用导数处理不等式恒成立问题

1、WORD格式教学过程一、复习预习一般地，求函数f ( x) 在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：求 f ( x) 在 (a,b) 内的极值；将 f ( x) 的各极值与端点处的函数值f ( a) 、 f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f (x) 在a,b上的最值二、知识讲解常应用函数方程思想和“别离变量法转化为最值问题，也可抓住所给不等式的构造特征，利用数形结合法。专业资料整理WORD格式考点 1 ：利用导数解决恒成立问题假设不等式fxA在区间D上恒成立,那么等价于在区间D 上fxmin假设不等式fxB 在区间D上恒成立,那么等价于在区间D 上fxmaxA

2、B专业资料整理WORD格式考点 2 ：利用导数解决能成立问题假设在区间 D 上存在实数x使不等式fxA成立,那么等价于在区间D 上f xmaxA ；假设在区间 D 上存在实数x使不等式fxB 成立,那么等价于在区间D 上的fx minB .解决不等式恒成立问题和能成立问题，注意一个是全称命题， 一个是存在性命题，所以转化的时候要注意求的到底是函数最大值和最小值。三、例题精析【例题 1】【题干】 设函数 f ( x)2 x33ax23bx8c 在x1及 x2时取得极值 1求a、b的值； 2假设对于任意的x0,3 ，都有f (x)c2成立，求c的取值X围【答案】 1a3 ， b4 2c的取值X围为

3、(,1)(9,)【解析】1 f ( x)6x26ax3b ，专业资料整理WORD格式函数 f ( x) 在 x1及 x2 取得极值，那么有f (1)0 ， f (2)0 专业资料整理WORD格式即 66a 3b0，解得 a3 ， b4 2412a3b0 2由 1可知，f ( x)2x39x212x8c ，f ( x)6x218x126(x 1)(x2) 当 x (0,1) 时， f( x)0 ；当 x(1,2)时， f( x)0 ；当 x(2,3)时， f ( x)0 当 x1 时， f ( x) 取得极大值f(1)58c，又 f (0)8c， f (3)9 8c 那么当 x0,3 时， f

4、( x) 的最大值为f (3)98c对于任意的 x0,3 ，有f ( x)c2恒成立，98cc2，解得 c1 或 c9 ，因此 c 的取值X围为(,1)(9,) 【例题 2】【题干】 设函数(1) 当 a=1 时，求曲线在点处的切线方程；(2) 假设函数在其定义域内为增函数，*数a 的取值X围；(3) 设函数，假设在 l ， e上至少存在一组使成立，*数 a 的取值X围 .【解析】 1切线为2，由题意假设函数在其定义域内为增函数，专业资料整理WORD格式在 0， +上恒成立，即专业资料整理WORD格式，3在 1，e上至少存在一组使成立；那么，9分在 1， e上递减，令当时，在上递增，当时时在上

5、递增，不合题意。当时，在上递减，当时，在上递减， ks5u专业资料整理WORD格式时，不合题意。专业资料整理WORD格式综上：【例题 3】【题干】函数.1当时，求的极值；2假设在上是增函数，求的取值X围 .【解析】 1当时，在内单调递减， 在内单调递增，当时，有极小值，的极小值是2在上，是增函数，当且仅当，即.当时，恒成立 .当时，假设要成立，那么需，解得.当时，假设要成立，那么需，解得.专业资料整理WORD格式综上，的取值X围是专业资料整理WORD格式四、课堂运用【根底】1.三次函数 f x=x 3 3bx+3b 在 1，2 内恒为正值，那么b 的取值X围是_ 【答案】【解析】 方法 1：拆

6、分函数f x，根据直线的斜率观察可知在1， 2X围内，直线y2与 y1=x 3相切的斜率是3b 的最大值，求出b 的取值X围方法 2：利用函数导数判断函数的单调性，再对 b进展讨论， 比较是否与条件相符，假设不符那么舍掉，最后求出b 的X围。2.对于总有成立，那么的值为多少？【答案】 a=4【解析】 假设，那么不管取何值，显然成立；当，即时可化为.设，那么，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而.当，即时，可化为，那么在区间上单调递增，因此，从而.专业资料整理WORD格式综上所述.专业资料整理WORD格式【稳固】专业资料整理WORD格式1.设a 为实数，函数f (x)2x2(xa)

7、 | xa |.专业资料整理WORD格式(1) 假设 f (0) 1 ，求a的取值X围；(2) 求 f (x) 的最小值；(3) 设函数h( x)f (x),x(a,) ，直接写出(不需给出演算步骤) 不等式h( x)1的解集.【解析】1假设f (0)1 ，那么a | a |1a0a1a212当xa 时，f (x)3x22axa2 ,f (a), a02a 2 , a0f ( x) minf (a02a2, a0), a33当 xa 时，f ( x)x22ax a2, f ( x)minf ( a), a 02a2 , a 0f (a), a02a2 , a0综上 f ( x)min2a2 ,

8、a022a0, a33x (a,) 时， h(x)1得3x22axa210 ，4a212(a2 1)12 8a2当 a6或 a6 时，0, x(a,) ；226a6a32a2a32a20当22时， >0, 得：( x3)( x3)xa讨论得：当 a(2 ,6 ) 时，解集为 (a,) ;22当 a(6 ,2 ) 时，解集为(a,a32a2 a32a2,) ;2233当 a2,2 时，解集为a3 2a2,) .2232. 函数f ( x)x2a(2 ln x),( a0)，讨论 f ( x) 的单调性.x【解析】 f ( x) 的定义域是(0,+), f(x)12ax2ax2 .x2xx2

9、设g( x)x2ax二次方程 g (x)0 的判别式a28.2 ,专业资料整理WORD格式当a280 ，即0a 2 2时，对一切 x0都有 f ( x)0 ,此时 f (x) 在 (0,)上是增函数。 当a28 0 ,即a2 2 时 ， 仅 对 x2 有f ( x)0 ,对 其 余 的 x0 都 有f(x )0,此时 f ( x) 在 (0,)上也是增函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当a28 0 ，即a2 2时，方程 g( x)0aa2 8aa28x1 x2.有两个不同的实根x12, x22, 0x(0, x1)x1( x1 , x2 )x 2( x 2 , )f ( x)+0_

10、0+f (x)单调递增极大单调递减极小单调递增此时 f (x) 在(0,aa28 ) 上单调递增, 在(aa28 , aa28 ) 是上单调递减,222aa28) 上单调递增.在 (2,【拔高】1.设函数f (x)xekx (k0)求曲线y f ( x)在点 (0, f (0) 处的切线方程；求函数f ( x) 的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m假设函数f ( x) 在区间 ( 1,1)内单调递增，求k 的取值X围.【解析】 f 'x1kx ekx , f '01, f00 ,曲线 yf (x) 在点 (0,f (0) 处的切线方程为yx .由 f'x1

11、kx ekx0，得 x1k0 ，k假设 k 0 ，那么当 x,1时， f'x0，函数 fx 单调递减，专业资料整理WORD格式k专业资料整理WORD格式当 x1,时， f'x0 ，函数 fx单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o. mk假设 k0 ，那么当x,1 时，f'x0，函数 fx 单调递增，k当 x1 ,时， f 'x0 ，函数 fx单调递减，w.w.w.k.s.5.u.c.o. mk由知，假设k0 ，那么当且仅当11 ，k即 k1时，函数fx1,1内单调递增，假设 k0 ，那么当且仅当11，k即 k1 时，函数fx1,1 内单调递增，w.w.w.

12、k.s.5.u.c. o. m综上可知，函数fx1,1内单调递增时，k 的取值X围是1,00,1 .2. 函数f(x)=1x 2 ax+(a 1) ln x，a1。2（ 1讨论函数f (x)的单调性； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2证明：假设a5，那么对任意x1，x2(0,) ，x1x 2，有f ( x1 )f ( x2 )1。x1x2【解析】(1)f (x) 的定义域为 (0,) 。f ' (x) x aa 1 x2ax a 1 ( x 1)(x 1 a)xxxi 假设a 11即 a2,那么f ' (x)( x1)2x故 f (x) 在 (0,) 单调增加。(ii)

13、假设a11 ,而 a 1 ,故 1 a2,那么当 x(a 1,1)时，f'( x) 0;当 x(0, a1) 及 x (1,) 时，f'(x)0专业资料整理WORD格式故 f (x) 在 (a1,1)单调减少，在(0, a1),(1,) 单调增加。专业资料整理WORD格式(iii) 假设a1 1,即 a2 ,同理可得f (x) 在(1,a1)单调减少，在 (0,1),( a 1,) 单调增加.(II)考虑函数g(x)f (x)x1 x2ax(a1) ln xx2那么 g ( x)x(a1)a12xga 1(a1)1 ( a 11)2xx由 于 1<a<5, 故g (

14、x)0， 即 g(x) 在 (4, + ) 单 调 增 加 ， 从 而 当x1x2 0 时 有g( x1 ) g( x2 ) 0 ，即 f (x1) f (x 2) x1x 20f (x1 )f (x2 )，当 0 x1 x2，故1x1x2时，有f (x1)f ( x2 )f (x2 )f (x1)1x1x2x2x1课程小结关于运用导数解决含参函数问题的策略还有很多，参数问题形式多样，方法灵活多变， 技巧性较强，对于某些“含参函数题目，不一定用某一种方法，还可用多种方法去处理这就要求我们养成良好的数学思维，有良好的观察与分析问题的能力，灵活的转化问题能力，使所见到的“含参函数问题能更有效地解决

15、专业资料整理WORD格式课后作业【根底】1. 函数f ( x)( x33x2ax b)e x1如 ab3 ，求 f ( x) 的单调区间；(2) 假设f ( x)在(,),(2,) 单调增加，在 (, 2),(,) 单调减少，证明 6. w.【解析】当 ab3时，f ( x)( x33x23x3)e x，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.mf ' (x )32x3x26ex3 )x(x3e3 )x ( 3 xe x ( x 39 x)x( x3 ) (xxw.w.w.k.s.5.u.c.o.m3)e当 x3或0x3时， f '(x) 0;当3 x0或x3时， f '

16、(x)0.从而f ( x)在(, 3),(0,3) 单调增加，在3，0，3， 单调减少 .( )f '(x)( x33x2axb)e x(3x26xa)e xe x x3(a 6) xb a.由条件得： f '(2)0,即232(a6)ba0,故b4a, 从而f '(x)e x x3( a6)x4 2a.因为 f '()f '()0, 所以x3(a6) x42a( x2)(x)( x)( x 2)( x2 ()x).将右边展开，与左边比较系数得，2,a2. 故()24124a.又 (2)(2)0,即2()40.由此可得a6.专业资料整理WORD格式于是6

17、. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m专业资料整理WORD格式2. 设函数f*2aIn 1x 有两个极值点x1、x2，且 x1x2I 求a的取值X围，并讨论fx 的单调性；专业资料整理WORD格式（ II 证明：【解析】 I12In 2w.w.w.k.s.5.u.c.o.mf x24f x 2xa2x22x a ( x1)1 x1x专业资料整理WORD格式令 g(x)2x22xa ，其对称轴为x1。由题意知 x1、 x2是方程 g( x)0 的两个均2大于 1 的不相等的实根，其充要条件为48a01g(1)a，得 0a02当 x(1, x1) 时， fx0,f ( x) 在 (1,x1)

18、内为增函数；当 x( x1, x2 ) 时， fx0,f (x) 在 (x1, x2 ) 内为减函数；当 x( x2,) 时，fx0,f (x) 在 (x2,) 内为增函数；II由 Ig(0)a0,1x20 ，a(2 x22 +2x2 )2f x2x22aln 1x2x22(2x22 +2x2 )ln1 x2设 h xx2(2 x22x)ln 1 x ( x1) ，2那么 h x2x2(2x 1)ln 1x2x2(2 x 1)ln 1 x当 x(1 ,0) 时，hx0,h( x) 在1 ,0)单调递增；22当 x(0,) 时，hx0，h( x) 在 (0,) 单调递减。当 x(1h(1)12l

19、n 2,0) 时 ,h x24212In 2故 f x2h( x2 )4w.w.w.k.s.5.u.c.o. m【稳固】1. 函数f (x)ln( ax1)1x , x0 ，其中 a 01x假设 f ( x) 在x=1处取得极值，求a 的值；专业资料整理WORD格式求 f ( x) 的单调区间；专业资料整理WORD格式假设 f (x) 的最小值为1，求 a 的取值X围。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】 f '(x)a12 2ax2a22 ,ax(1x)(ax1)(1x)f (x) 在x=1处取得极值，f '(1)0,即a 12a20, 解得a 1. f '

20、;(x)ax2a22 ,( ax 1)(1 x)0, a0,ax 10.x当 a2 时，在区间(0,)上， f '(x)0, f (x)的单调增区间为(0,).当 0a2 时，由 f '(x)0解得 x2a ,由f '(x)0解得 x2 a ,aaf ( x)的单调减区间为 0，2- a ), 单调增区间为2- a， .aa当 a2 时，由知，f ( x)的最小值为f (0)1;当 0a2 时，由知， f (x) 在x2aa 处取得最小值f ( 2a ) f (0) 1,a综上可知，假设f ( x) 得最小值为1，那么a的取值X围是 2, ).2. 函数f ( x)2s

21、in(x)cos x .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m求 f ( x) 的最小正周期；求 f ( x) 在区间,上的最大值和最小值 .62【解析】 fx2sinxcosx2sin x cosxsin2 x ，函数 f (x) 的最小正周期为.由x2x，3sin 2x1，2326 f ( x) 在区间,上的最大值为1，最小值为3.622专业资料整理WORD格式【拔高】1.关于x 的函数 f(x) 1x3 bx2 cx bc,其导函数为f + (x).令 g(x) f+ (x) ,记函数3g(x) 在区间 -1、 1上的最大值为M.( )如果函数f(x) 在 x 1 处有极值 - 4，试确

22、定b、c 的值：3假设 b >1,证明对任意的c,都有 M>2: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m( )假设 M K 对任意的 b、 c 恒成立，试求k 的最大值。【解析】f'(x)x22bxc ，由f (x)在x1 处有极值43f '(1)12bc0可得f (1)1bcbc433解得b 1, 或b1c1c3假设 b1,c1 ，那么f '(x)x22x1(x1)20 ，此时f ( x)没有极值；假设 b1,c3，那么f '(x)x22 x3(x1)(x1)当 x 变化时，f ( x) ， f '( x) 的变化情况如下表：x(, 3)3

23、(3,1)1(1, )f '( x)0+0f ( x)极小值12极大值43当 x 1时， f ( x) 有极大值41， c 3即为所求。，故 b3证法1：g( x)| f '(x) | |( xb) 2b2c |当 |b |1 时，函数 yf '(x) 的对称轴xb 位于区间 1.1 之外。f '(x) 在 1,1上的最值在两端点处取得故 M 应是g( 1)和g(1)中较大的一个专业资料整理WORD格式2Mg(1)g ( 1)|12bc |12bc | | 4b |4, 即M2专业资料整理WORD格式证法 2反证法：因为| b |1，所以函数yf '(

24、x) 的对称轴 xb 位于区间 1,1之外，f '(x) 在 1,1上的最值在两端点处取得。故 M 应是g( 1)和g(1)中较大的一个假设 M2 ，那么g( 1) |12bc |2w.w.w.k.s.5.u.c.o.mg(1)|12bc |2将上述两式相加得：4|12bc | 12bc |4 | b|4 ，导致矛盾，M2解法1：g( x) | f '(x) |( xb) 2b2c |1当| b |1 时，由可知M2 ； 2当|b |1时，函数 yf '( x 的对称轴xb 位于区间 1,1内，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m此时 Mmax g (1),g (1)

25、,g (b)由 f'(1)f'(1) 4b, 有f '(b)f '( 1)b( 1)20假设1b0, 那么f '(1)f '(1)f '(b),g (1)max g(1), g(b) ，于是 Mmax| f '(1),| f '(b) |1 (| f '(1)|f '(b) |)1 | f '(1) f '(b) |1 (b 1)212222假设 0b1，那么 f '( 1)f '(1)f '(b),g(1)max g ( 1), g (b)专业资料整理WORD格式1

26、(| f '( 1) | | f '(b ) |)1于是 M max | f '( 1) |,| f '(b ) | f '( 1)22综上，对任意的b 、c都有1M2而当 b0, c1时， g( x)x21在区间1,1上的最大值 M22故 Mk 对任意的 b 、c恒成立的 k 的最大值为1。2解法 2：g (x)| f '(x) | |(x b)2b2c |f '(b) |1(b 1)212212专业资料整理WORD格式1当| b |1 时，由可知M2 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m专业资料整理WORD格式2当| b |1 时

27、，函数 yf '(x) 的对称轴 xb 位于区间 1,1内，专业资料整理WORD格式此时 Mmax g ( 1), g(1),g(b)4Mg ( 1)g(1)2g (h)|12bc | 12bc |2| b2 c |w.w.w.k.s.5.u.c.o.m|1 2bc(1 2bc)2(b2c) | 2b22|2，即M11 ax322.函数 f ( x)bx2x 3 其中a 0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3,1当 a, b 满足什么条件时, f ( x) 取得极值"2 a 0 ,且 f ( x) 在区间(0,1 上单调递增,试用a表示出 b 的取值X围.【解析】 (1)由得f '(x)ax22bx1 ,令f ' (x) 0,得