第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱

1、第第1313章章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路非正弦周期信号非正弦周期信号13.1周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数13.2有效值和平均功率有效值和平均功率13.3非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算13.4首首 页页本章内容本章内容和信号的频谱和信号的频谱13.1 13.1 非正弦周期信号非正弦周期信号 在各类电气、电子线路中，经常遇到激励是非在各类电气、电子线路中，经常遇到激励是非正弦周期信号的情况。正弦周期信号的情况。l 非正弦周期交流信号非正弦周期交流信号周期信号周期信号)()(nTtftf下 页上 页返 回 求解此类电路稳态解的有效方法是谐波分析法：

2、求解此类电路稳态解的有效方法是谐波分析法：首先根据傅里叶级数理论，将非正弦周期信号分首先根据傅里叶级数理论，将非正弦周期信号分解为一系列谐波，再根据叠加定理求响应。解为一系列谐波，再根据叠加定理求响应。常见非正弦周期信号见表常见非正弦周期信号见表13-1.13-1. 13.2 13.2 非正弦周期信号分解为傅里叶级数非正弦周期信号分解为傅里叶级数ttfTd )(0若周期函数满足狄利赫利条件：若周期函数满足狄利赫利条件：周期函数极值点的数目为有限个；周期函数极值点的数目为有限个；间断点的数目为有限个；间断点的数目为有限个；在一个周期内绝对可积，即：在一个周期内绝对可积，即：注意 电路中常见的信号

3、一般均满足狄利赫利电路中常见的信号一般均满足狄利赫利条件。条件。下 页上 页返 回则其可分解为收敛的傅里叶级数。则其可分解为收敛的傅里叶级数。下 页上 页返 回 一个周期函数的傅里叶级数的一个周期函数的傅里叶级数的基本形式为：基本形式为：直直流流分分量量一次谐波一次谐波（基频）（基频）二次谐波二次谐波（2倍频）倍频） 高次谐波高次谐波)sin()cos()(11110tbtaatf )2sin()2cos(1212tbta )sin()cos(11tkbtkakk 各项间是谐波关系；各项间是谐波关系； 谐波间满足正交性，内积为零：谐波间满足正交性，内积为零：特性qkdtffTqk00TkTkT

4、ttktfTbttktfTattfTa010100d)sin()(2d)cos()(2d)(1利用正交性，可求得：利用正交性，可求得：下 页上 页返 回)sin()cos()(1110tkbtkaatfkkk上述傅里叶级数可简记为：上述傅里叶级数可简记为： )cos(sincos111kkmkktkAtkbtka其系数的关系为：其系数的关系为：kkkkkmkkkmkkkkmabAbAabaAaAarctansin cos2200)sin()cos()(1110tkbtkaatfkkk其中的每个谐波又可化为：其中的每个谐波又可化为：直直流流分分量量一次谐波一次谐波（基频）（基频）二次谐波二次谐波

5、（2倍频）倍频） 高次谐波高次谐波)cos()(1110tAAtfm)2cos(212tAm )cos(1nnmtnA可得傅里叶级数的谐波形式：可得傅里叶级数的谐波形式：下 页上 页返 回)cos()(110kkkmtkAAtf 谐波间满足正交性。谐波间满足正交性。利用函数的对称性可使系数的确定简化利用函数的对称性可使系数的确定简化偶函数偶函数0 )()(kbtftf0 )()(katftf奇函数奇函数奇谐波函数奇谐波函数0 )2()(22kkbaTtftf注意 T/2t T/2f (t) o T/2t T/2f (t) otf (t)T/2To下 页上 页返 回周期函数的频谱图：周期函数的频

6、谱图：m1kAk的图形的图形 幅度频谱幅度频谱 11117 5 3 Akmok1相位频谱相位频谱 的图形的图形 1kk下 页上 页返 回周期性方波信号的分解周期性方波信号的分解例例1解解图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：TtTTtItiS2 020 )(m2d1d)(102/0mTTmSOItITttiTI 直流分量：直流分量：谐波分量：谐波分量：20) (dsin)(1ttktibSKK为偶数为偶数K为奇数为奇数20)cos1(0kItkkImmtT/2TSimIo下 页上 页返 回0sin12)(dcos)(2020tkkIttktiamSk22k

7、2kkkIbabAmK（k为奇数）为奇数）si的展开式为：的展开式为：)5sin513sin31(sin22tttIIimmS下 页上 页返 回ttt基波基波直流分量直流分量三次谐波三次谐波五次谐波五次谐波七次谐波七次谐波周期性方波波形分解周期性方波波形分解下 页上 页返 回基波基波直流分量直流分量直流分量直流分量+ +基波基波三次谐波三次谐波直流分量直流分量+ +基波基波+ +三次谐波三次谐波下 页上 页返 回)5sin513sin31(sin22tttIIimmStT/2TSimIIS01si3si5si下 页上 页IS01si3si5si等效电源等效电源返 回)5sin513sin31(

8、sin22tttIIimmS11117 5 3 Akmo矩形波的矩形波的幅度幅度频谱频谱tT/2TSimI11117 5 3 k1o-/21kk矩形波的矩形波的相位频谱相位频谱下 页上 页返 回13.3 13.3 有效值和平均功率有效值和平均功率下 页上 页返 回)cos()(110kkkmtkAAtf回顾上节，一个非正弦周期函数的傅里叶级数为：回顾上节，一个非正弦周期函数的傅里叶级数为： 各项间呈谐波关系；各项间呈谐波关系；谐波间满足正交性，内积为零。谐波间满足正交性，内积为零。 特性 本节将利用谐波的正交性求非正弦周期电流和本节将利用谐波的正交性求非正弦周期电流和电压的有效值及平均功率。电

9、压的有效值及平均功率。 1. 1. 非正弦周期电流和电压的有效值非正弦周期电流和电压的有效值)cos()(10kkkmtkIIti以电流为例，若以电流为例，若根据有效值的定义，其有效值为根据有效值的定义，其有效值为: :TttiTI02)(d1下 页上 页返 回)(dcos12010ttkIITTkkkm)(dcos12010ttkIITITkkkm d102020TItIT 0d)cos(2100TkttkIT 0d)cos()cos(210TqqmkkmttqItkITqk 下 页上 页返 回 根据谐波的正交性，式中所有交叉相乘项的内积根据谐波的正交性，式中所有交叉相乘项的内积均为均为0，

10、即：，即：只剩其中的平方项，其中只剩其中的平方项，其中: : 非正弦周期信号的有效值为直流分量及非正弦周期信号的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的平方根。各次谐波分量有效值平方和的平方根。 222120 IIII结论下 页上 页返 回 d)(cos102122TkkkmIttkIT因此，非正弦周期电流的有效值为因此，非正弦周期电流的有效值为: :此结果也同样适用于电压。此结果也同样适用于电压。2.2.非正弦周期交流电路的平均功率非正弦周期交流电路的平均功率TttituTP0d)()(1)cos()(10ukkkmtkUUtu)cos()(10ikkkmtkIIti下 页上 页返 回d

11、ttkIItkUUTikkkmTukkkm)cos()cos(110010 端口电压端口电压电流呈关联电流呈关联方向，且方向，且: :则端口处吸收的平均功率为则端口处吸收的平均功率为: :平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 210PPPP结论下 页上 页返 回 由于谐波间是正交的，不同频两项的平均功率由于谐波间是正交的，不同频两项的平均功率均为均为0，式中只剩同频量的平均功率，即：，式中只剩同频量的平均功率，即：)( cos100ikukkkkkkIUIUP即，非正弦周期信号的平均功率为即，非正弦周期信号的平均功率为: : 13.4 13.4 非正

12、弦周期电流电路非正弦周期电流电路的计算的计算原理和步骤原理和步骤用相量法用相量法求其中各次谐波的分响应。注意求其中各次谐波的分响应。注意: :要用相要用相量法分别求解（各谐波的量法分别求解（各谐波的 XL、XC不同）；不同）；将非正弦周期信号激励展为其傅里叶级数；将非正弦周期信号激励展为其傅里叶级数；根据叠加定理：根据叠加定理： 总响应总响应= =直流激励的分响应直流激励的分响应+ +各谐波的分响应各谐波的分响应 （瞬时值）（瞬时值）下 页上 页返 回 利用了非正弦周期信号激励可展为其傅里叶级利用了非正弦周期信号激励可展为其傅里叶级数的原理，及叠加定理，称为谐波分析法：数的原理，及叠加定理，称

13、为谐波分析法：按电阻电路（电容开路、电感短路）求其中直流按电阻电路（电容开路、电感短路）求其中直流激励分量的分响应；激励分量的分响应；例例1电路和方波激励如图，电路和方波激励如图，求求u。已知：已知： 20 、RtT/2TSimI解解 方波激励方波激励展成傅里叶级数。展成傅里叶级数。查表可知，其傅里查表可知，其傅里 叶级数为：叶级数为：)5sin513sin31(sin22111tttIIimmS0下 页上 页RLCuSi返 回s28. 6 A157pF1000 mH1 TICLm、sradT/10/261A5 .780SI由已知可求得由已知可求得方波激励的直流和各方波激励的直流和各谐波分量为

14、：谐波分量为：A)sin(10011tisA)3sin(310013tisA)5sin(510015tis 直流激励分量的分响应直流激励分量的分响应A5 .780SImV6 . 1105 .7820600SRIU下 页上 页R0U0SI返 回RLCuSi(1)基波基波k11010k110100010113611261LCXLRmV500010050)(111mSmIZU下 页上 页返 回求各谐波激励分量的分响应，分别用相量法。求各谐波激励分量的分响应，分别用相量法。A)sin(10011tisRmU1mSI1Cj11Lj1A1001mSIkCLRCLRZ50)1j(j)1j()j()(1111

15、1(2)三次谐波三次谐波kjCLRCLRZ36. 0)31j(j3)31j()j3()3(11111k33k33. 03111LCV900 .123 .33)36. 0()3(133mjZIUmSm下 页上 页返 回A)3sin(310013tisA3 .333mSIRmU3mSI3Cj131Lj13(3)五次谐波五次谐波下 页上 页返 回A)5sin(510015tisk55k2 . 05111LCA205mSIRmU5mSI5Cj151Lj15kjCLRCLRZ21. 0)51j(j5)51j()j5()5(11111V902 . 420)21. 0()5(515mjIZUmSm 根据根据

16、叠加定理，求总响应叠加定理，求总响应：mV)905sin(2 . 4)903sin(0 .12sin50006 . 11115310tttuuuUumV6 . 10UmV900 .123mUmV50001mUmV902 . 45mU下 页上 页返 回 解毕。解毕。例例2L=0.1H，C31F，C1中只有基波电流中只有基波电流 ， C3中只有三次谐波电中只有三次谐波电流。流。A 3000cos101000cos205ttis解解 显然，直流分量只流经电阻。进一步，显然，直流分量只流经电阻。进一步，依题意依题意可知，可知，C1、L、C2所构成的支路，应对所构成的支路，应对3 31谐波开路，谐波开路

17、，对对1谐波短路谐波短路。下 页上 页1i100LC3C2C1200Si2i3i返 回注意：激励已展为傅里叶级数，注意：激励已展为傅里叶级数， 。srad /10001 求求C1、C2和各支和各支路电流。路电流。已知：已知：1i100LC3C2C1200Si2i3i01j1j121111CjLC 对对1谐波短路，谐波短路，说明对说明对1 1谐波，谐波，C1、 L、 C2所构所构成的支路应阻抗为成的支路应阻抗为0 0（或串联谐振），因此：（或串联谐振），因此：F8 .01C下 页上 页返 回FLC52121091)3(1 对对3 31谐波开路，谐波开路，L、C2并联支路应并并联支路应并联谐振，因

18、此：联谐振，因此：下 页上 页返 回A 1000cos20)()1(2titiS 求各支路电流。求各支路电流。 另如前述，另如前述，C1、 L、C2所构成的支路对所构成的支路对1 1谐波短路，因此：谐波短路，因此： 直流分量只流经电直流分量只流经电阻支路；阻支路；1i100LC3C2C1200Si2i3i 求 2i 求 和 1i3i 直流分量单独作用时，直流分量只流经电阻支路。直流分量单独作用时，直流分量只流经电阻支路。三次谐波单独作用：三次谐波单独作用：A4823. 2333200100101000)3(3jI下 页上 页1i100LC3C2C1200Si2i3i返 回mI)3(110020

19、0mSI)3(mI)3(3333jA1167. 8j333200100103330)3( 1jImA 3000cos10)3(tisA010)3(mSIA)113000cos(67. 85)(01ttiA)483000cos(23. 2)(03tti1i100LC3C2C1200Si2i3i 和 为： 1i3i 解毕。解毕。课 程 总 结一、课程的性质、内容和目的一、课程的性质、内容和目的 电路课程是电信、通信等专业的一门重要的入门性、电路课程是电信、通信等专业的一门重要的入门性、理论性的专业基础课。理论性的专业基础课。 课程以集总参数电路和线性电路为基本研究对象，课程以集总参数电路和线性电路

20、为基本研究对象，讲解其基本理论和基本分析方法。讲解其基本理论和基本分析方法。 课程内容系统、严谨，内容丰富、实用性强。课程内容系统、严谨，内容丰富、实用性强。 通过本课程的学习，使学生掌握电路分析的基本理通过本课程的学习，使学生掌握电路分析的基本理论和基本方法，培养学生科学、严谨思想方法及解决论和基本方法，培养学生科学、严谨思想方法及解决实际电路问题的能力及创新思维能力，也为后续理论实际电路问题的能力及创新思维能力，也为后续理论和技术课程的学习打下基础。和技术课程的学习打下基础。二、基二、基 本本 要要 求求 理解集总参数和线性电路的概念，掌握理想元件的理解集总参数和线性电路的概念，掌握理想元件的定义及其定义及其VCRVCR等；电路的等；电路的KCLKCL和和KVLKVL等。等。 理解各类电路分析问题的分类、基本概念和特点，理解各类电路分析问题的分类、基本概念和特点，掌握