相似图形单元知识总结一

1、相似图形单元知识总结（一）【基本目标要求】一、联系实际情境了解线段的比和成比例线段，理解并掌握比例的基本性质及其简单应用二、通过实例了解黄金分割，认识相似图形，体会相似图形在实践中的广泛应用，增强学生的数学应用意识三、经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的概念四、通过对一些具体的情境和应用，深化对相似三角形的理解和认识五、灵活运用相似三角形的判定、性质定理；直角三角形的相似判定定理能够运用相似三角形的判定定理，发展学生的逻辑推理意识六、理解相似比的概念，掌握相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，并能用来解决简单的实际问题七、了解位似图形的概念，了解位似图形上任意一对对

2、应点到位似中心的距离之比等于相似比【基础知识导引】一、比例的概念及有关性质1线段的比用同一个长度单位去量两条线段，AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比AB：CD=m：n，或写成，其中AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项如果把表示成比值k，那么，或AB=k·CD2比例线段在四条线段a、b、c、d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段或简称比例线段3比例的有关概念在比例式a：b=c：d中，a、d叫做比例外项；b、c叫做比例内项；d叫做第四比例项若比例中两个比例内项相等时，我们把这一项叫做另外两项的比例中项如a：b=b：c，则b叫做a、c的比例

3、中项4比例的性质(1)比例的基本性质如果a：b=c：d，那么ad=bc比例基本性质的逆命题如果ad=bc，那么a：b=c：d如果a：b=b：c，那么如果，那么a：b=b：c(的逆命题)(2)合比性质如果，那么(3)等比性质如果，那么5黄金分割把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比二、相似三角形1相似三角形定义对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形它们对应边的比叫做相似比2相似三角形的判定定理(1)两角对应相等的两个三角形相似(2)两边对应成比例，且其夹角相等的两个三角形相似(3)

4、三边对应成比例的两个三角形相似(4)一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似(5)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似(想一想，为什么?)(6)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似(想一想，为什么?)3相似三角形的性质定理(1)相似三角形的对应角相等(2)相似三角形的对应边成比例(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(4)相似三角形周长的比等于相似比(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方三、相似多边形1相似多边形的定义对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形相似多边形的对应边

5、的比叫做相似比(或相似系数)2相似多边形的性质(1)相似多边形周长的比等于相似比(2)两个相似多边形对应对角线的比等于相似比(3)相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比(4)相似多边形面积的比等于相似比的平方四、位似图形的有关问题1位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比2位似图形的性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比3位似图形与相似图形的区别位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形【重点难点点拨】本章重点是相似三角形

6、的判定定理和性质定理本章难点是线段成比例问题，位似图形的概念及其性质问题由学习线段的相等转入学习成比例问题，这是由特殊转化为一般的问题，这一认识过程比较抽象要掌握上述重、难点，必须注意以下问题一、有关问题的推理、判断方法1判断线段成比例的方法(1)利用相似三角形的性质定理相似三角形的对应边成比例相似三角形对应中线、对应高与对应角平分线之比等于相似比相似三角形周长之比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方(2)利用相似三角形，依据待证的比例式，找出相应的两个三角形，判断它们相似(3)不能证得比例线段时，应考虑通过第三个比(中间比)作媒介进行判断(4)利用面积关系判断线段成比例(5)用比例定

7、义判断两组线段成比例(6)平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例2判断线段成等积式的方法把等积式化为比例式，找出相应的两个三角形，再判断它们相似3判断线段相等的方法现补充如下方法(借助于比例线段)：(1)若，且a=c(或b=d，或a=b)，则b=d(或a=c，或c=d)(2)若，则a=b(3)若，则4判断角相等的方法除前面所述之外，还可以利用相似三角形对应角相等来判断两角相等5与相似形有关的辅助线的作法在相似三角形里，主要是掌握根据线段的比例式作平行线为辅助线的方法这种平行辅助线不仅可以获得成比例线段而且还可以得到所需的相似三角形二、怎样识别

8、相似图形中的位似图形方法是观察相似图形上任意一对对应点的连线是否都经过同一点(即位似中心)，若经过同一点，这样的相似图形就是位似图形【发散思维导练】全等和相似是平面几何中的两个重要问题，其核心是两个三角形的全等与相似(若是多边形可以分割转化为若干个三角形)全等三角形是相似三角形的特例，全等是一种特殊的相似，它的相似比为1，故研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性相似三角形的研究又是在全等三角形的有关定理的基础上拓展起来的，它奠定了“解直角三角形”和“圆”等有关内容的基础此外，相似三角形的性质还迁移到有关学科，如物理学中的力学、光学等内容平行线与比例线段之间在证题中的相互作用，可促使图形的位

9、置关系和数量关系之间互相转化，这是学好本章的关键研究相似多边形的基础是相似三角形，相似多边形的性质是由相似三角形的性质延拓而来，研究的方法一般是将多边形的问题，经过有限分割，使之转化为三角形的问题，这种将多边形分割转化的思想方法是数学中的一种重要思想方法在等比性质的证明中，还用到代换的思想，它也是数学中常用的方法，起到桥梁的作用，直接传递数量关系寻找相似的一般方法是通过作平行线构造相似三角形(或构造成比例的线段)；或利用特征图形(如公共边角的两个三角形)找相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形；或利用分别等于中间比的两个比相等实现对等比进行转移本章通过变更命题

10、发散，从一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探讨问题的发展变化，使我们发现问题的本质，发散思维，能培养思维的广阔性、灵活性和创造性，这是学习平面几何的重要方法【发散思维应用】1线段的比2黄金分割3形状相同的图形【典型例题】1已知在一张比例尺为1：20000的地图上，量得A与B两地的距离是5cm，求A、B两地的实际距离解： 由题意，设A、B两地的距离为x，则有 1：20000=005：x x=20000×005=1000(m)答：A、B两地的实际距离为1000m2已知a、b、c为ABC的三边，(a-c)：(a+b)：(c-b)=-2：7：1，且a+b+c=24求

11、：(1)a、b、c的值；(2)判断ABC的形状解： (1)由(a-c)：(a+b)：(c-b)=-2：7：1，得,设，则 a=3k，同理可得 b=4k，c=5k， 3k+4k+5k=24， k=2， a=6，b=8，c=10(2) ，即 ，故ABC是直角三角形3如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，连E、F交AC于G求AG：AC的值解法1： 延长FE交CB的延长线于H， 四边形ABCD是平行四边形， ， H=AFE，DAB=HBE又AE=EB， AEFBEH，即AF=BH， ， ，即 ADCH，AGF=CGH，AFG=BHE， AFGCGH AG：GC=AF：CH， AG：GC=

12、1：4， AG：AC=1：5解法2： 如图42，延长EF与CD的延长线交于M，由平行四边形ABCD可知，即ABMC， AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC ， AF：FD=1：2， AE：MD=1：2 AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4， AG：AC=1：5题型发散发散1 选择题 把正确答案的代号填入题中括号内(1)已知四个命题：所有的等腰三角形都相似；所有的等边三角形都相似；所有的直角三角形都相似；所有的等腰直角三角形都相似其中真命题的个数是 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2)如果ad=bc，那么下列比例中错误的是 ( )(A) (B)(C) (D)(3)线段

13、m、n、p的第四比例项是 ( )(A) (B) (C) (D)(4)如果，那么下列等式中正确的式子是 ( )(A) (B)(C) (D)(5)如图43，已知，那么下列比例式成立的是 ( )(A) (B)(C) (D)以上说法都不对(6)如图44所示，在ABC中，DEBC，如果AE：EC=3：2，那么DE：BC等于 ( )(A)3：2 (B)3：5 (C)2：3 (D)2：5解： (1)用淘汰法命题(2)、(4)是真命题，故本题应选(B)(2)用淘汰法排除(A)、(B)、(D)，故本题应选(C).(3)用直接法设m、n、p的第四比例项为x，由题意，得，即 mx=np 故本题应选(B)(4)用验证

14、法本题应选(D)(5)用直接法 ， ，. 故本题应选(C)(6)用直接法 DEBC， DE：BC=AE：AC ，且， ， 故本题应选(B)发散2 填空题(1)已知，则x：y=_.(2)若，则_，_.(3)若(a-b)：(a+b)=3：7，则a：b=_.(4)、的第四比例项是_；、的比例中项是_.(5)直角三角形的两条直角边的长分别为a和b，则它的斜边上的高与斜边的比为_.(6)如图45，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=_.解： (1)由分比定理，得 x：y=1：2(2)由比例性质，得 ；由等比定理，得 ， (3) (a-b)：(a+b)=3：7， 7(a-b)=3(a+b)，4a

15、=10b a：b=5：2，或由合分比定理得， a：b=5：2(4)3；±2(5) 斜边长为， 斜边上的高为. 斜边上的高与斜边的比为(6)取CF的中点G，连接BG B为AC的中点， BG：AF=1：2，且BGAF，又E为BD的中点， F为DG的中点 EF：BG=1：2故EF：AF=1：4， AF：AE=4：3纵横发散发散1 如图4-6，ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，连接DE，若AE：AB=AD：AC，AD=3，DB=5，AC=6，求CE的长分析 根据已知的线段可知AB的长，那么在所给AE：AB=AD：AC中只有AE是未知的，即可先求AE，从而EC可求解： 由AD=3，DB

16、=5，可知 AB=8，又 AE：AB=AD：AC，即 AE：8=3：6，解得 AE=4， CE=AC-AE=6-4=2发散2 已知x：y=2：3，y：z=4：5，x+y-z=5，求：x，y，z分析1 本题可用方程的观点来解，前面两个比例实际上是两个方程，连同后一个方程构成了一个三元一次方程组解法1： x：y=2：3， . y：z=4：5， .代入方程x+y-c=5，得.即 ，y=12 ，分析2 把x：y=2：3，y：z=4：5化成x：y：z的形式，然后用比例系数求解解法2： x：y=2：3=8：12，y：z=4：5=12：15， x：y：z=8：12：15设x=8k，y=12k，z=15k，代

17、入x+y-z=5，得 k=1 x=8，y=12，z=15解法发散发散1 如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长解法1： 过O点作OMCB交AB于M， O是AC中点，OMCB， M是AB的中点，即， OM是ABC的中位线，且OMBC，EFB=EOM，EBF=EMO BEFMOE，即，.解法2： 如图4-8，延长EO与AD交于点G，则可得AOGCOF， AG=FC=b-BF， BFAG，即， .解法3： 延长EO与CD的延长线相交于N，则BEF与CNF的对应边成比例，即解得.发散2 证明三角形

18、内角平分线性质定理已知在ABC中，AD是BAC的平分线求证：分析1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生此题中AD为ABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决证法1： 如图49，过C点作CEAD，交BA的延长线于E在BCE中， DACE， 又 CEAD， 1=3，2=4，且AD平分BAC， 1=2，于是3=4， AC=AE代入式得分析2 由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线证法2： 如图410，过D作D