弹性力学课件：第三章应变状态

1、第三章应变状态物体变形位移与应变的基本关系几何方程应变状态分析位移的单值连续性质目录§3.1 §3.2 §3.3§3.1变形与应变概念由于外部因素载荷或温度变化位移位移形式刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。§3.1 变形2位移u，v，w是单值连续函数进一步分析位移函数具有连续的三阶导数一点的变形通过微分六面体单元描述微分单元体的变形，分为两部分讨论正应变切应变§3.1 变形3位移分量和应变分量之间的关系ux=xvuxy=+xyvy=ywz=

2、zyzwv=+yzzxuw=+zx几何方程又称柯西方程微分线段伸长正应变大于零微分线段夹角缩小切应变分量大于零§3.1 变形4几何方程位移导数表示的应变应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形原因是没有考虑单元体位置的改变单元体的刚体转动刚性位移可以分解为平动与转动刚性转动，但是不产生变形。§3.1 变形5描述微分单元体的刚性转动转动分量1wvx=(-),2yz1uw1vuy=(-),z=(-)2zx2xyxydx1-xdy+yx20dz1zx21xy21xz2dx1yzdy2dzz位移增量是由两部分组成的du0dv=zdw-y-z0y1zy2x刚体转动变形位移增

3、量位移增量微分单元体的刚性转动与协调相关§3.2主应变与主应变方向变形通过应变描述应变状态。i'j'=nii'njj'ij1xz21112131yz=2122232313233z应变张量x1ij=yx21zx21xy2y1zy2§3.2 主应变2应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。应变主轴切应变为0的方向主应变应变主轴方向的正应变§3.2 主应变3主应变确定11(x-)l+xym+xzn=02211xyl+(y-)m+y

4、zn=02211xzl+yzm+(z-)n=022l，m，n齐次线性方程组为方程系数行列式的值为零x-1yx21zx21xy2y-1zy21xz21yz=02应变状态特征方程展开-J1+J2-J3=032z-§3.2 主应变4应变不变量J1=ii=x+y+z1222J2=xy+yx+zx-(xy+yz+zx)4J3=ij第一，第二和第三应变不变量一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐标变换不影响应变状态是确定的。应变不变量就是应变状态性质的表现§3.2 主应变5应力张量应变张量公式比较应力不变量应变不变量主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性类似各向同性材料，应力主轴和应

5、变主轴是重合的§3.2 主应变6体积应变uvw=+xyz.V*-V=x+y+zV弹性体一点引入体积应变有助于简化公式解释§3.3应变协调方程：几何方程6个应变分量通过3个位移分量描述力学意义变形连续弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束§3.3 应变协调2例3-1设x=3x,y=2y,xy=xy,z=xz=yz=0,求其位移。解：u32 x=x=3xu=2x+f(y)v y=2yyv=y+g(x)2xyvu=+=f'(y)+g'(x)xyxy显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将

6、着手建立这一条件。§3.3 应变协调3要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和x求二阶偏导数，然后相加可得yxyxvu+=(+)=22xyxyxyxy2222将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数前后两式相加并减去中间一式，则§3.3 应变协调4将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数前后两式相加并减去中间一式，则u-+=2xyzyzyzxy2对x求一阶偏导数，则yzxzxyx(-+)=2xxyzyz2分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式§3.3 应变协调

7、5y2xxy+=22xyxy22222应变协调方程圣维南（Saint Venant）方程yyz+=22yzyz222+=22zxxz2xzxyzxy(-+)=2xxyzyzyyzxzxy(-+)=2yxyzxzyzxzxyz(+-)=2zxyzxy22§3.3 应变协调6变形协调方程的数学意义使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。§3.3 应变协调7证明应变协调方程是变

8、形连续的必要和充分条件。变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数。目标如果应变分量满足应变协调方程，则对于，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。利用位移和转动分量的全微分，则uuu11du=dx+dy+dz=xdx+(xy-z)dy+(xz+y)dzxyz22xxxdx=dx+dy+dzxyz轮换x , y, z，可得du，dv和dy，dz§3.3 应变协调8如通过积分，计算出11u=u0+xdx+(xy-z)dy+(xz+y)dz22P0Pv=v0+w=w0+xP0P11(xy+z)dx+ydy+(yz-x)dz2211(xz-y)dx+(yz+x)d

9、y+xdz22xxxdx+dy+dzxyzyxdx+yydy+yzdzP0Px=+y=+z=+0z0yP0PP0P保证单值连续的条件是积分与积分路径无关P0Pzzzdx+dy+dzxyz是单值连续的，则问题可证。§3.3 应变协调9根据格林公式yz1xzxy(-)=-2yzyz1uwvu=-(-)+(-)2yzxzxx1wv=(-)=2xyzxx1xzxy=(-)x2yzx1yzy=-y2yzxz1yz=-zy2z回代1=(xy-z)yx2x1=(xz+y)yx211(xz+y)=(xy-z)y2z2y1=(yz-x)zy2y1=(xy+z)xy211(xy+z)=(yz-x)z2x

10、2z1=(xz-y)xz2z1=(yz+x)yz211(yz+x)=(xz-y)x2y2§3.3 应变协调10回代到第四式x=+0xP0P1xzxy1yzyz1yz(-)dx+(-)dy+(-)dz2yz2yzy2zx单值连续的必要与充分条件是1xzxy1yzy(-)=(-)2yyzx2yzz1yz1yzy(-)=(-)yy2zz2yzz+=22yzyz22y2yz2yyzxyzxy(-+)=2yxyzxz同理讨论y，z的单值连续条件，可得其它4式变形协调方程。由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条件。§3.3 应变协调11变形协调方程单连通域位移单值连续的必要和充分条件充分条件是位移的连续补充条件§3.3 应变协调12位移边界条件应变满足变形协调方程，保证弹性体内部的变形单值连续。边界变形协调要求边界位移满足位移边界条件。位移边界条件临近表面的位移或和变形与已知边界位移或变形相等。§3.3 应变协调13如果物体表面的位移已知，称为位移边界位移边界用Su表示。如果物体表面的位移u,v,w,已知w=w边界条件为u=uv=v称为位移边界条件§3.3 应变协调14设物体表面为S位移已知边界Su则SSuSs面力已知边界Ss弹性体的整个边界，是由面力边界和