第六章 误差理论的基本知识

1、第六章第六章 误差理论误差理论的基本知识的基本知识主主 要要 内内 容容v测量误差概述测量误差概述v偶然误差的特性偶然误差的特性v衡量精度的标准衡量精度的标准v观测值的算术平均值观测值的算术平均值v基本要求：基本要求： 掌握产生误差的原因和测量误差分类，偶然误差的特掌握产生误差的原因和测量误差分类，偶然误差的特性，以及评定精度的指标。性，以及评定精度的指标。v重点：重点：产生误差的原因和测量误差分类，算术平均值以及衡量产生误差的原因和测量误差分类，算术平均值以及衡量精度的标准。精度的标准。v难点：难点： 观测值的中误差。观测值的中误差。第一节第一节 误差概述误差概述什么是误差什么是误差误差（误

2、差（Error)（真误差）（真误差）： 观测值观测值L与真值与真值X的差值。的差值。 = L X = L X真值真值X X：反映一个量真正大小的绝对准确的：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。数值。 1 1、观测误差产生的原因、观测误差产生的原因： 人人-观测者感觉器官的观测者感觉器官的鉴别力的局限鉴别力的局限 仪器仪器-测量仪器与测量测量仪器与测量方法给观测结果带来误差方法给观测结果带来误差 客观环境客观环境-客观环境给客观环境给观测结果带来的影响观测结果带来的影响 观测条件观测条件： 人、仪器、客人、仪器、客观环境总称观测观环境总称观测条件，它们是引条件，它们是引起观测误差的主起观测误差的

3、主要因素。要因素。等精度观测等精度观测观测条件相同的各次观测观测条件相同的各次观测非等精度观测非等精度观测观测条件不同的各次观测观测条件不同的各次观测v2. 测量误差的分类（表现形式）测量误差的分类（表现形式）v1）偶然误差）偶然误差(a)在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若误差出现的符号和数值大小均不一致，而且从表若误差出现的符号和数值大小均不一致，而且从表而上看没有任何规律性，这种误差称为而上看没有任何规律性，这种误差称为偶然误偶然误差差单个偶然误差无规律，大量偶然误差有统计规律单个偶然误差无规律，大量偶然误差有统计规律v2）系统误差（

4、）系统误差（s）在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若误差出现的符号和数值大小均相同，或按一定的若误差出现的符号和数值大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为规律变化，这种误差称为系统误差系统误差。系统误差具有累积性，对测量结果影响很大，具有系统误差具有累积性，对测量结果影响很大，具有一定的规律性一定的规律性可以采用一定的方法将系统误差消除或减弱可以采用一定的方法将系统误差消除或减弱v3）粗差（）粗差（g）由于观测者疏忽大意，操作不当，或受外界干扰等由于观测者疏忽大意，操作不当，或受外界干扰等原因造成的测量错误原因造成的测量错误测量中粗差

5、不允许出现测量中粗差不允许出现测量中，可通过一定的检核条件，判读是否有粗差测量中，可通过一定的检核条件，判读是否有粗差存在，如有则重新观测以消除粗差存在，如有则重新观测以消除粗差v3. 学习误差理论的目的学习误差理论的目的了解偶然误差产生的规律了解偶然误差产生的规律正确处理观测成果，即根据一组观测数据，求出未正确处理观测成果，即根据一组观测数据，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度知量的最可靠值，并衡量其精度根据误差理论来指导实践，使测量作业能达到预期根据误差理论来指导实践，使测量作业能达到预期的精度要求。的精度要求。gsaa第二节第二节 偶然误差的特性偶然误差的特性 在相同的观测条件下，独立地

6、观测了在相同的观测条件下，独立地观测了817个三角形的全个三角形的全部内角。部内角。 由于观测结果中存在着偶然误差，三角形的三个内角观由于观测结果中存在着偶然误差，三角形的三个内角观测值之和不等于三角形内角和的理论值（真值）。测值之和不等于三角形内角和的理论值（真值）。 设三角形内角和的真值为设三角形内角和的真值为X，观测值为，观测值为Li，则三角形内角，则三角形内角和的真误差（或简称误差）为和的真误差（或简称误差）为 i =Li -X（i一一1，2，n） i = Li - X ( i = 1,2,n) 12 X= k/n/d i = Li - X ( i = 1,2,n) 14 X= k/n

7、/d 1、偶然误差的特性、偶然误差的特性1) 有界性：有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。不会超过一定的限值。 2) 单峰性：单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。机会多。 3)对称性：对称性： 绝对值相等的正、负误差出现的机会基本绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相等。相等。 4) 补偿性：补偿性： 偶然误差的算术平均值随着观测次数的偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零。无限增加而趋于零。 0limnn当当n具有足够大时，误差在各个区间出现的相对具有足够大时，误差

8、在各个区间出现的相对个数就趋于稳定。误差分布曲线。其方程（称个数就趋于稳定。误差分布曲线。其方程（称概率密度）为概率密度）为 式中参数式中参数 是观测误差的标准差（方根差或均方根差）是观测误差的标准差（方根差或均方根差） nn22lim 22221ef对偶然误差分布曲线形状的影响对偶然误差分布曲线形状的影响f()O121221210.6830.683 愈小，曲线顶点愈愈小，曲线顶点愈高，误差分布比较密高，误差分布比较密集；反之较离散。集；反之较离散。1122 22221ef1) 有界性：有界性：2) 单峰性：单峰性：3)对称性：对称性： 1f ()是偶函数。所以曲线对称于纵轴。这是偶函数。所以

9、曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。就是偶然误差的第三特性。 2. 愈小，愈小，f（）愈大。）愈大。当当=0时，时，f（）有最大值：）有最大值：愈大，愈大，f（）愈小。）愈小。当当时，时，f（）0。这就是偶然误差的第一和第二特性。这就是偶然误差的第一和第二特性。 22221ef如何处理含有偶然误差的数据？如何处理含有偶然误差的数据？例如：例如： 对同一量观测了对同一量观测了n次次 对标靶射对标靶射n次次 观测值为观测值为 :l1,l2,l3,.lnv如何评价数据的精度？如何评价数据的精度？ v成绩多少？成绩多少？ 以上就是研究误差的两个目的以上就是研究误差的两个目的第三节第三节 评定精度

10、的指标评定精度的指标 在一定的观测条件下进行一组观测，如果该组误差值在一定的观测条件下进行一组观测，如果该组误差值总的说来偏小些，即误差分布比较密集，则表示该组观测质总的说来偏小些，即误差分布比较密集，则表示该组观测质量好些，这时标准差量好些，这时标准差的值也较小；反之成立。的值也较小；反之成立。因此，一组观测误差所对应的因此，一组观测误差所对应的标准差值标准差值的大小，的大小，反映了该组观测结果的精度。反映了该组观测结果的精度。 所以在评定观测精度时，可用该组误差所对应的所以在评定观测精度时，可用该组误差所对应的标准标准差差的值。的值。v1. 中误差中误差设对某真值设对某真值 已知的量进行了

11、已知的量进行了 n 次等精度独立观测次等精度独立观测得观测值得观测值l1，l2，ln各观测量的真误差各观测量的真误差1， 2 ， n 观测值精度可表示为：观测值精度可表示为：m 称为观测值的称为观测值的中误差lliinm标准差标准差跟中误差跟中误差m的不同，在于观测个数的不同，在于观测个数n上上l例例 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了进行了10次观测，试求这两组观测值的中误差。次观测，试求这两组观测值的中误差。中误差与真误差不同，它只是表示一组观中误差与真误差不同，它只是表示一组观测值的精度指标，并不等于任何观测值的测值的精度指标，并不等于任何

12、观测值的真误差。真误差。由于是等精度观测，每个观测值的精度都由于是等精度观测，每个观测值的精度都等于中误差。等于中误差。v2. 相对误差相对误差真误差和中误差都是绝对误差真误差和中误差都是绝对误差相对误差是专门为距离测量定义的精度指标相对误差是专门为距离测量定义的精度指标相对误差相对误差绝对误差的绝对值与相应观测值绝对误差的绝对值与相应观测值之比之比通常用分子是通常用分子是1的分式形式来表示的分式形式来表示 工程测量 第六章 测量误差的基本知识mDDmK1例如丈量两条直线，一条长例如丈量两条直线，一条长100m，另一条长，另一条长20m，它们的中误差都是全它们的中误差都是全10mm，那么，能不

13、能说两，那么，能不能说两者测量精度相同呢？者测量精度相同呢？即前者的精度比后者高即前者的精度比后者高。 22112211,20001,100001LmLmLmLm实践证明：实践证明：大于一倍中误差的真误差，其出现的可能性约为大于一倍中误差的真误差，其出现的可能性约为31.7%。大于两倍中误差的真误差，其出现的可能性约为大于两倍中误差的真误差，其出现的可能性约为4.6。大于三倍中误差的真误差，其出现的可能性只占大于三倍中误差的真误差，其出现的可能性只占3左右。左右。3、极限误差、极限误差结论：结论：在观测次数不多的情况下，可认为大在观测次数不多的情况下，可认为大于三倍中误差的偶然误差实际上是不于

14、三倍中误差的偶然误差实际上是不可能出现的可能出现的v测量中常取测量中常取两倍中误差两倍中误差作为误差的限值，作为误差的限值，也就是在测量中规定的容许误差（或称限也就是在测量中规定的容许误差（或称限差）。差）。|容容|=2mv在有的测量规范中也有取在有的测量规范中也有取三倍中误差三倍中误差作为作为容许误差的。容许误差的。 |容容|=3m第四节第四节 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 设在相同的观测条件下对未知量观测了设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观次，观测值为测值为L1、L2Ln，现在要根据这，现在要根据这n个观测值个观测值确定出该未知量的最或然值。确定出该未知量的最或然值。

15、设未知量的真值为设未知量的真值为X，写出观测值的真误差公，写出观测值的真误差公式为式为i= Li-X (i=1,2n)将上式相加得将上式相加得或或故故nXLLLnn 2121 nXL nnLX设以设以x表示上式右边第一项的观测值的表示上式右边第一项的观测值的算术平均值算术平均值，即，即以以X表示算术平均值的真误差，即表示算术平均值的真误差，即代入上式，则得代入上式，则得由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，X趋近于零，即趋近于零，即也就是说，也就是说，n趋近无穷大时，算术平均值趋近无穷大时，算术平均值x即为真值。即为真值。 nLxX nxx

16、xX0limxn nnLXv1、等精度独立观测量的最可靠值、等精度独立观测量的最可靠值在等精度观测条件下对某一量进行多次观测在等精度观测条件下对某一量进行多次观测通常取算术平均值作为最后结果通常取算术平均值作为最后结果 算术平均值是未知量的最可靠值或最算术平均值是未知量的最可靠值或最或然值或然值。v2. 白塞尔公式白塞尔公式在实际工作中常用观测值的改正数求中误差在实际工作中常用观测值的改正数求中误差算术平均值和观测值之差，称为算术平均值和观测值之差，称为观测值的改正数观测值的改正数，通常以通常以 v 表示。表示。两端取和，得：两端取和，得：nnllvllvllv 22110ll nv将改正数和

17、真误差相加得：将改正数和真误差相加得：即：即：将上式相乘，然后取和，得：将上式相乘，然后取和，得：iiiiivllvlLiiiiiivllvlli真误差nnvvv 2211 vvvn22上式两端除上式两端除n，得：，得： 2nvvn nnlllnlll )(2 )22(13121223121222212222nnnnn由于由于1，2，n 都是偶然误差，故都是偶然误差，故1 2 ， 1 3 也具有偶然误差的性质。也具有偶然误差的性质。根据偶然误差的第四个特性，当根据偶然误差的第四个特性，当 n 趋于无穷大时，其趋于无穷大时，其总和应趋近于零，总和应趋近于零，即即 趋近于零趋近于零当当n为较大的有限值时，为较大的有限值时， 的值也远小的值也远小于于，故可忽略不记。，故可忽略不记。于是上式得：于是上式得：31213121 2nnvvn根据中误差的定义得：根据中误差的定义得：即：即：这就是利用观测值改正数这就是利用观测值改正数 Vi 计算观测中误差的公计算观测中误差的公式式白塞尔公式白塞尔公式 nmnvvm2