线性代数n维向量

1、第三章第三章 n维向量维向量第一节 n维向量及其运算三维空间中任意一个向量可以用一个三元数组表示：三维空间中任意一个向量可以用一个三元数组表示：123=(,)a a a12121 ,. nnina aaa aannniai定义4.个数所组成的有序数组称为维向量，这个数称为该向量的 个分量，第 个数 称为第 个分量分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量. .分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量， 一、 n维向量的定义例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第

2、第2个分量个分量),(21nTaaaa naaaa21 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： TTTTba,n 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： ,ban例如例如维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj212222211112111 n j 2 . , , 的的列列向向量量组组称称为为矩矩阵阵向向量量组组A1 2 n 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）在若干个

3、同维数的列向量（或同维数的行向量）在一起称为一起称为向量组向量组维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm 反之，由有限个维数相同的向量所组成的向反之，由有限个维数相同的向量所组成的向量组可以构成一个矩阵量组可以构成一个矩阵.矩阵矩阵构成一个构成一个组组维列向量所组成的向量维列向量所组成的向量个个mnnmm , 21 矩阵矩阵构成一个构成一个的向量组的向量组维行向量所组成维行向量所组成个

4、个nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA 定义定义相等向量相等向量1212(,) ,( ,),12TTnniia aab bbab in， ， ,定义定义负向量负向量12(,)naaa 定义定义零向量零向量分量全为零的向量称为分量全为零的向量称为零向量零向量.记作记作0(0,0,0)T二、 向量的线性运算设两个设两个 ，维向量TnTnbbbaaan),(),(2121 (1) 加法（和向量）加法（和向量）1122(,)Tnnab abab(2) 数乘数乘12(,)Tnkka kakak， 为实数减法减法1122(,)Tnnab ababn维向量的线性运算满足下面的八条运

5、算规律：维向量的线性运算满足下面的八条运算规律：(1)()()(2)00(3)()0 (4)1;00; 00k(5)( )(), ，是实数(6)() (8)() (7)说明说明.,VRV 则则若若2 维向量的集合是一个向量空间维向量的集合是一个向量空间,记作记作 0也是一个向量空间也是一个向量空间.nnR;,VVV 则则若若三、 向量空间定义定义4 设设V为为n维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合V非空，非空，且集合且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合集合V为为( (实实) )向量空间向量空间1集合集合 对于加法及乘数两种运算封闭指对于加

6、法及乘数两种运算封闭指V例例2 2 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间. RxxxxxVnTn , 0221解解.V 是向量空间是向量空间1的任意两个元素的任意两个元素因为对于因为对于1V TnTnbbaa, 0, 022 ,V1 122, 0VbabaTnn 有有 ., 012VaaTn 例例3 3 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间. RxxxxxVnTn , 1222解解 .2 ,2 , 2222VaaTn 则则.V 不是向量空间不是向量空间2 , 122VaaTn 因为若因为若 设有向量空间设有向量空间 及及 ，若向量空间，若向量空间，就说就说 是是

7、 的子空间的子空间21VV 1V2V1V2V例子例子RVn 显然显然.的子空间的子空间总是总是所以所以RVn设设 是由是由 维向量所组成的向量空间，维向量所组成的向量空间，Vn定义定义4.161122mmkkk1212,nmmRk kk 设如果给定一组实数，称定义定义 12,mk kk这里 , ，称为组合系数.一、线性组合的概念一、线性组合的概念则称向量则称向量是向量组是向量组 的一个的一个线性组合线性组合，这时称向量这时称向量能由向量组能由向量组 线性表示线性表示. .12,m 12,m 为向量组为向量组 的的线性组合线性组合. .12,m 1122mmkkk12,mk kk如果存在一组实数

8、 , ，使得第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性注：注：3. n维向量维向量121,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1TTTn，称为称为n维单位坐标向量组维单位坐标向量组。证明：。证明：Rn中任一向量都可由单中任一向量都可由单位坐标向量组线性表示，且表示方法唯一位坐标向量组线性表示，且表示方法唯一.证证 设设12,Tnnaa aaR，于是1 122+nnaaa如果另有如果另有1 122+nnakkk则则1212,.TTnnak kka aa例例 1 证明向量证明向量能由向量组能由向量组线性表示，其中线性表示，其中TTTT123= 1,2,3,2,3,1,3,1,2,= 0,4 2

9、.,解：解： 能由向量组能由向量组线性表示线性表示123112233,k kkkkk存在一组数使得 1231231232302+3+4.322kkkkkkkkk有解123231 = 180.312由于=解得解得. 1线性方程组线性方程组 的的向量表示向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn 2 n x1 xn x2线性方程组可以写成线性方程组可以写成向量方程向量方程形式。形式。112111maaa122222maaa12nnnmnaaa12mbbb由定义可见，由定义可见， 能否由能否由 线性表示，线性表示，实际上是讨论

10、向量方程实际上是讨论向量方程m ,21 是否有解是否有解. .注：注：1122mmxxx()(1) (1) 方程组方程组有有唯一解唯一解 唯一唯一线性表示线性表示. .(2) (2) 方程组方程组有有无穷解无穷解 无穷种无穷种线性表示线性表示. .(3) (3) 方程组方程组无解无解 线性表示线性表示. .1212 :,:,. stABBAABBA 设有两个向量组和若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示，则称若向量组 与向量组 能相互线性表示，向量组 能由向量组 线性表则称这两个向示量组等价定义定义 12121122 :, 0nmmmmARk kkkkk 给定向量组如果不全为零的数使存在则称

11、向量组A是线性相关线性相关的，否则称它线性无关线性无关定义定义4.9.0 ,0, 1.2211121成成立立才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nnnn 注意注意., 2.线线性性相相关关性性无无关关就就是是不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组二、线性相关二、线性相关., 0, 0, 3. 线线性性无无关关则则说说若若线线性性相相关关则则说说若若时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 .4. 组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量121,0,0,0,1,0,0,0,1TTTn，例例2 证明证明n维向量组维向量组线性无关线性无关.1 1220

12、nnkkk12,nk kk解解 若存在一组数若存在一组数 使得使得又又T1 12212,nnnkkkk kk0120,0,0.nkkk即即所以所以 线性无关线性无关.12,n 123410321214.11032317 ，例例3 3 讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性 解解 考虑齐次方程组考虑齐次方程组即即112233440 xxxx121234340 xxxx 系数矩阵，记为系数矩阵，记为A1234(,)1032121411032317A 10321214011032317A齐次方程组齐次方程组Ax=0有非零解，即有非零解，即112233440 xxxx有非零解，有非零解，

13、123112223331,=+,=+=+ 例4 设向量组,线性无关，则, 线性无关.123112233,+=0k k kkkk 设存在一组数使得证明,112223331()+()+()=0kkk即 ,131122233()+()+()=0kkkkkk即 ,123, 由向量组,线性无关得131223=0=0=0kkkkkk10111020011系数行列式123=0kkk123, 所以 线性无关.定理定理1 1 向量组向量组( (当当m2时时) )线性相关线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是中至少有一个向量可中至少有一个向量可由其余由其余m-1个向量线性表示个向量线性表示证明证明充分性充分性

14、设设中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.即有即有112211mmm 三、线性相关的有关理论三、线性相关的有关理论故故 01112211 mmma 因因 这这 个数不全为个数不全为0， 1,121 m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设不妨设 则有则有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证毕证毕.12

15、1 :,:,.2 , mmABA 设向量组线性无关 而向量组线性相关 则向量必能由向量组线性表示 且表示法是定唯一的理证明证明由 线性相关，12,m 则有不全为0的数使 12,mk kkl11220.mmkkkl下证 l0.11220.mmkkk与 线性无关矛盾. 12,m 如果 l=0，则 不全为零且12,mk kk下证表示法唯一.反证法. 如果1122mmttt1122mmsss两式相减得1112220mmmtststs，由于 线性无关，所以12,m 1122=0=00mmtststs， ，所以表示法是唯一的.推论推论 1 1 n个个n维向量维向量 1, 2 , n，A=( 1, 2 ,

16、n) 则它们线性相关（则它们线性相关（线性无关线性无关）的充要条件是）的充要条件是 |A|=0 (|A|0).推论推论 2 2 m个个n维向量维向量 1, 2 , m，mn，即向量组，即向量组 所含向量的个数大于向量组的维数，则它们所含向量的个数大于向量组的维数，则它们 一定线性相关一定线性相关.注：注：例如例如任意四个三维向量一定线性相关。任意四个三维向量一定线性相关。一般地一般地, 在在 Rn 中中任意任意 n+1 个向量都是线性相关的；因此个向量都是线性相关的；因此, 任意任意线性线性无关的无关的n维向量组最多含有维向量组最多含有 个向量个向量因为因为 由由 线性表示，则线性表示，则12

17、,r 12,s 11111221221122221122.ssssrrrrssaaaaaaaaa定理定理 3 如果线性无关的向量组如果线性无关的向量组 可以可以由向量组由向量组 线性表示，则线性表示，则12:,rA 12:,sB .rs证证12,1,2, .iiiisaaair令反证法反证法 假设假设rs, ,12,r 则则 线性相关线性相关即证存在一组不全为零的数即证存在一组不全为零的数 ，12,.,rk kk1 122.0rrkkk 满足满足则则 线性相关线性相关12,r 11 1212112 12222112200.0rrrrssrsra ka ka ka ka ka ka ka ka

18、k1122.rrkkk 11111221221122221122.ssssrrrrssaaaaaaaaa1111122122112222112211 12121112 1222221122.0ssssrrrrssrrrrssrsrskaaakaaakaaaa ka ka ka ka ka ka ka ka k矛盾，所以矛盾，所以rs.由推论由推论1 的结果可直接可得的结果可直接可得.证证 和和 等价，则等价，则 . . rs12:,rA 推论推论4.4 设两个线性无关的向量组设两个线性无关的向量组12:,sB 第三节 向量组的最大无关组与向量组的秩一、向量组的最大无关组一、向量组的最大无关组设

19、有向量组设有向量组 A ，如果，如果 在在 A 中能选出中能选出 r 个向量个向量 a1, a2, , ar 线性无关；线性无关； 向量组向量组 A 中任意中任意 r + 1个向量（如果个向量（如果 A 中有中有r + 1个向量的话）个向量的话）都线性相关；都线性相关； 那么称向量组那么称向量组 A0 ：a1, a2, , ar 是向量组是向量组 A 的一个的一个 最大线性无关向量组最大线性无关向量组，简称，简称最大无关组最大无关组例例 1 已知已知1231102 ,2,4 .404 123,. 求的一个最大线性无关组12312,=+ 线性无关，而解，12, 所以是一个最大线性无关组.2313

20、, 同理：和也是最大线性无关组.由定义，可推知以下由定义，可推知以下结论结论：(3) (3) 向量组向量组A中的任何一个向量可以用它的最大线性无关中的任何一个向量可以用它的最大线性无关组组A0表示；表示；(5) (5) 向量组的最大线性无关组可能不是唯一的向量组的最大线性无关组可能不是唯一的. .向量组向量组A的任何两个最大线性无关组等价，所以向量组的最大线性的任何两个最大线性无关组等价，所以向量组的最大线性无关组所含向量的个数是唯一的。无关组所含向量的个数是唯一的。(2) (2) 一个向量组只要含有非零向量，就一定存在最大线性一个向量组只要含有非零向量，就一定存在最大线性无关组无关组. .(

21、4) (4) 向量组向量组A与它的最大线性无关组与它的最大线性无关组A0等价；等价；(1) (1) 单个零向量构成的向量组没有最大无关组；单个零向量构成的向量组没有最大无关组；向量组向量组A的最大无关组所含的向量个数的最大无关组所含的向量个数 r 称为称为向量向量 组组 A 的秩的秩，记作，记作R(A) = r 注：注：(1) 规定只含有零向量的向量组的秩为零规定只含有零向量的向量组的秩为零 .(3) 两个等价向量组的秩相等两个等价向量组的秩相等 .定理：定理：设有向量组 A ：a1, a2, am，由秩的概念知： R(a1, a2, am) m, 故：向量组 A ：a1, a2, am 线性

22、无关 R(A) = m向量组 A ：a1, a2, am 线性相关 R(A) 0回顾：线段的长度2212| , OPxxx xx1x2x1x2x3P(x1, x2)OPO若令若令 x = (x1, x2)T，则，则222123| , OPxxxx x若令若令 x = (x1, x2, x3)T，则，则x, x = x12 + x22 + + xn2 0 2, , , kkkkk kk 定义：记 称 | | 为 n 维向量 =x1 , x2 , , xnT的长度长度(范数范数) 当 | | = 1时，称 为单位向量单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当 = 0（零向量） 时， | | = 0

23、； 当 0（零向量） 时， | | 0齐次性： | k | = | k | | | 22212| , 0nxxx 2|, , | , |kkkkkk 向量的长度向量的长度向量的长度向量的长度定义：记 称 | | 为 n 维向量 的长度（或范数） 当 | | = 1时，称 为单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当 = 0（零向量） 时， | | = 0； 当 0（零向量） 时， | | 0齐次性： | k | = | k | | |三角不等式： | + | | | + | |22212|,|nxxx + 定义：定义：当当 , = 0，称向量，称向量 和和 正交正交 两两正交的两两正交的非零非

24、零向量组称为向量组称为正交向量组正交向量组 如果如果正交向量组正交向量组中每个向量都是单位向量，中每个向量都是单位向量， 则则称该称该正交向量组正交向量组为为标准正交向量组标准正交向量组.向量的正交性向量的正交性例：例：已知已知3 维向量空间维向量空间R3中两个向量中两个向量 正交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向量a3 ，使，使a1, a2, a3 两两正交两两正交分析：分析：显然显然a1 , a2 =0,解：解：设设a3 = (x1, x2, x3)T ，若，若a1 , a3=0 ， a2 , a3=0 ，则，则x1 + x2 + x3 = 0 x12x2 + x3 = 012111

25、, 211aa 得得 取解取解 ，即为所求，即为所求.1320 xxx 3101a 定理：定理：若若 n 维向量维向量a1, a2, , ar 是一组两两正交的非零向量，是一组两两正交的非零向量，则则 a1, a2, , ar 线性无关线性无关证明：证明：设设 k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量）（零向量），那么，那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2从而从而 k1 = 0同理可证，同理可

26、证，k2 = k3 = = kr =0综上所述，综上所述， a1, a2, , ar 线性无关线性无关第一步：正交化第一步：正交化施密特（施密特（Schimidt）正交化过程）正交化过程设设 a1, a2, , ar 线性无关，那么令线性无关，那么令于是向量组于是向量组 b1, b2, , br 两两正交，并且与向量组两两正交，并且与向量组 a1, a2, , ar 等价等价121112212111,rrrrrrrrrb ab abab bb bbabbbbb 11ba b ababb b1222111,第二步：单位化第二步：单位化设设 b1, b2, , br 是正交向量组，那么令是正交向量

27、组，那么令从而从而 e1, e2, , er 是一个是一个标准正交向量组标准正交向量组112212111, , |rrrebebebbbb例：例：设设 ，试用施密特正交化，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第一步正交化，取第一步正交化，取1231142, 3, 1110aaa 111222111132333121122111,45321,631114111,151212 0,330111bab ababb bb ab ababbb bb b 例：例：设设 ，试用施密特正交化，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第二步单位

28、化，令第二步单位化，令1231142, 3, 1110aaa 1112223331112|611111|311110|21ebbebbebb 例：例：已知已知 ，试求非零向量，试求非零向量a2, a3 ，使，使a1, a2, a3 两两正交两两正交. .解：解：若若a1 , a2=0 ， a1 , a3=0，则，则 a2, a3 应满足方程应满足方程 x1 + x2 + x3 = 0 取解取解 正交化得正交化得1111a 12100, 111231110, 2211aa 定义：定义： n 维向量维向量e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 中的向量，满足中的向量，满足 e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）；中的一个基（最大无关组）； e1, e2, , er 两两正交；两两正交； e1, e2, , er 都是单位向量，都是单位向量，则称则称 e1, e2, , er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基(标准正交基标准正交基) 例：例：是是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基nVR 123410000100,00100001eeee 也是也是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基1234001212001212,121200