山东大学数学建模选修问题详解

1、实用标准数学建模作业姓名：学院：计算机科学与技术班级：学号1.在区域xe-2,2,y -2,3内绘制函数z=expA(-x 2-y 2)曲面图及等值线图。解：曲面图如下：回 S3Figure- 1> > x=-2:0.5:2;> > y=-2:0.5:3;> > X,Y=meshgrid(x,y);>> Z=exp(-X.A2-''Y.A2);>> mesh(X,Y,Z)>>等值线图如下：文案大全>> x=-2:0.5:2;>> y=-2:0.5:3;>> X,Y=mes

2、hgrid(x,y);>> Z=exp(-X.A2-Y.A2);>> mesh(X,Y,Z)>> surf(X,Y,Z)>> surf(X,Y,Z)>> contour(X,Y,Z)>>2.已知一组观测数据，如表 1所示.1： NNM-1.7*1.4-1.1*08*0.5-0 20.10 4击0.102B90.117410.I3I580.144830.156560.166220.173320.177500.17853工10 71L1.61,9T22.52.83 1Vi0.176350 1710P0.163020.1S255

3、0.14020.126550 112190.097680.08353鼻3,43-744.34.64.9*0 070150 056760.046870 037290.029140.0223(1) 试用差值方法绘制出 xW -2,4.9区间内的光滑曲线，并比较各种差值算法的优 劣.(2) 试用最小二乘多项式拟合的方法拟合表中的数据，选择一个能较好拟合数据点的多项式的阶次，给出相应多项式的系数和偏差平方和(3) 若表中数据满足正态分布函数y(x)-e,xW/2Q2 .试用最小二乘非线性拟2 合的方法求出分布参数,二值，并利用锁求参数值绘制拟合曲线，观察拟合效果解：(1)分别用最领近插值，分段线性插值

4、(缺省值)，分段三次样条插值，保形分段三 次插值方法绘制在 xW -2,4.9的光滑曲线，图形如下：回就样条插值效果最好，其次线性插值，最近点插值效果最差，在这里效果好像不太明显。最近点插值优点就是速度快，线性插值速度稍微慢一点， 但效果好不少。所以线性插值是个不错的折中方法。样条插值，它的目的是试图让插值的曲线显得更平滑，为了这个目的，它们不得不利用到周围若干范围内的点，不过计算显然要比前两种大许多。MATLA改件如下：>> x0=-2:0.3:4.9;>> y0=0.10289 0.11741 0.13158 0.14483 0.15656 0.16622 0.17

5、332 0.17750 0.17853 .0.17635 0.17109 0.16302 0.15255 0.1402 0.12655 0.11219 0.09768 0.08353 .0.07015 0.05876 0.04687 0.03729 0.02914 0.02236;>> cx=-2:0.3:4.9;>> y1=interp1(cx,y0,cx,'nearest');>> y2=interp1(cx,y0,cx,'linear');>> y3=interp1(cx,y0,cx,'spline&

6、#39;);>> y4=interp1(cx,y0,cx,'cubic');> > subplot(2,2,1),plot(cx,y0,'o',cx,y1,'-r'),title('Nearest Interpolant');> > subplot(2,2,2),plot(cx,y0,'o',cx,y1,'-k'),title('Linear Interpolant');> > subplot(2,2,3),plot(cx,y0,

7、9;o',cx,y1,'-b'),title('Spline Interpolant');> > subplot(2,2,4),plot(cx,y0,'o',cx,y1,'-k'),title('Cubic Interpolant');> > subplot(2,2,1),plot(cx,y0,'o',cx,y1,'-r'),title('Nearest Interpolant');(2),从图形可以看出曲线函数遵从募函数的形式，设备函

8、数形式为：y =axP可化为ln y =ln a + B ln x.即把非线性函数转化为线性函数，原线性函数形式为 p(x) = a1x + a0由此我们可以得出p(x)等价于lny;x等价于lnx; P = a1 , lna =a0我们可以先求出a1,a0。求一个线性多项式 p(x) = ax + a0使之在最小二乘准则下拟合这些观测值，问题即化为匹 =0,畦 =0 ,用MATLAB工具我们可以求得最后的结-a 朋求a°a1使E（a0 al尸min £ y - （ax +a。）利用多元函数极值原理可知，若目标函数E( a0 a1)的极小值存在，一定有果。>>

9、log(x0);> > 10g(y0);> > x0=log(x0);> > y0=log(y0);> > n=length(x0);> > a=sum(x0);> > b=sum(y0);> > c=sum(x0.*y0);> > d=sum(x0.A2);> > a0=(d*b-c*a)*(n*d-aA2);> > a1=(n*c-a*b)/(n*d-aA2);> > a0,a1a0 =-2.5891e+05 - 1.7515e+06i al =0.1045

10、- 0.3558i即系数 a0 为-2.5891e+05 - 1.7515e+06i,al 为 0.1045 - 0.3558i其相应多项式的系数和偏差平方和.我们可以求出 E= -7.2019e+13 + 2.1767e+13i其MATLABC件如下：> > Y=a1*x0+a0;> > e=Y-y0;> > E=sum(e.A2)E =-7.2019e+13 + 2.1767e+13i即其相应多项式的系数和偏差平方和为-7.2019e+13 + 2.1767e+13i？ 3.将某物体放置在空气中， 在t=0时刻测得其温度 U0=150度，10min后测得

11、温度 3=87度, 假设空气白温度为24度。试建立数学模型给出物体的温度 u与时间t的关系， 并计算20min后物体的温度。解：为了解决上述问题，我们首先需要了解有关热力学的一些基本规律：比如：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度与这物体的温度和其所在介质 的温度的差值成正比例。这是已为实验证明了的牛顿冷却定律。设空气的温度为ua，物体在时刻t的温度为u=u（t）,则温度的变化速度为业。注意热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而初始温 dt度大于空气温度，即（u°>“），所以温差u7a恒正；又因为

12、物体的温度将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度 曲包负。因此，由牛顿冷却定律得到dtdu二一K(u -ua) 出这里的K>0是比例常数。此（1）方程就是冷却过程的数学模型。为了确定温度u与时间t的关系，我们需要从上面（1）的方程中解出u。又因为ua是常数，并且u-ua>0,所以我们可以将上述式子改写成d（u-ua） = -Kdt将此式积分可得到如下式子u -ualn( u -ua) = -Kt c1u -ua = eA (一Kt c1) = ceA( 一Kt)即 u=U3+ceA(-Kt)根据初始条件：t=0时，U=Uo代入上式得C=UO-U a于是 u=uo+(uo-u a)eA(

13、-Kt)又根据条件，当t=10时，u=ui代入上式得ui = ua + (u 0-u a)eA(-10K) 一 1 .K = In (u o-ua)/(u 1-u a) 10根据题意我们可知u°=150, u=87,ua=24，代入得到 “ 1150 -241 .K=一 In= ln 2 =0.0691087 -2410从而 u=24+126eA(-0.069t)这就是物体冷却时温度u随着时间t的变化规律。用t=20代入得u=55.7度4.假设在某商场中，某种商品在t时刻的价格为P(t),若假定其变化率与商 品的需求量D和供给量S之差成正比(比例系数为k),若D = a -bP,S

14、= -c dP其中a,b,c,d均为正常数，若已知初始价格为Po,求任意时刻t时该商品的价格解：一般情况下，某种商品的价格主要服从市场供求关系，由题意我们可知 商品需求量D是价格P的单调递减函数，商品供给量S是价格P的单调递增函数， 即D =a -bP,S = -c dP (1)其中a,b,c,d均为常数，且b>0,d>0.当需求量与供给量相等时，由(1)可得供求平衡时的价格 Pe=a上，并称R b d为均衡价格。由题意得：dp =kD(p)-S(p)dt其中比例系数k>0,用来反应价格的调整进度。将(1)式代入方程可得其中常数=k(b+d)，>0,所以此方程的通解为P

15、(t)=P e+CeA(- - t)由于初始价格P(0) = Po代入上式，得C = RPe于是我们可以求出任意时刻价 格P与时刻t之间的函数为：P(t) = P e+(Po-Pe)A(- Zt),并且我们可以得出，因为九>0知，tT +8时P(t) T Pe,说明随着时间的不 断推延，实际价格P(t)将逐渐趋近均衡价格Pe。5.农场种植计划问题 三等，相应的耕地面积 分别为100、300和200km，计划种植水稻、大豆和玉米.要求三种作物的最低收 获量分别为190、130和350吨.I 、II 、III等耕地种植三种作物的单产如 表所小.去2：不同等级耕施八同作物单产(t/km?) 类

16、别 | IIIIlTK 米 1412 10若三种作物的售价分别为水稻1.2元/kg,大豆1.50元/kg ,玉米0.80元/kg. 那么(1)如何制订种植计划，才能使总产量最大？(2)如何制订种植计划，才能使总产值最大？ 解：(1)：问题分析：确定种植最佳土地分配，即每种等级耕地分别种植水稻、大豆、玉米的 面积模型建立：1, ,决策变量：令x1,x2,x3分别为I II III 三等耕地上种植的水稻面积，令x4,x5,x6分别为I II III三等耕地上种植的大豆面积，令x7,x8,x9 三等耕地上种植的玉米面积。且令为xi (1<=i<=9)面积的耕 地上的产量为Ci.2, 目标

17、函数：总产量最大，即 max- 9T cxi3, 约束条件：最低产量限制：最低水稻产量190吨，最低大豆产量130吨，最低 玉米产量350吨11x1+9.5x 2+9x3 1908x4+6.8X5+6X6 呈 13014x7+12x8+10X9 呈 350耕地面积恒定：Xi +X4+X7=100X2+X5+X8=300X3+X6+X9=200上负条件： Xi, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9= 0数学模型：maX=1lX+9.5X2+9X3+8X4+6.8X 5+6X6+14X7+12X8+10X9'-11x1-9.5x2-9x3190-8x4-6.8x5

18、-6x6-130-14x7-12x8-10x9 <-350x1 + x4 + x7 = 100Jx2 + x5+x8 = 300x3 + x6 + x9= 200x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 之 0用MATLABt解，用命令格式III ,文件如下： >>c=11 9.5 9 8 6.8 6 14 12 10;>> A=-11 -9.5 -9 0 0 0 0 0 00 0 0 -8 -6.8 -6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -14 -12 -10;>> b=-190;-130;-350;>>

19、Aeq=1 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1；>> beq=100;300;200;>> vlb=0;0;0;0;0;0;0;0;0;>> vub=;>> x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) Optimization terminated.x =17.27270.00000.000082.7273300.0000165.00000.00000.000035.0000fval =4.2318e+03即，模型的最优解为(17.2727 0.0 0.0 82.7273 300.0 165.0 0.00.0 35.0) T,目标函数最优值为4.231 1