等差数列的性质及其应用

1、西昌学院毕 业 论 文（设 计）（一二届）题 目： 等差数列的性质及其应用 院（系、部）： 彝语言文化学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 吉子么阿佳 学 号 1010010046 指导教师： 阿力非日 南京师范大学泰州学院教务处 制摘要：等差数列是高中数学的一个重要模块，也是高考的必考内容。它同时也是很多同学的盲点，因为在面对具体问题时，好多同学就不知从何下手。为此，本文借助具体实例给出了等差数列的性质及其应用，尤其是高中数学习题中的解题技巧。在解题过程中学生要系统的掌握等差数列的性质并熟练的应用其技巧。关键词：等差数列；性质；应用；技巧Abstract: The Arithmetic

2、progression is not only one of the most important modules of high school math, but also the compulsory entrance examination content. For many students, it is a blind spot, because they dont know how to deal with the specific problems when they are faced with those problems. Therefore, based on the s

3、pecific examples, this passage will show the problem-solving strategies on the nature of Arithmetic progression and its applications, especially problem-solving skills of the high school exercises. In problem-solving process, students have to master the system and the nature of the arithmetic series

4、 skilled application of their skills.Keywords: Arithmetic progression; nature; application; skills目 录1绪论.32等差数列的性质.42.1 等差数列的性质归纳.42.2 等差数列的判定及证明.53等差数列的性质运用技巧.83.1 巧用等差数列的第二通项公式.83.2 设项的技巧.83.3 基本量与性质的应用技巧.93.4 等差中项与前项和公式结合运用技巧.103.5 等差数列前项和公式的运用技巧.104等差数列的例题诠释.135结论.16谢辞.17参考文献.181绪论理解等差数列的概念、掌握等差

5、数列的通项公式与前项和公式并且能运用公式解答问题成为本课题的学习方向。等差数列的性质是等差数列的概念，通项公式，前项和公式的引申。应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视，高考中也一直重点考查这部分内容。既有选择填空、又有解答题。客观题突出“小而巧”主要考察性质、概念的理解，主观题都是“大而全”，着重考查函数方程、等价转换、分类讨论等数学思想方法。本课题详细研究等差数列的性质，通过具体实例解释说明其性质以及如何巧妙的运用性质来解题。数列是高考的重点，属于离散型函数，结合2010年高考和江苏省普通

6、高中课程标准教学要求，浅谈学习数列的几个注意点。1) 二元思想：等差数列最重要的刻画量是首项和公差，因此将等差数列问题转化为首项和公差的问题是一种重要的思想方法；2) 的关系：若已知，巧妙利用可以解决通项公式的问题。反之，也可以表示；3) 函数的思想。数列学习要紧抓在江苏省普通高中课程标准教学要求，做好对数列的基本认识，掌握好数列中各量之间的联系，学会将函数问题转化为数学问题，打好三基，可以有效地解决高考中所出现的数列问题。数列向来是中职教材中代数部分的重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用,一方面,数列作为一种特殊的函数,与函数思想密不可分,另一方面,学习数列也为进一

7、步学习数列的极限等内容做好准备。等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深入和拓广，同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。2 等差数列的性质如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母表示。2.1 等差数列的性质归纳1. 当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0。2. 若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。3. 当时,则有，特别地，当时，则有。注：，4

8、. 若、为等差数列，则，都为等差数列。5. 若是等差数列，则 ，也成等差数列。6. 数列为等差数列，每隔项取出一项()仍为等差数列。7. 设数列是等差数列，为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前项的和(1) 当项数为偶数时，(2) 当项数为奇数时，则（其中是项数为的等差数列的中间项）。8. 的前和分别为、，且，则。9. 等差数列的前项和，前项和，则前项和。10. 求的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和。即当 由可得达到最大值时的值。 （2）“首负”的递增等差数列中，

9、前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值。或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数，故取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若则其对称轴为。2.2 等差数列的判定及证明经常有一类题目，我们必须先判断是何种数列，然后利用此类数列的性质进行解题，其中等差数列是我们最主要的数列之一，因此，我们应该掌握如何判断一个数列是否是等差数列，判断一个数列是否是等差数列，一般有以下五种方法：1. 定义法：（常数）（）是等差数列。2. 递推法：（）是等差数列。3. 性质法：利用性质来判断。4. 通项法：（为常数）是等差数列。5

10、. 求和法：（为常数，为的前项的和）是等差数列。其中4、5两种方法主要应用于选择、填空题中，在解答题中判断一个数列是否是等差数列，一般用1、2、3这三种方法，而方法3还经常与1、2混合运用。下面举例说明如何判断一个数列是等差数列。例1：已知成等差数列，求证：也成等差数列。解法一：成等差数列，又即也成等差数列。解法二：，成等差数列， ，也成等差数列， 即，也是等差数列， 故，也是等差数列。评析：上面的解法一是利用递推法，解法二是利用性质来判断。(1) 解决此类问题常用两个途径：一是回归定义，二是巧用性质。根据条件宜用后者。(2) 证明时不能只用化基本量的方法，还要会对条件作多种变形，化成什么形式

11、, 什么时候用要根据具体题目而定。例2：设数列中，且（），证明数列是等差数列，并求。解：由已知，去分母得，两边同除以，得，是以为首项，以2为公差的等差数列，故（）。经验证时也成立，所以（）。评析：上面的解法是利用定义法。例3：设数列的前项和为，若对于所有的自然数，都有，证明是等差数列。（1994年高考题）解：当时，两式相减： （1） （2）（2）（1）：整理得（），数列是等差数列。评析：此题的解法是利用递推法。3 等差数列的性质运用技巧在解决等差数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。本文对等差数列有关性质的运用技巧作一些介绍，希望能对同学们的学习提供一

12、些帮助。3.1 巧用等差数列的第二通项公式等差数列的通项公式：，第二通项公式： 。例4：已知数列是等差数列, 且有 ，求。分析：此题设首项为，公差为， 根据条件列方程组解出 和，即可求出， 下面利用第二通项公式解决，同学们可以比较一下两种方法的优劣。解： 评注：运用第二通项公式充分利用了已知条件，减少了设置的变量个数，从而达到简化运算的目的。3.2 设项的技巧等差数列中设项时可以用首项和公差来设，但有时解题过程显得过于复杂，在设项时大家可以考虑以下两种设法：（1） 对于连续奇数项的等差数列，可设为，此时公差为；（2） 对于连续偶数项的等差数列，可设为，此时公差为。例5：成等差数列的四个数之和为

13、26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数。分析：如果设四个数分别为，根据条件列方程组解出 和，即可求出四个数，但可以预见解方程组时比较复杂，作为对比，同学们可以自己解下。再来看下面的解题过程，体会这样设项的好处。解：设这四个数为，则 由（1）得，代入（2）得。所以四个数为2, 5, 8, 11 或11, 8, 5, 2。评注：这种设项方法充分考虑了题目中各项和的条件，避免了烦琐的计算过程。3.3 基本量与性质的应用技巧例6：等差数列中, , , 则 等于（ ）分析：利用基本量法, 可以求出 和， 再利用通项公式即可求出(解法一) ， 当然如果能看出4+5=7+2, 利用性质题目将会变得更

14、为简洁(解法二)。解法一：设首项为，公差为，根据等差数列的通项公式，有解得, ，所以，故选C。解法二：利用性质若，则，则， 所以，故选C。评注：遇到几个项的项数和相等时可以考虑这种应用技巧，但要注意等式两边项的个数要相等。3.4 等差中项与前项和公式结合运用技巧等差中项公式的变形“若, 则,” 和等数列前项和公式的有机结合可以具有意想不到的效果。例7：等差数列中, , 那么的值是( )分析：如果设出首项和公差，题目中只有一个条件，不能解出两个变量，所以要结合等差数列的性质解决。解：评注：应用等差中项与前项和公式的有机结合很容易解决了问题, 当然也可以将第3类技巧与等差数列前项和有机结合。3.5

15、 等差数列前项和公式的运用技巧(1) 等差数列前项和公式 整理以后得到( 其中 为不同时为的常数)，是关于的缺少常数项的二次函数，利用这一性质可以得到许多用“基本量法”无法替代的简便方法。(2) 等差数列的任意连续项的和构成的数列仍为等差数列(可以称为连续等差片断)。例8：数列是等差数列，且有，求。分析：用基本量法来解决，则要设出首项和公差，再根据条件求出两个未知量和，最后再用数列前项和公式求出，计算量相对较大。我们可以考虑利用等差数列前项和公式的特点来求解。解法一：因为数列为等差数列，所以可设其中为不同时为0的常数，则有（1）（2）得即。解法二：，因此点在同一直线上，即，所以。评注：解法一充

16、分利用了等差数列前项和公式的特点，融合了函数思想，解法新颖、过程简单；解法二技巧性较强，结合了平面几何三点共线的知识，要求比较高。例9：等差数列的前项的和为30，前项的和为100，求它的前项的和为_。分析：此题我们给出三种方法，大家可以自己体会一下三种解法各自的优缺点。解法一：将，得：解得，所以解法二：设(是不同时为0的常数）。将，得所以。解法三：根据等差数列性质知也成等差数列，从而有，所以。评注：解法一属于“基本量法”，我们看到解题过程过于繁琐，解法二和解法三各有优劣，但相对来说解法三应用了连续等差片断来解题，简单易行。等差数列性质的应用技巧是在“基本量法”熟练基础上总结出来的，技巧有很多，

17、但技巧都要建立在对等差数列基础知识熟练掌握的基础上，当然本文中所列技巧并不是所有的解题技巧，同学们在学习的过程中要注意总结，希望本文能给同学们的学习提供一些帮助。4 等差数列的例题诠释数列知识是中学的重要内容，而等差数列又是数列中最基本、最重要的一类数列。等差数列有许多重要性质，本节拟用一个题目贯穿整个等差数列相关知识。题目：等差数列的前项和为，若，求 （其中是正整数，且）。这道题目可以概括等差数列的几乎所有知识。从不同角度出发来解这道题，可以帮助学生掌握等差数列的性质，并且可以进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。解法一：从首项和公差这两个基本量出发。设数列的首项，公差为，由题目条件可得到

18、可以解得，。解法二：从具有的形式出发。由，可见具有的形式（其中）。故可设，则有，解得.解法三：从等差数列自身性质出发。不妨设，则有.由是等差数列，知，,可以解出.解法四：从的形式出发。由，有，设，则数列是等差数列。设公差为，则=从而。解法五：利用解析几何中直线的知识。由解法二知，是关于的一次式，则在直角坐标系下，三点共线，解得。解法六：由解法一得数列的公差，这里不妨设， 5 结论纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，

19、养老保险，圆钢堆垒等问题。这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度。数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前项和可视为数列的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法。1. 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同。因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性。2. 数列前项和与通项的关系式3.

20、求通项常用方法作新数列法，作等差数列。累差叠加法。最基本形式是：。归纳、猜想法。4. 数列前项和常用求法 重要公式1+2+=+= 等差数列中 裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项： 错项相消法 并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。等差数列的性质是数列基本规律的深刻体现，是解决等差数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用。在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形。“巧用性质、减少运算量”在等差数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果。谢 辞四年的读书生活在这个季节即将画上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又是一次征程的开始。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文