.因为当时,y¢>0;当时,y¢<

12、;0,所以为函数的极大值.2、问函数（）在何处取得最大值？并求出它的最大值.解y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1),函数f(x)在1£x£4内的驻点为x=3.比较函数值: f(1)=-29,f(3)=-61,f(4)=-47,函数f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f (1)=-29.3、要造一圆柱形油罐，体积为，问底半径和高各等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解由V=p r2h,得.于是油罐表面积为S=2p r2+2p rh(0<x<+¥),.令S¢=0,得驻点.因为,所以S在驻点处取得极小值

13、,也就是最小值.这时相应的高为.底直径与高的比为2r:h=1 : 1.习题36 函数图形的描绘1、描绘函数的图形解 (1)定义域为(-¥,+¥); (2),令y¢=0,得x=1;令y¢¢=0,得,.(3)列表x1y¢+0-y¢¢+0-0+y=f(x)È拐点Ç1极大值Ç拐点È(4)有水平渐近线y=0;(5)作图:习题3-7 曲率1、求曲线在点处的曲率及曲率半径。解,.所求曲率为,曲率半径为.2、求曲线在相应的点处的曲率。解,.所求曲率为,.3、对数曲线上哪一点处的曲率半径最小？

14、求出该点处的曲率半径。解,.,.令r¢=0,得.因为当时, r<0;当时,r>0,所以是r的极小值点,同时也最小值点.当时, . 因此在曲线上点处曲率半径最小, 最小曲率半径为.复习题三1、 设，证明：证明设f(x)=ln x,则f(x)在区间b,a上连续,在区间(b,a)内可导,由拉格朗日中值定理,存在xÎ(b,a),使f(a)-f(b)=f¢(x)(a-b),即.因为b<x<a,所以,即.2、 证明方程只有一个正根。证明设f(x)=x5+x-1,则f(x)是0,+¥)内的连续函数.因为f(0)=-1,f(1)=1,f(0)f(

15、1)<0,所以函数在(0, 1)内至少有一个零点,即x5+x-1=0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根,则由罗尔定理,f¢(x)存在零点,但f¢(x)=5x4+1¹0,矛盾.这说明方程只能有一个正根.3、 证明：若函数在内满足关系式，且，则分析：要证，即是证。也就是要证明是常数函数。证明令,则在(-¥,+¥)内有,所以在(-¥,+¥)内j(x)为常数.又j(x)=j(0)=1,从而f(x)=ex.4、 用洛必达法则求下列极限：（1）（2）解(1)(2).（3）（4）解(3).(4).(注: cosx×ln

16、(1+x2)x2)（5）解(5)。(注:当x®0时,).5、 应用麦克劳林公式，按的幂展开函数解因为f¢(x)=3(x2-3x+1)2(2x-3),f¢¢(x)=6(x2-3x+1)(2x-3)2+6(x2-3x+1)2=30(x2-3x+1)(x2-3x+2),f¢¢¢(x)=30(2x-3)(x2-3x+2)+30(x2-3x+1)(2x-3)=30(2x-3)(2x2-6x+3),f (4)(x)=60(2x2-6x+3)+30(2x-3)(4x-6)=360(x2-3x+2),f(5)(x)=360(2x-3),f(

17、6)(x)=720;f(0)=1,f¢(0)=-9,f¢¢(0)=60,f¢¢¢(0)=-270,f (4)(0)=720,f (5)(0)=-1080,f (6)(0)=720,所以=1-9x+30x3-45x3+30x4-9x5+x6.另解由144页公式得。6、 确定下列函数的单调区间：（1） （2）解(1)因为,所以函数在(-¥,+¥)内单调增加.(2)y¢=e-xxn-1(n-x),驻点为x=n.因为当0<x<n时,y¢>0;当x>n时,y¢<0,

18、所以函数在0,n上单调增加,在n,+¥)内单调减少.7、 证明下列不等式：（1） 当时，证明设,则f (x)在0,+¥)内是连续的.因为,所以f (x)在(0,+¥)内是单调增加的,从而当x>0时f(x)>f(0)=0,即,也就是.（2） 当时，证明设f(x)=x ln2-2ln x,则f (x)在4,+¥)内连续,因为,所以当x>4时,f¢(x)>0,即f(x)内单调增加.因此当x>4时,f(x)>f(4)=0,即x ln2-2ln x>0,也就是2x>x2.8、 求函数的图形的拐点及凹或凸的区间解y¢