方以类聚,物以群分

1、方以类聚，物以群分酒令大概也算得中国文化的一大特色。东汉贾逵曾著酒令一书，此后随之而来的此类著作不少。酒令花样繁多，红楼梦里就有多种描述。红楼梦第54回写荣国府元宵开夜宴，贾母与众人行一套叫做“春喜上眉梢”也叫“击鼓传花”的令。那是一种比较简单比较热闹的行令方式。行令的方法是这样进行的，若干人(例如7人)围圆桌而坐，分别用0，1，2，3，4，5，6依次表示客人和他们所在的座位。酒令开始时，由乐师们在旁边背着客人击鼓，坐在0号位的人手持一枝红梅花，按同一方向(例如顺时针方向)依次将梅花传给下一人，鼓声突然停止时花在谁的手里，就罚谁饮酒一杯，并按规定表演节目。下一轮即从罚酒的人出发，继续击鼓传花。

2、如图126，表示7位客人对号入座。如图127，如果花恰好由0转过3个座位到达3时，鼓声停止，即罚3号客饮酒一杯。下一轮即从3开始继续击鼓、传花，设由3出发转过5个座位，因花已转了一圈到达1，所以不是由5而是由1饮酒一杯，如图128。下一轮又从1开始进行。也许，你不曾想到，这个小小的酒令，却蕴含着现代数学中一个极为重要的、极有用的概念，即有限群的概念。什么叫有限群呢？仍以7个人围桌行令为例。个一次击鼓的和，即(2)由于数的加法运算满足结合律：(x+y)+z=x+(y+z)这意味着，G的运算满足结合律。(3)如果在两次击鼓中，有一次（无论是第一次还是第二次）转动了数学家把这些内容抽象出来，就给出了

3、群的概念：设G是一个非空集合，在G中规定了一种二元运算(通常称为“乘法”)，且满足下面4个条件：(1)乘法运算封闭，即若aG，bG，则其积c=abG。(2)乘法满足结合律。即对任意的a，b，cG，都有(ab)c=a(bc)。(3)G中有一个单位元。即有一个eG，对任意的aG，都有ea=ae=a。(4)G中每一个元素都有逆元。即对所有的aG，存在G中一个元素b(记作b=a-1)，使ab=ba=e。这个定义太抽象，不好理解，让我们先看几个具体的例子。例1设G是由1与-1组成的集，二元运算就是普通的乘法运算，则G=1，-1对于运算作成一个群。(1)因为1×1=1，1×(-1)=-

4、1，(-1)×1=-1，(-1)×(-1)=1。G对于乘法运算封闭。(2)有理数的普通乘法当然满足结合律。(3)1是G中的单位元。因为不管用1去乘1或-1，都有1×1=1，1×(-1)=-1。(4)因为1×1=1，(-1)×(-1)=1，所以G的元素1有逆元1，G的元素-1有逆元-1。G对普通乘法运算满足群的四个条件，所以G是一个群。例2令G是全体整数所成的集，二元运算是普通加法。则 (1)因为任何两个整数相加后仍为整数，所以G对加法运算是封闭的。(2)整数的加法满足结合律。 (3)0是G的单位元，因为任何整数a与0相加，结果仍然是a

5、。 (4)G的每一个元素a都有逆元-a，因为a+(-a)=0。所以，整数集对于普通加法满足群的四个条件，所以是一个群。群是现代数学中一个极为重要的概念，它是19世纪法国青年数学家伽罗华(Galois，18111832)在研究五次方程以上代数方程的解法时，于1832年引进的，今天已成为一门艰深的数学分支。群在许多理论科学和技术科学中都有十分重要的应用，如相对论中的洛伦兹群，量子力学中的李群，都是现代科学的常识性的工具。我国古老的儒家经典周易很早就说过“物以群分”的话，真是说得太好了，今天许多数学或科学的对象都是用群来分类的。例如，现代几何学就是以变换群来分类的。江南园林各式各样的漏窗、花窗，各种

6、铺地的瓷砖，它们的格式都可以用群的思想来分类。德国数学家冯·斯派塞尔写过一本叫做有限群论的书，书中收集了不少埃及、巴比伦、希腊、罗马古建筑中的“合群”的图案。可惜它忽略了我国古代园林艺术的成就。有趣的是，周易不仅最早提出了“物以群分”的命题(虽然它所说的群并不是现代数学中群的概念)，而且周易的重要组成部分“易卦”，实实在在地构成一个群，可以说是人类创作的最早的一个群的例子。设G是由“八卦”组成的集合：G=在“语言与运算”一文中，我们曾经给它规定了一个运算：两个卦运算时只将相同位置的爻“运算”，爻性相同的得阳爻“”，爻性相反的得阴爻“-”。即：”ד”=“-”ד-

7、”=“”“”ד-”=“-”ד”=“-”。如果把阳爻“”看作1，阴爻“-”看作-1，这个运算就与1，-1中的普通乘法一样，因此，由例1知，“八卦”之集G构成一个群。同理，对于六爻的易卦，在相应的运算下也是一个群。现在来谈谈瓷砖铺地的问题。我们看怎样用等腰直角三角形瓷砖来覆盖平面。我们规定对等腰直角三角形瓷砖三种操作：将三角形保持不变的操作，记作I(图129a)将三角形绕直角顶反时针旋转90°的操作记作r(图129b)； 将三角形绕其斜边中点旋转180°的操作记为s(图129c)。连续进行两次操作的结果，称为它们的积，如图130，分别表不r·r

8、，es，sr，rs：现在将三个基本操作I，r，s，以及它们的各种形式的乘积，如r3，s2，rs，sr2s，srs3等等作成一个集合G：G=I，r，s，r2，s2，rs，sr定义G中的运算就是连续进行这两种操作。那么G对运算作成一个群。因为(1)运算显然是封闭的。(2)运算也满足结合律。例如，以srs为例：如图131，显然有s(rs)=(sr)s。(3)I是G的单位元。(4)对于G中的任一元素都有逆元。因为由图1知r4=I，s2=I，(rs)4=I等等，任取G中一元例如a=r3s5r，那么在G中另取a-1=r3sr，则由结合律aa-1=(r3s5r)(r3sr)=(r3s5)(rr3)(sr)=(r3s5)(sr)=r3·r=I。所以G是一个群。由图132看出，将r和s联合起来操作，就能延拓到平面的任何地方面铺满地面。上面谈到的群，称为平面对称群，俗称糊墙纸群，它们的标准形状一共只有17种。1891年俄国数学家费道洛夫(Fe-doro