大学线性代数必过复习资料

1、复习重点：第一部分行列式1. 排列的逆序数（P.5例4; R26第2、4题）2. 行列式按行（列）展开法则（P.21例13； P28第9题）3. 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；R78第5题）3. 伴随阵的性质（P.41例9; P56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116）4. 矩阵的秩的性质（P.69至71; P100例13、14、15）第三部分线性方程组1. 线性方程组的解的判定（P71定理3; P.77定理4、5、6、7）,带参数的方程组的解的 判定（P.75 例

2、13 ; P80 第 16、17、18 题）2. 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）3. 非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分 向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）1向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩第五部分 方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10; P.135第7至13题）3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23题）要注意的知识点：线性代数1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有 n!项，可分解为2n行列式；2. 代数余

3、子式的性质： 、Aj和a的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为o ； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ;3. 代数余子式和余子式的关系：Mij=（-1）AjAj= （-1）i4jMij4. 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积；n( n 丄) 、畐y对角行列式：畐y对角元素的乘积(_1)F; 、上、下三角行列式(、，二i ):主对角元素的乘积;n( n D 、匚和丄：副对角元素的乘积(_1);、拉普拉斯展开式:OBAOCBCBOBC= (_1)m- A B、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;特征值5. 证明A =0的方法：

4、、A - _ A ; 、反证法； 、构造齐次方程组 Ax二0,证明其有非零解； 、利用秩，证明r(A) : n ; 、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：A -0 (是非奇异矩阵)；：=r(A) =n (是满秩矩阵)二A的行(列)向量组线性无关；二齐次方程组Ax = 0有非零解；二Rn, Ax二b总有唯一解；=A与E等价；二A可表示成若干个初等矩阵的乘积；二A的特征值全不为 0;二AT A是正定矩阵；= A的行(列)向量组是 Rn的一组基；二A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n阶矩阵A : AA*二A* A = AE无条件恒成立；3. (A 丄)* =( A*)丄(A 于=

5、(AT 厂(A *)T =( AT )*(AB )T =BtAt(AB)二 B A(AB) = B A4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A、B可逆：fA、若 A=A2 +.，则：<As JI、A=A|A2a ;1H、A2、A00BA0AC0 L抵丄B丿0A 二 00 A 一甘A丄0OB匕-1 、B_O J_A°CB -B -3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：mn等价类：所有与 A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最

6、简单的矩阵；对于同型矩阵 A、B，若r(A) =r(B) = A jB ；2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)r 若(A , E)(E , X)，则 A可逆，且 X =A-；c 、对矩阵(A, B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成AB，即：(A,B) (E,AB)；r 、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果(A, b)二(E, x)，则A可逆， 且x =Ab ；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换

7、，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等 列矩阵；，左乘矩阵A，入乘A的各行元素；右乘， 入乘A的各列元素;C 1、C 1、对调两行或两列，符号E (i, j),且E(i, j) 1 = E (i, j),例如：1=1 ;J1.丿< 1丿、倍如：乘某行或某列，符号E (i (k),且1E (i (k )宀E (咗)，例行或某列，符号E (ij(k),且1E (ij(k)- = E (ij (一k),-k i(kH 0)；15. 矩阵秩的基本性质： 、0 _r( Am n) " min( m, n)； 、r(At) =r(A)； 、若 A : B，贝U r (A)二 r (B

8、)； 、若P、Q可逆，则r (A)=：r(PA) = r(AQ) =：r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩) 、max( r (A), r (B) < r (A, B )< r (A) r (B);(探) 、r (A B )< r (A) r (B);(探) 、r (AB 门 mi n( r (A), r (B);(探) 、如果A是m n矩阵，B是n s矩阵，且AB = 0U：(探)I、B的列向量全部是齐次方程组AX =0解(转置运算后的结论)；n、 r (A) r (B) < n 、若 A、B均为n阶方阵，则r(AB) _r(A) r(B)-n ;6. 二种特殊矩阵

9、的方幕： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式，再采用结合律；M a c 、型如0 1 b的矩阵：利用二项展开式I0 0 b 、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：nr (A) = n 、伴随矩阵的秩：r (A*)二1r (A) = n1 ;0r (A) : n -1 、伴随矩阵的特征值：(AX二X , A二A A丄 A*X );/u/u 、A = a A丄、A = An亠关于A矩阵秩的描述:9.10.11.、r (A) = n ,A中有n阶子式不为0，n i阶子式全部为0;（两句话）A中有n阶子式全部为0；A中有n阶子式不为0；线性方程组：Ax =b，其中A为

10、m n矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax =b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程;线性方程组 Ax =b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；由n个未知数m个方程的方程组构成 n元线性方程：Ianxi -ai2x2 亠'-ain xn =ba2i Xi V22 X2 川川 a 2nXn =6.、am i X i " am 2 X 2' anm x n bn'aiia2iai2a22aina 2nAx-b（向量方程，A为men矩阵

11、，m个方程，namiam 2amn未知数）、ai_ :（全部按列分块，其中 ：=、g丿a丿aiXi a2x2香卜anXn -（线性表出）有解的充要条件：r （A） =r（A, I冷込n （ n为未知数的个数或维数）向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A : W2,，:m构成n m矩阵A=（、，工,，m）；m个n维行向量所组成的向量组B :7 , -2，：m构成m n矩阵B =賓PJ2.3.4.含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；=Ax =0有、无非零解；（齐次线性方程组）=Ax二b是否有解；（线性方程组）=AX =B是否有解；（矩阵方程）Ax = 0和Bx二0同解; 、向量

12、组的线性相关、无关 、向量的线性表出 、向量组的相互线性表示矩阵Am n与Bi .行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组(Pioi 例 14)r(AT A) =r(A) ; ( Pioi 例 15)5.n维向量线性相关的几何意义:、:-线性相关:-=0 ；、：4:-线性相关:坐标成比例或共线(平行)；、二賦线性相关:-,'-,共面；6.线性相关与无关的两套定理：若:i,2,，s线性相关，则1，2'1必线性相关;若1，2,，s线性无关，则 二，2,，s丄必线性无关；(向量的个数加加减减，二者为 对偶)若r维向量组A的每个向量上添上n _r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关

13、，则 B也线性无关；反之若 B线性相关，则 A也线性相关；(向量组的 维数加加减减)简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s)线性表示，且 A线性无关，则rs ；向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)乞r(B)；向量组A能由向量组B线性表示=AX =B有解；=r (A) = r (A, B)向量组A能由向量组 B等价=r (A)=r(B) = r (A, B)8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵 R, P2,，Pi，使A =Pf2Pi ；r 、矩阵行等价：A B：=PA=B (左乘，P可逆)Ax=O与Bx= 0同解c 、矩阵列等价：A B

14、u AQ=B (右乘，Q可逆)； 、矩阵等价： ABu PAQ =B ( P、Q可逆)；9. 对于矩阵Am n与Bl n : 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则 Ax二0与Bx二0同解，且 A与B的任何对应的列向量组具有 相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩；10. 若 Am>$Bs>n =Cm>«， 则： 、C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，At为系数矩阵；(转置)11. 齐次方程组Bx二0的解一定是 ABx二0的解，考试中可以直接作为定

15、理使用，而无需证明； 、ABx= 0只有零解 =Bx= 0只有零解； 、Bx =0 有非零解=ABx = 0 一定存在非零解；12. 设向量组Bnr：b, b2,，br可由向量组 An s: d, a?,线性表示为：(bi,d, ,br) =(ai,a2,a$)K ( B =AK)其中K为s r，且A线性无关，则 B组线性无关r(K)= r ； ( B与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性：r =r(B) = r (AK) < r (K), r (K )< r,. r (K) =r ;充分性：反证法)注：当r =s时，K为方阵，可当作定理使用；13. 、对矩阵 Am n，存在Q

16、n m，AQ二Emr(A)= m、Q的列向量线性无关；14.、对矩阵Am n，存在Pn m，PA二En = r（ A） = n、P的行向量线性无关；:1 ,2,，： s线性相关存在一组不全为0的数ki, k 2 - , ks,使得kii k2：2香卜ks：s= 0成立；（定义）X2（，:s ）=o有非零解，即 Ax二0有非零解;占丿r（i，2,，:s） <s，系数矩阵的秩小于未知数的个数;15.设m n的矩阵A的秩为r ,则n元齐次线性方程组Ax = 0的解集S的秩为： r（S）二n -r ；16.若*为Ax二b的一个解，i,2，“为Ax =0的一个基础解系，则*,1,；_r线性无关；5、相似矩阵1. 正交矩阵二ATA二E或A丄二AT （定义），性质：ii= j 、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTaj（i, j