城市空间结构理论_单中心城市静态模型

1、1006 3862( 2006)04 - 0121 06海外视点ttban Spatial Theory tatic Monocentric Model美国丁成日/DING Chenri(马里兰大学城市规划系.美国)121 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/A1006 3862( 2006)04 - 0121 06海外视点# 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. Al

2、l rights reserved. http:/A1006 3862( 2006)04 - 0121 06海外视点首先介绍了在西方城市经济理 论中被广泛接受的单中心城市空间结 构静态模型。然后利用比较静态分 析方法（conparatiw static analysis）分 析区位、居民收入及交通费用（区位, 居民收入及交通费用为模型的外生变 重（exogenous variable）对价格和房星 消费董（价格和房屋消费重为模型的 内生变量（eiwbgenous variable）的影 响。最后.理论模型通过引进一般住 房生产函数推导出土地价格及资本 密度（即建筑高度）的空间变化规律。 通过对

3、城市经济模型进一步分析（对 极值条件或解的微分解析分析）得出 地价（地租），资本密度（或称容积 率）人口密度的空间分布规律这些 规律对城市规划，城市政策.引进市 场原则和价格机制来提高城市土地利 用效率都有理论指导意义。城市空间结构；单一城市中 心：比较静态分析方法Abstract This paper first intioduces nnncx:ertric urban econonic models that illustrate urban spatial structure The analysis is based on utility ooncepI utility nnxini

4、zation and spatial equilibrium. Cbnparative static analysis is conducted to investigate the inpacts of exogenous variables such as location. income . and tranortation costs on housing prices and Inning enniinptiin. Rmilly, the paper intioduces housing production function to analysis urban dexelopnie

5、nt process h is revealed tlut, Ivusing prices, land rent (land prices) coital density. and population densiiy all decrease uiih ihe distance to the CBD These conclusions have piutound inpacts on urban planning and urban policy. They are al very helpful to guide policy reform particulariy in Chinese

6、transitional economy. in which market principles are being established to allocate resources and inpiove market efficiency.Keywords Urban spatial structure : M)noccn(ric; Cbmparalive static analysis 【中图分类号】F29I【文献标识码】A如何有效地合理布置空间活 动一直是从事地理、区域科学、 城市及区域规划等学科学者重要 研究课题之一。I960年代以来, 城市经济理论取得了巨大的突 破。这些理论不仅

7、使城市经济学 日趋成孰，奠定了其在宏大的经 济学体系中占有一席之地，被主 流经济学家承认。更为重要的 是城市经济理论成功地解释了 城市空间结构及空间形态解释 了城市区位对城市土地利用强度 的影响为城市规划提供了理论 依据。I960年代以来的城市经济 理论突破主要以Alonso . Mills. Mulh为代表，后来经Bruckner . Fujita , WlKaton等人的发展而变 得更加完善。经过这些人的不懈 努力城市经济学理论体系已经 形成其理论框架分析方法.逻 辑思维方式等外延到城市政策领 域的研究（Ding , Knaap , and Fbpkins 1999; Ding 1996;

8、 Knaap . Ding, and H）pkins 2001） 02杜能的农业区位理论很好地 解释了农业活动的空间分布规 律。根据杜能的农业区位理论. 土地地租不仅取决于区位，同时 也受土地可获益能力 （Pmfitability）的影响。对农业活 动而言.土地可获益能力取决于 土地的自然属性。土地级差地租 的存在是由于不同区位的市场可 达性不同。根据杜能的农业区位 理论所依托的假设市场可达性 取决于区位的交通成本。然而. 杜能的的农业区位理论及农业地 租理论不能引用到城市中来。这 是因为：（1）杜能的农业区位理论 是建立在生产者生产理论（微观 经济学中的Production Theory）上

9、。 也就是说，生产者通过对生产的# 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/A1006 3862( 2006)04 - 0121 06海外视点城市发展研究 13 卷 2006 年 4 期 Urhan Studies Vol. 13 No.4 2006# 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/A1006 3862( 200

10、6)04 - 0121 06海外视点# 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/A1006 3862( 2006)04 - 0121 06海外视点# 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/A丁成日：城市空间结构理论一 一城市中心的静态模型海外视点城市发展研究 13 卷 2006 年 4 期 Urhan Studies V

11、ol. 13 No. 4 2006# 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. AH rights reserved. htlp:/丁成日：城市空间结构理论一 一城市中心的静态模型海外视点最优组织来达到追求利润最大化这一目标。在西 方居民用地占总城市土地的70 %或更高。居民用 地是城市土地最主要的成份。显然，居民用地不能 用生产理论来解释。同时，任何不能解释居民用地 的空间分布规律的理论对城市规划，城市政策的制 定没有任何实际意义；(2)根据杜能理论，土地可获 益能力对土地级差地租的形成起很大作用。在土地 获益

12、能力高的区位上.农业活动的产量高，进而地 租也高(Richard的残差地租理论)o然而.在城市 里土地的自然属性对城市活动的影响几乎可以忽 略不记。土地的自然属性能够对城市发展起作用也 许会体现在它是影响城市土地发展成本(Urban Land Dcvclopnient Cbsts)中的一个因子。除非极个别的1# 况下，现有的技术条件下城市土地发展成本大体上 空间不变。对城市居民而言，土地可获益能力意义 不大。为了更好地规划城市发展提高土地利用效 率我们需要理论来解释城市空间分布规律，了解 城市土地地租(土地价格)与城市发展，土地利用等 的关系。Brueckner(1987)的城市经济理论模型及

13、应用。在模型中，假定城市的商业中心(CBD)座落于 一个均质平原的几何中心。所有就业机会都集中在 它的CBD而城市居民住在CBD的外围他们通勤 到CBDo假定交通是均质分布.城市居民从居住地 到CBD的总交通费用就只决定于距离(x) o进一步 假定所有城市居民具有相同的收入、消费倾向和效 用函数。为简化分析，城市居民的效用函数(Utility) 有两个要素：即住房消费(q)和其它所有消费(O。 将其它所有消费组合成一个要素使下面的分析简化 而不影响我们要分析的现象。这是因为住房消费是 研究城市居住用地的关犍。效用函数用v(c, q)来 表示。城市居民通过选择最优的消费组合(q , O来 使他们

14、的满意度(Ulilily Level)达到最大值(效用函 数最优化)。城市居民的满意度随着住房消费和其 它消费的増加而提高。一定的可支配收入限制了城 市居民的住房和其它消费的无限提高。为保证最优 解的存在效用函数可二次求导且是凹函数(见微 观经济学的消费者理论，城市经济学能被主流经济 学家承认的原因之一是城市经济理论是从微观经济 学理论发展和演变而来)。(u是城市居民满意水平是外生变量)(1) 这个优化问题有一个限制条件一算约束 (Budget Constraint):城市居民总的住房消费和其它 所有消费等于居民总的收入。定量上设城市居民 居住地离CBD的距离为x .居民的可支配收入为y ,t

15、 为单位距离的交通通勤成本(Conmiuting Costs)代 表总的交通费用,p代表单位住房价格.pq是总的住 房消费。假定其它消费品的价格为1 .预算约束表 示为：y = c + tx + pq(2)从(2)中解出c然后将其代入(1) 得：max v (y tx pq .q) = u(3)空间均衡条件要求u是空间不变的。也就是说城 市居民无论住在哪里他们有同样的满意度。如果 不是这样的话城市居民将可以通过移民到其它区 位来提高满意度进而影响该区位住房的供需平衡. 降低住房价格最终达到满意度空间无差异这一状 态。(3)式的优化问题简化成对q的求极值。(3)式 极值的必要条件是：刁Z y 八

16、 iw )刀 BpqBq*孙(yPq 4 = o从(4)式得出：-=P (下标表示偏微分)(5)V1图1解释了(2)式和(3)式的解。当满意水平 (u) 定时，先画无差异曲线(Indiffcwnl Curve)。c 轴的截距是ytxo从c轴的截距划预算约束方程. 使其与无差异曲线正切(tangent)。预算约束方程的 斜率为p o切点代表最优的住房消费量。图1也说 明了不同满意水平和预算约束条件对最优的住房消 费量的影响(更详细的分析在后面)0下面用比较静态分析方法(G)nparative Static Analysis)对模型进行分析。在这个极值问题上外 生变量为：x, y, I,而内生变量

17、是p，q。比较静态 分析将揭示外生变量如何影响内生变量。或者说, 内生变量如何随外生变量的变化而变化。城市区位(x):以x为参变量对(3)进行全微分得：-刃卜建+周+建将公式（4）代入公式（6）得:(7)公式（7）表明随着距城市中心区（CBD）距离的增加.跑离这一规律可从图1得到证实。假设我们从区位X0移至XI （距CBD距离的增加） C轴的截距将下降使预算约束线顺逆时针沿无差异曲线旋转（保持二 线相切）新的相切点表明房屋价格下降（预算约束 直线的斜率下降（绝对值），住房消费量上升（5至 q/）。这表明随距离的増加，人均消费量将上升。 因为满意水平是恒定的，住房消费量的上升与价格 下降间存在替

18、代效应。理论上我们有：dx = dp dx式（8）中，vO,表明在满青水平不变下需求曲线 的斜率（或者=甯）0这些结论在感性认识上也 成立。住在离城市中心远的居民要花更多的钱在交 通通勤方面。为了保持空间均衡（城市居民不论住 在哪里，他们都有同等水平的满意度）住在离城 市中心远的居民必须有低的房屋价格来补偿高的交 通通勤费用。居民收入（y）:对（2）求y的全微分得：Vi dy - gp = o 或者d 1 nV- = 0 y q从（9）式我们可得到：cig ci Ad刁3v =(10)（）p （iyciy y0）o预算约束直线将顺时针方向沿 无差异曲线旋转（保持二线相切），新的相切点表明 房屋

19、价格上升（预算约束直线的斜率上升（绝对 值）住房消费量下降（5至中）。3城市交通费用：同理对（2）求I的全微分得： XV, ch qvx dp = 0 或者严=亍 0（12）d/ dp d/d/式（和（12）我们得出如下结论：房屋价格下降随 交通通勤费用的増加而下降住房消费量随收入的 増加而上升（图2） o交通通勤费用的増加使c轴的 截距下移（从ySx移至y- tix, ti t0） o预算约束 城市发展研究 13 卷 2006 年 4 期 Urhan Studies Vol. 13 No. 4 2006125 1994-2009 China Academic Journal Electron

20、ic Publishing House. AH rights reserved. htlp:/丁成日：城市空间结构理论一 一城市中心的静态模型海外视点直线将逆时针方向沿无差异曲线旋转(保持二线相 切)新的相切点表明房屋价格下降(预算约束线的 斜率上升(绝对值)住房消费量上升(屮至中)。下面来研究房屋价格空间递减规律的特性。对 (7)求二次偏微分得：式(13)说明房屋价格空间递减是一凹函数。图4说 明了这一特性。33-1城市土地价格及其空间变化规律假设房地产商开发土地使非城市用地转变成城 市用地。房地产开发商的目标是获取最大利润。利 润决定于收入和成本。收入等于单位住房价格乘上 总建筑面积。假设

21、房地产开发商的经济活动用住房 生产函数H (N. L)来度量.其中H为建筑面积 川(建筑面积衡量房地产开发商的产出 (OUTPUT) ,N为资本投入，L为土地投入。这样， 房地产开发成本有两项：土地成本和资本成本(劳 动力，建筑材料，管理等等都可打入资本成本)0 从投资的角度来看，资本成本等于银行利息乘以总 资金。土地成本等于地租乘以总土地投入。按照 Brueckner (1986)的理论模型该住房生产函数有如 下特性：(1) 土地与资本间的完全可替代性。因为 同样的住房产出可以通过不同比例的土地投入和资 本投入来实现，所以认为土地和资本是可以替代 的；(2)规模经济不变。规模经济不变的特性说

22、明 如果资本投入和土地投入都成倍增长，则住房产出 量也会同倍数増长；(3) Hn(N 9L)0, Hl(N ,L) 0说明资本投入和土地投入的边际产出率均为正; 生产函数是凹函数且可二次求导(0) 这 个条件保证最大利润的存在。房地产开发商的目标函数表示为：J = pH(N 上) iL iN(14)其中，J为利润：P为单位面积的住房价格：r为单 位面积的土地价格：，为利息率(利息率不随住房 位置变化而变化):PH(N.L)为住房生产的总收入; 庖为土地成本：iN为资本成本：房地产开发商通 过最优的N和厶来使/达到最大值。最优的N和厶 选择取决干土地和资本的价格。上述模型说明.土 地和资本的价格

23、是外生变量(endogenous variables), 而土地和资本的投入是内生变量(exogenous variables)。内生变量决定于外生变量，而不是外生 变量决定于内生变量。既然住房生产函数具有规模经济不变的特性. 式Q4可以转化为：J =L(pH(NiN/L)= L(pHN/L ,1 ) r iN仏)(15)如果用S表示资本密度(N/L) 位土地面积的 资本投入(在本文中，资本密度，容积率，建筑高度 这三个概念在土地投入及技术一定的前提下.可 相互替换)。公式(15)可以表示为：J = L(ph(S)- iS)(16)其中,M5)三H(S,1)表示单位面积土地投入的住 房面积产出

24、，函数h满足(.9)三弘($,1) 为 了达到利润最大化，式(16)可以转化为求单位土地 投入时的极值问题。这样，问题就变为求最优的资 本密度S,使得利润(丿)最大。求式(16)极值的条件(必要条件)是：ph(5) = i(17)在完全竞争的市场条件下，利润为0,这样式 (16)转化为：ph(S) iS = r(18)所以，资本密度(S)函数可以表示如下：S = S ( p ,/,/, r)(19)方程(19)说明资本密度(资本土地比率容积率) 由住房价格(不同位置价格不同)住房生产函数(不 同技术条件生产函数不同)，利息率(与国家宏观 经济政策相关)以及土地价格等共同决定；以x为参变量对公式

25、(17)和(18)全微分运算, 得：hs办(Ph -门竽十逡=牛dx ox ox由以上两式可以得到：亚 丄如-na.v = - Ph a.v v (如前所述兰vOM 0) = (ph i)竽 + h 晋=h 晋 N2/L： o也就是说，当土地价格上升 时，资本替代土地，提高资本密度(容积率)05由于守=h寮我们可以推出：d/7 Ox _ Il (iprr cixph力e/刀x=r ppH亦/办 fL p iN + iL p!八p(24)刀 Ox从公式(24)推导出玄二巴严卄+ 11。上P式的右边是弹性系数。弹性系数大于1,说明住房 价格每下降1个百分点，土地价格下降的百分点大 于1 0就是说，

26、随着城市中心距离x的増加，土地价 格比住房价格下降的更快。由此得出土地价格与住 房价格的比例随着城市中心距离X的增加而下降0 同理，因土地价格随着城市中心距离X的増加而下 降。可以说，土地价格与住房价格的比例随着土地 价格的下降而下降，随土地价格的上升而上升。将式(22)代入方程(23)可得：r = p h(S)- S p *h (S) (25) 以S为参变量对式(25)微分得# = p h (S) p h(5)- S p h (5)=S p h ( S)(26)该式表明只有当h (S)为常数时，r和S之间才是 线性关系，但是前面已经假设h (S) 0和h (S) vO 所以和S之间不可能是线

27、性关系。即土地价 格和建筑容积率之间存在非线性的关系得到证明。上述分析公式(14)(26)得出如下结论：(1) 土地与资本间的可替代性是达到土地市场 效益的前提条件之一；城市发展研究 13 卷 2006 年 4 期 Urban Studies Vol. 13 No. 4 2006(2) 地价影响容积率，而不是容积率决定地价 地价上升将提高容积率。开发商通过选择土地和资 本最佳投入水平来获取最大利润。他们的决策变量 是土地和资本最佳投入.当他们决定土地和资本投 入时，他们也就决定了容积率(容积率是资本投入 与土地投入之比，或是资本投入与土地投入之比的 函数)。土地和资本投入量取决于它们的相对价格

28、。 在其它因子不变的假设下，当地价上升时，资本变 得相对便宜开发商为获取最大利润，将増加资本 使用量，减少土地使用量结果提髙了容积率；(3) 地价与容积率呈非线性关系；(4) 当地价上升时地价与房价间的比率也跟 着上升。因地价与容积率成正比，地价与房价间的 比率与容积率成正比。下面来研究城市人口密度空间分布规律。根据 定义，人口密度D =人口 / 土地面积=P/L (27) 对(27)进行如下数学处理得： = L =,L)/P = qUS)上式中，分子表示单位面积土地投入的住房面积产 出(或单位面积的建筑面积)即h(S):分母表示单 位人口的住房面积产出(或单位人口的住房消费) 即q。对D求x

29、的导数，我们得到弋= ah石/叫蚀/办vo。因为中o和竽V0。不qoxdx等式弋vO说明人口密度在空间递减。直觉上建 筑高度在空间递减.必然使人口密度在空间相应递 减。4本文通过建立城市经济理论模型，证明了 ：( 1) 房屋价格，土地价格资本密度(容积率)人口密 度都在空问上递减；(2)房屋价格随居民收入的增加 而上涨，随交通成本的降低而上涨：(3)地价影响 容积率.而不是容积率决定地价.地价上升将提高 容积率。这一规律源于土地与资本间的可替代性和 追求最大利益为驱动的市场原则。土地与资本间的 可替代性是达到土地市场效益的前提条件之一 ；(4) 地价与容积率呈非线性关系；(5)当地价上升时，

30、地价与房价间的比率也跟着上升。因为地价与容积 率成正比地价与房价间的比率与容积率也成正比0 这些理论结论对城市规划，城市政策，引进市场原 则和价格机制来提高城市土地利用效率等都有深远的影响。1 Ahffiso. W. . 1964 . Litciiium and Land Use. Cainhridffc : Hanan! Unixrrsity Press.I 2 Banner.几 1987 , The Stntcluir r/ Utinin Equilibria : A Unif ied Treatfftrnt (f The Midir Mills Model . Handhrnk tf R

31、egional and Urban9 Vdunw 11 Edited by S、Mills , tkcicr Science Publisher R 匕3 Brueckner K. , 1986 A Model Analysis 4he Inject if Site Value Tiixmimi Natural 7(ix J(mnuJ 39: 49 - 58.4.4 J Brueckner J K.、1997. /mstnteturr financing and utbar, dnr/rjpwirn/ ； Hitif hn/Ku t Aiw Jtntnial if PiiHicHtmmncs , 99.383 - 407.5 Mills , E. S 9 1972, Uiixui 血切3”沁 Bclmim . Illinois ； Scutl Fomman.6 Mulh R. F. . 1969. Cities and Htnisiftg , Chicago: Unhmity r/ Chicago Pnfxs.7 Ft(ji!a M a