电磁场的边界条件

1、.电磁场的边界条件姓名：学号：专业：班级：提交日期：桑薇薇通信工程电工 1401成绩：.电磁场的边界条件1. 引言2. 边界条件分类3. 边界条件的作用4. 结束语5. 参考文献1. 引言在两种不同媒质的分界面上，场矢量E,D,B,H 各自满足的关系，称为电磁场的边界条件。在实际的电磁场问题中， 总会遇到两种不同媒质的分界面 （例如： 空气与玻璃的分界面、导体与空气的分界面等） ，边界条件在处理电磁场问题中占据十分重要的地位。2. 边界条件分类1、电场法向分量的边界条件如图 3.9 所示的两种媒质的分界面， 第一种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为1， 1和1 ，第二种媒质的介电常数、磁导率

2、和电导率分别为2 ，2和 2。图 3.9 电场法向分量的边界条件在这两种媒质分界面上取一个小的柱形闭合面，如图 3.9 所示，其高h 为无限小量，上下底面与分界面平行，并分别在分界面v两侧，且底面积S 非常小，可以认为在 S 上的电位移矢量 D 和面电荷密度 S 是.vv均匀的。 n1 ，n2 分别为上下底面的外法线单位矢量，在柱形闭合面上应用电场的高斯定律v vv vvv?S D gdSn1 gD1Sn2 gD2SS S故v vvvn1gD1n2 gD 2S(3.48a)vvvvv可写若规定 n 为从媒质指向媒质为正方向，则n1n， n2n ，式 (3.48a)为v vvng(D1D2 )S

3、(3.48b)或D1nD2nS(3.48c)式 (3.48 ) 称为电场法向分量的边界条件。vvv因为 DE ，所以式 (3.48)可以用 E 的法向分量表示v vv v1n1gE12 n2 gE2S(3.49a)或1E1n2 E2nS(3.49b).若两种媒质均为理想介质时， 除非特意放置， 一般在分界面上不存在自由面电荷，即S0 ，所以电场法向分量的边界条件变为D1nD 2n(3.50a)或1E1n2E2 n(3.50b)若媒质为理想介质，媒质为理想导体时，导体部电场为零，即E20，D20 ，在导体表面存在自由面电荷密度，则式 (3.48) 变为vvn1 gD1 D1nS(3.51a)或1

4、E1ns(3.51b)2 、电场切向分量的边界条件在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路abcd，如图 3.10 所示，该回路短边h 为无限小量，其两个长边为 l ，且平行于分界面， 并分别在分界面两侧。在此回路上应用法拉第电磁感应定律v vvv?lBEgdlS tgdS因为.?lv vEgdl E1t l E2t l和vvvBBS tgdSl h 0t故图 3.10电场切向分量的边界条件E1tE2t(3.52a)v若 n 为从媒质指向媒质为正方向，式(3.52a) 可写为vvvn(E1E2) 0(3.52b)式 (3.52) 称为电场切向分量的边界条件。 该式表明，在分界面上电场强度的切向分

5、量总是连续的。vD1tD 2t用 D表示式 (3.52a) 得12(3.53)若媒质为理想导体时，由于理想导体部不存在电场，故与导体相邻的媒质中电场强度的切向分量必然为零。即E1t0(3.54).因此，理想导体表面上的电场总是垂直于导体表面，对于时变场， 理想导体部不存在电场， 因此理想导体的切向电场总为零，即电场也总是垂直于理想导体表面。3、 标量电位的边界条件在两种媒质分界面上取两点，分别为 A 和 B，如图3.11 所示。 A，B 分别位于分界面两侧，且无限靠近，两图 3.11 电位边界条件v点的连线h0 ，且 h 与分界面法线 n 平行，从标量电位的物理意义出发，得B v vE1nhE

6、2 nhABEgdl22A由于 E1n 和 E2 n 为有限值，而h0 所以由上式可知AB0 ，即AB或1S2S(3.55)式中 S 为两种媒质分界面。该式表明在两种媒质分界面处，标量电位是连续的。标量电位 在分界面上的边界条件在静电场求解问题中是非常有用的。考虑v到电位与电场强度的关系：E，由电场的法向分量边界条件式(3.49b) 得.121 n S2n SS(3.56)式 (3.56) 称为静电场中标量电位的边界条件。若两种媒质均为理想介质时， 在分界面上无自由电荷， 标量电位的边界条件为1S2 S1212n Sn S(3.57)若在理想导体表面上，标量电位的边界条件为SC（常数）(3.5

7、8a)Sn S(3.58b)v式中 n 为导体表面外法线方向。4、 磁场法向分量的边界条件在两种媒质分界面处作一小柱形闭合面，如图 3.12 所示，其高度 h0 ，上下图 3.12磁场法向分量的边界条件底面位于分界面两侧且与分界面平行，底v面积S 很小， n 为从媒质指向媒质法线方向矢量，在该闭合面上应用磁场的高斯定律?v vv vv vBgdSngB1 SngB2 S 0S.则vvvng( B1B2) 0(3.59a)或B1nB2n(3.59b)式 (3.59) 为磁场法向分量的边界条件。 该式表明：磁感应强度的法向分量在分界面处是连续的。vvv因为 BH ，所以式 (3.59b)也可以用

8、H 的法向分量表示1H1n2 H 2n(3.60)若媒质为理想导体时，由于理想导体中的磁感应强度为零，故B1n0(3.61)因此，理想导体表面上只有切向磁场，没有法向磁场。5 、磁场切向分量的边界条件在两种媒质分界面处作一小矩形闭合环路，如图3.13 所示。环路短边h0 ，两长边 l 分别位于分界面两.图 3.13磁场切向分量的边界条件.v vIlH gdl，即侧，且平行于分界面。在此环路上应用安培环路定律?vvlH gdl H 1t l H 2t l?穿过闭合回路中的总电流为I JS lJC1lhJC2h2l2D1 lhD2lht2t2式中J S 为分界面上面电流密度， JC1 ， JC2

9、分别为两种媒质中的传导电流体密度，D1D 2h 0 ，除 JS l 外，回路t 和t 分别为两种媒质中的位移电流密度。因为中的其他电流成分均趋向零，即IJS l ，于是H 1tH 2tJS(3.62a)式中 J S 方向与所取环路方向满足右手螺旋法则。用矢量关系，式 (3.62a) 可表示为vvvvn(H 1H 2 )JS(3.62b)v式 (3.62) 为磁场切向分量的边界条件。 式中 n 为从媒质指向媒质的法线单位矢量。v用 B 表示式 (3.62a) 得B1tB2tJS12(3.63).v若两种媒质为理想介质，分界面上面电流密度 J S 0 ，则磁场切向分量边界条件为H 1tH 2t(3

10、.64a)或B1tB2t12(3.64b)由式 (3.59b) 和式 (3.64b) 可得tantan1 12 2若媒质为高磁导率材料 ( 21) ，当2小于90时， 1 将非常小。换句话说，在铁磁质表面上磁力线近乎垂直于界面。当2时， 1 0 ，即在理想铁磁质表面上只有法向磁场，没有切向磁场。H 1tH 2t0(3.65)v若媒质之一为理想导体，电流存在于理想导体表面上J S0 ，因理想导体没有磁场，理想导体表面切向磁场为H tJ S(3.66a)或vvvnHJ S(3.66b).若媒质的电导率有限，即媒质中有电流通过， 其电流只是以体电流分布的v形式存在，在分界面上没有面电流分布，即 J

11、S 0 ，则分界面上磁场切向分量是连续的，即 H 1t H 2 t 。6 、矢量磁位的边界条件v根据矢量磁位 A 所满足的旋度和散度表示式，及磁场的基本方程， 可推导出vvA 的法向分量和切向分量在两种媒质分界面处是连续的， 所以 A 矢量在分界面处也应是连续的，即vvA1 SA2 S(3.67)由式 (3.63) 可得1 (v1 (vA1) tA2 )t JS12(3.68)7、标量磁位的边界条件在无源区域，即无电流区域，安培环路定律的积分和微分形式为vv0lH gdl(3.69)?vH0(3.70)根据矢量运算，由式 (3.70) 可引入一标量函数m ，令vHm(3.71).该标量函数m

12、称为标量磁位，其单位是安培(A) 。式 (3.71) 中的负号是为了与静v电场中 E相对应而引入的。 引入标量磁位的概念完全是为了在某些情况下使磁场的计算简化，并无实际的物理意义。类似于电位差的计算， a 点和 b 点的磁位差为bv vmabmambaH gdl(3.72)根据标量磁位定义和磁场的边界条件可得m1 Sm2 S(3.73a)m1m212n Sn S(3.73b)式 (3.73) 为标量磁位的边界条件。8 、电流密度的边界条件在两种导电媒质分界面处作一小柱形闭合面。如图3.14 所示，其高度h 0 ，上下底面位于分界面两侧，且与分界面平行，底面面积vS 很小。 n 为从媒质指向媒质

13、法线方向矢量。根据电流连续性方程v vV dV?S JC gdSV(3.74)t在图 3.14 所示的闭合曲面上，图 3.14电流密度的边界条件.v vJ1n S J 2 n SSJc gdS(3.75)?V dVt VV dVQVtt (3.76)式中 Q 为闭合曲面包围的总电荷, 当h0 时，有QSS(3.77)将式 (3.77)代入式 (3.76)得VV dVSStt(3.78)将式 (3.75)和式 (3.78) 代入式 (3.74)中得J1 nJ 2nSt(3.79a)或v vvSng( J1J 2 )t(3.79b)vv根据导电媒质中的物态方程JCE ，又已知在分界面处电场切向分量

14、连续，即 E1tE2 t ，所以电流密度的切向分量满足J1tJ2 t12(3.80a)或.vvvJ1J2 0n12(3.80b)式 (3.79) 和式 (3.80) 为电流密度满足的边界条件，对静态场和时变场均适用。标量形式矢量形式D1n D 2nsvvvng( D1D2)SE1t E2tvvvn (E1E2) 0B1nB2nvvvng( B1B2) 0H1t H 2t J svvvvn ( H 1H2) JSJ1nJ2nsvvvStng( J1J2 )tJ1tJ2tvvvJ1J2)0n(1212A1A21S2S121 n S2n SS3. 边界条件的作用一般电磁场的求解都需要解偏微分方程的，

15、 确定边界条件就是对于求得偏微分方程的解起到重要作用。.4. 结束语电磁场的边界条件可以由麦克斯韦方程组的积分形式推出，它实际上是积分形式的极限结果。这些边界条件是n·(D1-D2)= s； (1)n×(E1-E2)=0 ； (2)n·(B1-B2)=0 ； (3)n×(H1-H2)=J)s 。 (4)式中 n 为两媒质分界面法线方向的单位矢量，场矢量E、 D、 B、H 的下标 1 或 2 分别表示在媒质 1 或 2 紧靠分界面的场矢量 , s 为分界面上的自由电荷面密度,Js 为分界面上的传导电流面密度。式 (1) 表示在分界面两侧电位移矢量D 的法向分量的差等于分界面上的自由电荷面密度。当分界面上无自由电荷时，两侧电位移矢量的法向分量相等, 即其法向分量是连续的。式(2) 表示在分界面两侧电场强度E 的切向分量是连续的。式 (3) 表示在分界面两侧磁通密度 B 的法向分量是连续的。式 (4)表示在分界面两侧磁场强度H 的切向分量的差等于分界面上的表面传导电流面密度