等差数列及应用

1、2014届高三实验班一轮教学案 编写、校对：陈维栋等差数列及应用一、聚焦核心：1若Sn是等差数列an的前n项和，a2a104，则S11的值为_2在等差数列an中，a10，S4S9，则Sn取最大值时，n_.3在等差数列an中，若a1a4a739，a3a6a927，则S9_.4已知数列an，bn满足a11，a22，b12，且任意的正整数i，j，k，l，当ijkl时，都有aibjakbl，则 (aibi)的值是_5设等差数列an的前n项和为Sn，若1a54,2a63，则S6的取值范围是_6设等差数列an的公差为正数，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13_.7已知数列an的前n项

2、和为Sn2n2pn，a711.若akak112，则正整数k的最小值为_二、典例分析：例1设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1；(2)求d的取值范围例2已知Sn是数列an的前n项和，Sn满足关系式2SnSn1n12(n2，n为正整数)，a1.(1)令bn2nan，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式； (2)在(1)的条件下，求Sn的取值范围例3已知数列an满足an2an12n1(nN*，n2)，且a327. (1)求a1，a2的值；(2)记bn(ant)(nN*)，问是否存在一个实数t，使数列bn是等

3、差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由三、课堂反馈1已知Sn为等差数列an的前n项和，若S11，4，则的值为_2数列an是等差数列，若1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n_.3已知数列an，bn都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，且，则_.4已知数列an满足递推关系式an12an2n1(nN*)，且为等差数列，则的值是_5已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x)成立数列an满足anf(2n)(nN*)，且a12.则数列的通项公式an_.6在等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，a2a345，a

4、1a518.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(nN*)，是否存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由7在数列an中，a11，an11，bn，其中nN*.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)设cn()bn，试问数列cn中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由1若Sn是等差数列an的前n项和，a2a104，则S11的值为_解析S1122.2在等差数列an中，a10，S4S9，则Sn取最大值时，n_.解析因为a10，S4S9，所以a5a6a7a8a90，所以a70，所以从而当n6或7时Sn取最大值3在等差

5、数列an中，若a1a4a739，a3a6a927，则S9_.解析a1a4a739，a3a6a927，3a439,3a627，a413，a69.a6a42d9134，d2，a5a4d13211，S99a599.4已知数列an，bn满足a11，a22，b12，且任意的正整数i，j，k，l，当ijkl时，都有aibjakbl，则 (aibi)的值是_解析：由题意得a11，a22，a33，a44，a55；b12，b23，b34，b45，b56.归纳得ann，bnn1；设cnanbn，cnanbnnn12n1，则数列cn是首项为c13，公差为2的等差数列，所以 (aibi)2 012.5设等差数列an的

6、前n项和为Sn，若1a54,2a63，则S6的取值范围是_解析设ana1(n1)d，则由解所以S66a115d15(a14d)9(a15d)12,426设等差数列an的公差为正数，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13_.解析由15a1a2a33a2，得a25.所以又公差d0，所以所以d3.所以a11a12a133a123(a111d)3(233)335105.7已知数列an的前n项和为Sn2n2pn，a711.若akak112，则正整数k的最小值为_解析因为a7S7S62727p2626p26p11，所以p15，Sn2n215n，anSnSn14n17(n2)，当n1时也

7、满足于是由akak18k3012，得k5.又kN*，所以k6，即kmin6.8()设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1；(2)求d的取值范围思路分析第(1)问建立首项a1与公差d的方程组求解；第(2)问建立首项a1与公差d的方程，利用完全平方公式求范围解(1)由题意知S63，a6S6S58，所以解得a17，所以S63，a17.(2)法一：因为S5S6150，所以(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210，故(4a19d)2d28，所以d28.故d的取值范围为d2或d2.法二：把2a9da1

8、10d210看作关于a1的二次方程在R上有解，判别式必大于等于零即可得到d2或d2.【点评】 方程思想在数列中常常用到，如求通项an及Sn时，一般要建立首项a1与公差d(或公比q)的方程组9已知Sn是数列an的前n项和，Sn满足关系式2SnSn1n12(n2，n为正整数)，a1.(1)令bn2nan，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；(2)在(1)的条件下，求Sn的取值范围(1)证明由2SnSn1n12，得2Sn1Snn2，两式相减，得2an1ann，即2n1an12nan1，即bn1bn1，所以bn是公差为1的等差数列又b12a11，所以bnn,2nann，从而annn.(2

9、)解由条件得Snan2n1，所以Sn2(n2)n，又Sn1Sn0，所以数列Sn在nN*单调递增，所以SnS1，又Sn2.故Sn.10已知数列an满足an2an12n1(nN*，n2)，且a327. (1)求a1，a2的值；(2)记bn(ant)(nN*)，问是否存在一个实数t，使数列bn是等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由10. 解(1)由a327，得2a223127，所以a29.又由2a12219，得a12.(2)假设存在实数t，使得数列bn是等差数列，则2bnbn1bn1，即2(ant)(an1t)(an1t)，即4an4an1an1t，所以4an42an2n1t1，所以t

10、1.故存在t1，使得数列bn是等差数列（二）1已知Sn为等差数列an的前n项和，若S11，4，则的值为_解析由等差数列的性质可知S2，S4S2，S6S4成等差数列，由4得3，则S6S45S2，所以S44S2，S69S2，.2数列an是等差数列，若1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n_.解析由题意，可知数列an的前n项和Sn有最大值，所以公差小于零，故a11a10，又因为1，所以a100，a11a10，由等差数列的性质有a11a10a1a200，a10a10a1a190，所以Sn取得最小正值时n19.3已知数列an，bn都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，且，则

11、_.解析.4已知数列an满足递推关系式an12an2n1(nN*)，且为等差数列，则的值是_解析由an12an2n1，可得，则，当的值是1时，数列是公差为的等差数列5已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x)成立数列an满足anf(2n)(nN*)，且a12.则数列的通项公式an_.解析由an1f(2n1)2f(2n)2nf(2)2an2n1，得1，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以n，ann2n.6在等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，a2a345，a1a518.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(nN*)，是否存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由解(1)由题设，知an是等差数列，且公差d0，则由得解得an4n3(nN*)(2)由bn，c0，可令c，得到bn2n.，bn1bn2(n1)2n2(nN*)， bn是公差为2的等差数列即存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列7在数列an中，a11，an11，bn，其中nN*.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)设cn()bn，试问数列cn中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由(1)证明因为bn1bn2(nN*)，且b12，所