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1、河南科技大学工科线性代数综合测试（二）试卷及答案一填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 14阶行列式_ 应填： 2已知向量组 ，则该向量组的秩是_ 应填： 3已知线性方程组无解，则_ 应填： 4设是阶矩阵，是的伴随矩阵，是阶单位矩阵若有特征值，则必有特征值是_ 应填： 5设矩阵， ，其中都是4维列向量，且已知行列式，则行列式 _ 应填：二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1设是一阶矩阵，是的伴随矩阵，又是常数，且，则必有【 】 . ； . ； . ；

2、. 应选： 2设是4阶矩阵，且的行列式，则中【 】 . 必有一列元素全为0； . 必有两列元素成比例； . 必有一列向量是其余列向量的线性组合； . 任意列向量是其余列向量的线性组合 应选： 3已知 ，为3阶非零矩阵，且满足，则【 】 . 时，的秩必为1； . 时，的秩必为2； . 时，的秩必为2； . 时，的秩必为1 应选： 4阶矩阵具有个不同特征值是与对角阵相似的【 】 . 充分必要条件； . 充分而非必要条件； . 必要而非充分条件； . 既非充分也非必要条件 应选： 5已知向量组线性无关，则向量组【 】 . 向量组线性无关； . 向量组线性无关； . 向量组线性无关； . 向量组线性无

3、关 应选：三（本题满分10分） 已知 ，且，其中是3阶单位矩阵，求矩阵 解： 由，得，而且因此矩阵可逆，且 ，所以，由，得，因此， 四（本题满分10分） 问为何值时，线性方程组有解，并求出解的一般形式 解： 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵： （第1行乘以、后分别加到第2、3行） （第2行乘以后加到第3行）所以，原线性方程组的系数矩阵的秩为当时，其增广矩阵的秩为，因此此时原线性方程组无解 当时，故线性方程组有解此时，上面的阶梯矩阵为因此，原线性方程组的通解为其中是任意实数 写成基础解系的形式，有 ，其中是任意实数五（本题满分10分） 设4阶矩阵 ， 求的逆矩阵 解： 记矩阵，则矩阵这

4、是一个分块对角矩阵，因此，而 ， ，所以， 六（本题满分15分） 已知，其中 ，求及 解： 先求出 因为，两端右乘，得 同样， 七（本题满分15分） 已知向量组 （） ； （） ； （） 如果各向量组的秩分别为，证明：向量组（） 的秩为4 解： 因为，所以向量组线性无关，而线性相关，所以，存在数，使得 （*）设有数，使得将（*）式代入上式并化简，得由于，所以向量组线性无关因此，由上式，得 ，解此方程组，得 ，因此，向量组线性无关，即此向量组的秩为4八（本题满分10分） 已知是矩阵的一个特征向量 . 试确定参数、及特征向量所对应的特征值； . 问是否相似于对角阵？说明理由 解： . 由于是矩阵的一个特征向量，所以有成立

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