2015年高考山东理科数学试题与答案解析

1、WORD格式2021 年普通高等学校招生全国统一考试*卷数学理科第一卷共 50 分一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 1【2021 年*，理 1】集合 x | x2 4 x 3 0 ，B x |2 x 4，那么 A B （ A 1,3 B 1,4 C 2,3 D 2,4 2【2021 年*，理2】假设复数z满足zi ，其中i是虚数单位，那么z1 iA1i B 1i C 1i D 1 i 3【2021 年*，理3】要得到函数ysin(4x) 的图象，只需将函数ysin 4x的图像3 A向左平移个单位 B 向右平移个单位 C向左平

2、移3个单位 D向右平移个单位12123 4【2021 年*，理4】菱形 ABCD 的边长为a，ABC60，那么 """"·""""= A3 a2B3 a2 C3a2 D 3a22442 5【2021 年*，理5】不等式| x 1| x5 |2的解集是A(,4) B ( ,1) C (1,4)D (1,5)xy0 6【2021 年*，理6】x, y满足约束条件xy2 假设zaxy 的最大值为4，那么ay0A3B2C -2D-3 7【2021 年*，理7】在梯形ABCD中，ABC，AD/BC，BC2AD2AB

3、 2将梯形 ABCD2绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A2B4C5D2333N (0,32 ) ，从中随机取一件， 8【2021 年*，理8】某批零件的长度误差单位：毫米服从正态分布其长度误差落在区间 3,6内的概率为附：假设随机变量服从正态分布 N( , 2)，那么P()6 8. 2 6，%P(22) 95.44%（ A4.56%B 13.59%C27.18% D31.74% 9【2021 年*，理9】一条光线从点( 2,3) 射出，经 y 轴反射与圆( x 3)2( y 2)21相切，那么反射光线所在的直线的斜率为 A53325或443或 B或 C4 D或35

4、23534 10【2021 年*，理10】设函数 f ( x)3x1,x1,那么满足 f ( f (a)2 f ( a )的取值X围是2x ,x1. A2,1B 0,1C2,)D 1,)33第 II 卷共 100 分二、填空题：本大题共5 小题，每题5 分 11【2021 年*，理11】观察以下各式：专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式00C14 ;41 ;C30C312012n10124;照此规律，当 nC5C5C5N *时，C2n 1C2 n 1C2n 1C2n101233C7C7C7C74 ; 12【2021 年*，理12】假设“x 0, ,tan x m是真命题，那么实数

5、m 的最小值为4T 的值为 13【2021 年*，理13】执行右边的程序框图，输出的 14【2021 年*，理14】函数 f (x)a xb (a 0, a 1)的定义域和值域都是1,0 ，那么 a b 15 【2021 年*，理 15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线 C1 :x2y21(a0,b0) 的渐近线与抛物线a22C2 : x2b2 py( p0) 交于点 O, A,B ，假设OAB 的垂心为C2的焦点，那么C1的离心率为三、解答题：本大题共6 题，共 75 分 16【2021 年*，理16】本小题总分值 12 分设f ( x) sin xcosxcos2 (x) 求 f (x)

6、的单调区间；4在锐角ABC 中，角A, B,C的对边分别为a ,b,c，假设 f ( A)0,a1 ，求ABC 面积2 17【2021 年*，理17】本小题总分值12 分如图，在三棱台DEFABC 中，AB2DE ,G, H 分别为 AC, BC 的中点求证：BD / / 平面 FGH ；假设 CF平面 ABC ， ABBC, CFDE ,BAC45 ，求平面FGH与平面ACFD 所成角锐角的大小专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式 18【2021 年*，理18】本小题总分值12 分设数列 an 的前n项和为 Sn，2Sn3n3 求数列 an 的通项公式；假设数列bn 满足 an

7、bnlog3 an，求数列 bn 的前n项和 Tn 19【2021 年*，理 19】本小题总分值 12 分假设n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，那么称 n 为“三位递增数 如137，359，567等在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的 “三位递增数 中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规那么如下：假设抽取的“三位递增数 的三个数字之积不能被5 整除，参加者得0 分；假设能被5 整除，但不能被10 整除，得 -1 分；假设能被10整除，得 1 分写出所有个位数字是5 的“三位递增数 ；假设甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX 专业资料整理WO

8、RD格式3专业资料整理WORD格式 20【2021 年*，理20】本小题总分值 13 分平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2y21(a b0) 的C :22ab离心率为3 ，左、右焦点分别是F1 , F2,以 F1为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心，以1 为半径的圆相2C 上交，交点在椭圆求椭圆 C 的方程；设椭圆E :x2y2， 为椭圆 C 上的任意一点， 过点P的直线 ykxm 交椭圆E于 A,B两点，4 a24b21 P射线 PO交椭圆E于点Q i求| OQ |的值； ii求ABQ 面积最大值|OP |专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式 21【2021 年*，理 21】此

9、题总分值 14 分设函数f (x) ln( x 1) a( x2x) ，其中a R讨论函数f ( x) 极值点的个数，并说明理由；假设 x0 ，f ( x) 0成立，求 a 的取值X围专业资料整理WORD格式5专业资料整理WORD格式2021 年普通高等学校招生全国统一考试*卷数学理科第 卷共50 分一、选择题：本大题共10 小题，每题5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 1【2021 年*，理1】集合 x | x24 x 3 0 ，B x |2 x 4 ，那么AB （ A 1,3 B 1,4 C 2,3 D 2,4【答案】 C【解析】 A x | x24x30 x

10、|1x3，AB(2,3)，应选 C 2【2021 年*，理2】假设复数z满足zi ，其中i是虚数单位，那么z 1 iA1i B 1i C 1i D 1 i【答案】 A【解析】 z (1 i)ii 2i1i ，z1i ，应选A 3【2021 年*，理3】要得到函数ysin(4x) 的图象，只需将函数ysin 4x 的图像3 A向左平移个单位 B 向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位【答案】 B121233【解析】 ysin4( x12) ，只需将函数ysin4x 的图像向右平移个单位，应选 B12 4【2021 年*，理4】菱形 ABCD 的边长为a，ABC60，那么 "

11、"""3 a2B3 a2 C3a2 D3a2·""""= A【答案】 D2442【解析】由菱形 ABCD 的边长为 a ，ABC60可知BAD 18060120 ，BD CD( ADAB) (AB)AB AD2a a cos120a23a2，应选DAB 5【2021 年*，理5】不等式| x1| x5|2 的解集是2A(,4) B (,1) C (1,4)D (1,5)【答案】 A1时，1x(5x)42 成立；当【解析】当 x1x5时， x1(5x)2x6 2 ，解得 x4 ，那么1 x 4 ；当 x 5 时，x1

12、( x5)42不成立综上x4 ，应选 Axy0 6【2021 年*，理6】x, y满足约束条件xy2假设 zaxy 的最大值为4，那么 ay0 A 3B2 C -2 D -3【答案】 B【解析】由 zaxy 得 yaxz ，借助图形可知：当a1 ，即 a1 时在x y0 时有最大值0，不符合题意；当 0a 1 ，即1a0时在 xy1 时有最大值a14,a3，不满足 1 a0 ；当1a0 ，即 0a 1 时在 xy1 时有最大值a 14,a3，不满足 0a1 ；当 a1，即 a1 时在 x2, y0时有最大值2a4, a2 ，满足a1，应选B 7【2021 年*，理7】在梯形ABCD中，ABC，

13、AD/BC，BC2AD2 AB 2 将梯形 ABCD2绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为专业资料整理WORD格式6专业资料整理WORD格式A2B4C5D2333【答案】 C【解析】 V12 2112 15，应选 C33N (0,32 ) ，从中随机取一件， 8【2021 年*，理8】某批零件的长度误差单位：毫米服从正态分布其长度误差落在区间 3,6内的概率为附：假设随机变量服从正态分布 N( , 2)，那么P() 68. 2 6，%P( 22 ) 95.44% （ A4.56%B 13.59%C27.18% D31.74%【答案】 D【解析】 P(36)1 (95.

14、44%68.26%)13.59% ，应选D22, 3) 射出，经 y 轴反射与圆( x 3)2( y 2)2 9【2021 年*，理9】一条光线从点(1相切，那么反射光线所在的直线的斜率为 A5 或3 B3 或2C5 或4D4 或335234534专业资料整理WORD格式【答案】 D3) 关于y轴对称点的坐标为【解析】 ( 2,那么 d| 3k 22k 3 |k 21,|5k 5|1 10【2021 年*，理10】设函数 f ( x)(2, 3) ，设反射光线所在直线为y 3 k (x 2), 即 kxy 2k 3 0 ，21 ，解得k4 或3，应选 Dk343x1,x1,2 f ( a )2

15、x ,x那么满足 f ( f ( a)的取值X围是1.专业资料整理WORD格式 A2,1 B0,1C2,)D 1,)33【答案】 C【解析】由f ( f (a ) 2f ( a )可知 f (a)1 ，那么a1 或 a 1，解得a2 ，应选C2a13a 1 13第 II 卷共 100 分二、填空题：本大题共5 小题，每题5 分 11【2021 年*，理11】观察以下各式：C1040 ;41 ;C30C312012n 1012照此规律，当 nN *时，C5CC54 ;C2n 1C2 n 1C2n 1C2n 15C70C71C72C7343 ;【答案】 4 n 1【解析】012n 11012n 1

16、C2n 1C2n1C2 n 1C2n 1(2C2 n 12C2n12C2n12C2 n 1 )21(C0C2 n 1 )(C1C2n 2 )(C2C2n 3 )(C n 1Cn)22n 12 n 12n 12n 12 n 12 n 12 n 12 n 11012n 1n2n 1122n 14n 1(C2n 1C2 n 1C2n 1C2n 1C2 n 1C2n 1 )22 12【2021 年*，理12】假设“x0,tan xm 是真命题，那么实数m 的最小值为【答案】 14【解析】“ x0,tan xm 是真命题，那么 mtan1 ，于是实数m的最小值为144T 的值为 13【2021 年*，理

17、13】执行右边的程序框图，输出的专业资料整理WORD格式7专业资料整理WORD格式【答案】 1161xdxx2 dx 1 1111【解析】 T1100236a xb ( a0,a1)1,0 ，那么a 14【2021 年*，理14】函数f (x)的定义域和值域都是b【答案】32【解析】当 a1时a1b1 ，无解；当0a1 时a 1b0，解得 b2,a1，那么 ab123 a0b 0a0b1222 15 【2021 年*，理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线C1 :x2y21(a0,b0) 的渐近线与抛物线2b2C2 : x2a2 py( p0) 交于点O, A,B，假设OAB 的垂心为C2的

18、焦点，那么C1的离心率为【答案】 322222【解析】 C1 : x2y21(a0,b0) 的渐近线为 yb x ，那么 A( 2 pb, 2 pb2), B( 2 pb, 2 pb2)abaaaaap2 pb2pab25 c2a2b29c 3C2 : x22 py( p) ，那么 kAFa22， e0) 的焦点F (0,2 pb，即a2，2a24a2b4 a2a三、解答题：本大题共6 题，共75 分 16【2021 年*，理16】本小题总分值12 分设f ( x)sin xcosxcos2 ( x) 求 f (x) 的单调区间；4在锐角ABC 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c ，假设

19、f ( A) 0, a1 ，求ABC 面积2解：由 f ( x)1 sin2x11cos(2x)1 sin 2x11 sin2xsin 2x1 ，2222222由 22x2k,k Z得kx k,k Z，k2244那么 f ( x) 的递增区间为 k,k, k Z ；44由 2k22x 2k3 ,k Z 得 k4x k3 , k Z ，234那么 f ( x) 的递增区间为 k,k, kZ 44在锐角ABC 中，f (A)sin A 10,sin A1， A，而 a1 ，2226由余弦定理可得 1b2c22bccos2bc3bc(23)bc ，当且仅当bc 时等号成立，6即 bc21323，SA

20、BC1bc sin A1bcsin61bc243故 ABC 面积的最大值为23 2244 17【2021 年*，理17】本小题总分值12 分如图，在三棱台DEFABC 中，AB2DE,G, H 分别为 AC, BC 的中点求证：BD/ 平面 FGH ；假设 CF平面 ABC ，ABBC,CFDE ,BAC45 ，求平面FGH与平面ACFD 所成角锐角的大小解：证明：连接DG， DC，设 DC 与GF 交于点T，专业资料整理WORD格式8专业资料整理WORD格式在三棱台 DEFABC 中，AB2DE ，那么AC2DF ，而G是AC的中点，DFAC，那么 DF/ /GC ，所以四边形 DGCF 是

21、平行四边形，T是 DC 的中点，DGFC 又在BDC ，是 BC 的中点，那么THDB ，又 BD平面 FGH ，TH平面 FGH ，故 BD/ 平面 FGH 由 CF平面 ABC ，可得 DG平面 ABC 而， ABBC ，BAC45，那么 GBAC ，于是GB,GA,GC两两垂直，以点G 为坐标原点，GA,GB,GC 所在的直线，分别为x, y, z 轴建立空间直角坐标系，设 AB2,那么 DECF1, AC2 2,AG2 ,B(0,2,0), C (2,0,0),F (2,0,1), H (2,22,0) ，2那么平面 ACFD 的一个法向量为n1 (0,1,0)，设平面 FGH 的法向

22、量为n2GH02x22y20n2( x2 , y2 , z2 ) ，那么，即 22n2GF0，2 x2z20取 x21，那么y21, z22 ， n2 (1,1, 2)，cosn1 ,n21121，故平面 FGH 与平面 ACFD 所成角锐角的大小为60 123n 18【2021 年*，理18】本小题总分值12 分设数列 an的前 n 项和为Sn，2Sn3 求数列 an 的通项公式；假设数列 bn 满足 anbnlog3 an，求数列 bn 的前n项和 Tn解：由n11n1n 1n 1233可得11(33)3，nnn 1(33)(33) 3(n2)，SnaS2aSS22而 a3 31 1，那么 an3, n 1 1n1, n133,n11n1an bnlog3 an及anlog 3an3由bn3n 1 ,n，可得1ann1n13n1Tn1123n 1 11123n 2 n 1333233n 1， Tn323234n 1n，33333321 1 11 11n 1 1 11 1 11n 1Tn33223n 13n