等比等差数列

1、1 1. .等差数列的概念等差数列的概念如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起项起, ,每一项与它的前一项的差每一项与它的前一项的差等于等于_,_,那么这个数列就叫做等差数列那么这个数列就叫做等差数列, ,这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的_,_,一般用字母一般用字母d d表示表示; ;定义的表达式为定义的表达式为:_.:_.a an+1n+1-a-an n=d(nN=d(nN* *) )同一个同一个常数常数公差公差2 2. .等差中项等差中项如果如果a,A,ba,A,b成等差数列成等差数列, ,那么那么A A叫做叫做a,ba,b的等差中的等差中项项, ,且且A=A=_. _.

2、3.3.等差数列的通项公式等差数列的通项公式若等差数列若等差数列aan n 的首项是的首项是a a1 1, ,公差是公差是d,d,则其通项则其通项公式为公式为a an n=_.=_.a b2a a1 1+(n-1)d+(n-1)d4.4.等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式1nn aa21n n 1nad22.2.等差数列前等差数列前n n项和公式的应用方法项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式根据不同的已知条件选用两个求和公式, ,如已如已知首项和公差知首项和公差, ,则使用公式则使用公式S Sn n=na=na1 1+ d,+ d,若已知通项公若已知通项公式式, ,

3、则使用公式则使用公式S Sn n= =n n 121nn aa22.2.等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,且且S S3 3=6,a=6,a3 3=4,=4,则公则公差差d d等等于于( () )A.1A.1 B. B. C.2 C.2 D.3 D.3【解析】【解析】选选C.C.因为因为S S3 3= =6,= =6,而而a a3 3=4.=4.所以所以a a1 1=0,=0,所以所以d= =2.d= =2.5313aa3231aa2考点考点1 1 等差数列的基本运算等差数列的基本运算【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013安徽高考安徽高考) )

4、设设S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前n n项项和和,S,S8 8=4a=4a3 3,a,a7 7=-2,=-2,则则a a9 9=(=() )A.-6A.-6 B.-4 B.-4C.-2C.-2 D.2 D.2(2)(2014(2)(2014南京模拟南京模拟) )等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和记为项和记为S Sn n. .已知已知a a1010=30,a=30,a2020=50.=50.求通项求通项a an n; ;若若S Sn n=242,=242,求求n.n.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.由由S S8 8=4a=4a3 38a8a1 1

5、+ d=4+ d=4(a(a1 1+2d);+2d);由由a a7 7=-2=-2a a1 1+6d=-2,+6d=-2,联立解得联立解得a a1 1=10,d=-2,=10,d=-2,所以所以a a9 9=a=a1 1+8d=10-16=+8d=10-16=-6.-6.(2)(2)由由a an n=a=a1 1+(n-1)d,a+(n-1)d,a1010=30,a=30,a2020=50,=50,得方程组得方程组解得解得a a1 1=12,d=2.=12,d=2.所以所以a an n=2n+10;=2n+10;8 7211a9d 30a19d 50.，由由S Sn n=na=na1 1+ d

6、,S+ d,Sn n=242,=242,得方程得方程12n+ 12n+ 2=242,2=242,解得解得n=11n=11或或n=-22(n=-22(舍去舍去).).n n 12n n 125.5.等差数列的性质等差数列的性质(1)(1)等差数列的常用性质等差数列的常用性质: :通项公式的推广通项公式的推广:a:an n=a=am m+ _(n,mN+ _(n,mN* *););若若aan n 是等差数列是等差数列, ,且且k+k+l=m+n(k,=m+n(k,l,m,nN,m,nN* *),),则则_;k+_;k+l=2m=2m_(k,_(k,l,mN,mN* *););若若aan n 是等差

7、数列是等差数列, ,公差为公差为d,d,则则aa2n2n 也是等差数列也是等差数列, ,公差为公差为_;_;(n-m)d(n-m)da ak k+a+al=a=am m+a+an na ak k+a+al=2a=2am m2d2d3.3.若若aan n 为等差数列为等差数列,S,Sn n是其前是其前n n项的和项的和, ,且且 则则tanatana6 6=(=() )【解析】【解析】选选C. C. 所以所以tan atan a6 6= =1122S3，3A . 3 B .3 C .3 D .3111116611 aa222S11aa233 ，所以，2tan3.3【小试牛刀】【小试牛刀】1.1.

8、在等差数列在等差数列aan n 中中, ,已知已知a a4 4+a+a8 8=16,=16,则该数列前则该数列前1111项和项和S S1111=(=() )A.58 B.88A.58 B.88C.143 D.176C.143 D.176【解析】解析】常规解法常规解法: :选选B.B.设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,由题意可得由题意可得a a1 1+3d+a+3d+a1 1+7d=16,+7d=16,所以所以a a1 1=8-5d,=8-5d,所以所以S S1111=11a=11a1 1+ d=11(8-5d)+55d=88-+ d=11(8-5d)+55d=88-55d

9、+55d=88.55d+55d=88.巧妙解法巧妙解法: :选选B.B.在等差数列在等差数列aan n 中中, ,已知已知a a4 4+a+a8 8=16,=16,所以所以a a1 1+a+a1111=a=a4 4+a+a8 8=16,=16,所以所以S S1111= =88.= =88.11 10211111 aa22.(20142.(2014洛阳模拟洛阳模拟) )在等差数列在等差数列aan n 中中,2(a,2(a1 1+a+a3 3+a+a5 5)+ )+ 3(a3(a7 7+a+a9 9)=54,)=54,则此数列前则此数列前1010项的和项的和S S1010=(=() )A.45 B

10、.60 C.75 D.90A.45 B.60 C.75 D.90【解析】【解析】常规解法常规解法: :选选A.A.设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,则由已知则由已知得得2(a2(a1 1+a+a1 1+2d+a+2d+a1 1+4d)+3(a+4d)+3(a1 1+6d+a+6d+a1 1+8d)=54,+8d)=54,整理得整理得2a2a1 1+9d=9,+9d=9,所以所以S S1010=10a=10a1 1+ d=5(2a+ d=5(2a1 1+9d)=5+9d)=59=45.9=45.巧妙解法巧妙解法: :选选A.A.由等差数列的性质知由等差数列的性质知a a1

11、1+a+a5 5=2a=2a3 3,a,a7 7+a+a9 9=2a=2a8 8, ,则由则由已知等式得已知等式得2 23a3a3 3+3+32a2a8 8=54,=54,即即a a3 3+a+a8 8=9,=9,所以所以a a1 1+a+a1010=a=a3 3+a+a8 8=9,=9,所以所以S S1010= =5= =59=45. 9=45. 10 9211010 aa21.已知等差数列an的前13项和为39,则a6+a7+a8等于().A.18 B.12C.9D.6若若aan n,b,bn n 是等差数列是等差数列, ,则则papan n+qb+qbn n(nN(nN* *) )是等差

12、数列是等差数列; ;若若aan n 是等差数列是等差数列, ,则则a ak k,a,ak+mk+m,a,ak+2mk+2m,(k,mN,(k,mN* *) )组成公差为组成公差为_的等差数列的等差数列. .mdmd(2)(2)等差数列与等差数列各项的和有关的性质等差数列与等差数列各项的和有关的性质: :若若aan n 是等差数列是等差数列, ,则则 也成等差数列也成等差数列, ,其首项与其首项与aan n 的的首项相同首项相同, ,公差是公差是aan n 的公差的的公差的 ; ;S Sm m,S,S2m2m,S,S3m3m分别为分别为aan n 的前的前m m项项, ,前前2m2m项项, ,前

13、前3m3m项的和项的和, ,则则S Sm m, ,S S2m2m-S-Sm m,_,_成等差数列成等差数列; ; nSn12S S3m3m-S-S2m2m【通关题组】【通关题组】1.(20141.(2014天津模拟天津模拟) )在等差数列在等差数列aan n 中中,a,a1 1=-2015,=-2015,其前其前n n项和项和为为S Sn n, ,若若 =2,=2,则则S S20152015的值等于的值等于( () )A.-2015A.-2015B.-2014B.-2014C.-2013C.-2013D.-2012D.-20121012SS1210【解析】【解析】选选A.A.设等差数列设等差数

14、列aan n 的公差为的公差为d,d,因为因为 =2,=2,根据等差数列的性质可得根据等差数列的性质可得 也为等差数列也为等差数列, ,所以所以2d=4,d=2.2d=4,d=2.所以所以S S20152015=2015a=2015a1 1+ =-2015.+ =-2015.1012SS1210nSn2 0152 015 122 关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质(i)(i)若等差数列若等差数列aan n 的项数为的项数为2n,2n,则则S S2n2n=n(a=n(a1 1+a+a2n2n)=)=n(a=n(an n+a+an+1n+1),S),S偶偶-S

15、-S奇奇=nd, =nd, (ii)(ii)若等差数列若等差数列aan n 的项数为的项数为2n-1,2n-1,则则S S偶偶=(n-1)a=(n-1)an n,S,S奇奇=na=nan n, ,S S奇奇-S-S偶偶=a=an n, (, (其中其中S S奇奇,S,S偶偶分别表示数列分别表示数列aan n 中所中所有奇数项、偶数项的和有奇数项、偶数项的和) )nn 1Sa,Sa奇偶SnSn 1奇偶；5.一个等差数列an的前12项的和为354,前12项中偶数项的和S偶与前12项中奇数项的和S奇之比为则公差d=()A.5B.6C.10D.12又由等差数列的性质,可得S偶-S奇=6d,即192-1

16、62=6d,解得d=5.两个等差数列两个等差数列aan n,b,bn n 的前的前n n项和项和S Sn n,T,Tn n之间的关系为之间的关系为 数列数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=An=An2 2+Bn(A0)+Bn(A0)是是aan n 成等差数列的成等差数列的_条件条件; ;等差数列的增减性等差数列的增减性:d0:d0时为时为_数列数列, ,且当且当a a1 100时前时前n n项和项和S Sn n有最小值有最小值.d0.d00时前时前n n项和项和S Sn n有最大值有最大值. .n2n 1n2n 1aS;bT充分充分递增递增递减递减4.4.在等差数列在等差数列a

17、an n 中中,S,Sn n是其前是其前n n项和项和, ,且且a a4 4=9,a=9,a9 9=-6,=-6,则则S Sn n取最大取最大值时值时n n的值为的值为( () )A.6A.6或或7 7 B.7 B.7或或8 C.58 C.5或或6 D.86 D.8或或9 9【解析】【解析】选选A.A.由由 所以所以a an n=-3n+21,=-3n+21,故故a a1 1aa2 2aa3 3aa6 6aa7 7=0a=0a8 8,所以所以S S6 6=S=S7 7最大最大. .419a9a18a6d3，,6.(2014成都模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=9,a6+a4=2,则

18、当Sn取最大值时,n等于()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.由a6+a4=2,得a5=10,又a1=9,所以d=-2,故a6=-10,所以前5项和最大.已知an为等差数列,若-1,且它的前n项和Sn有最大值,当Sn取得最小正值时,n的值等于.【解析】由已知得,an是首项为正,公差为负的递减等差数列,由-1得a10+a110,a110,所以S20=10(a10+a11)0,所以Sn取得最小正值时n=19.明明角度角度命题角度命题角度1:1:根据等差数列的性质求基本量根据等差数列的性质求基本量【典例【典例3 3】(2015(2015贵阳模拟贵阳模拟) )已知递减的等差数列已知递减的等差数列a

19、an n 满足满足a a1 12 2=a=a9 92 2, ,则则a a5 5= =( () )A.-1A.-1B.0B.0C.-1C.-1或或0 0D.4D.4或或5 5【解题提示】【解题提示】判断出等差数列的单调性判断出等差数列的单调性, ,再根据性质求解再根据性质求解. .【规范解答】【规范解答】选选B.B.由题意可知由题意可知a a1 12 2-a-a9 92 2=0,=0,即即(a(a1 1+a+a9 9)(a)(a1 1-a-a9 9)=0,)=0,又又aan n 为递减的等差数列为递减的等差数列, ,所以所以a a1 1aa9 9, ,得得a a1 1+a+a9 9=0,=0,所

20、以所以a a5 5=0,=0,故选故选B.B.2.(20152.(2015银川模拟银川模拟) )已知已知aan n 为等差数列为等差数列,a,a1 1+a+a3 3+a+a5 5=105,a=105,a2 2+a+a4 4+a+a6 6=99,=99,S Sn n是是aan n 前前n n项和项和, ,则使得则使得S Sn n达到最大值的达到最大值的n n是是( () )A.21A.21B.20B.20C.19C.19D.18D.18【解析】【解析】选选B.B.由由a a1 1+d+a+d+a3 3+d+a+d+a5 5+d=105+3d,+d=105+3d,则则a a2 2+a+a4 4+a

21、+a6 6=105+3d=99,=105+3d=99,得得d=-2,ad=-2,a1 1=39,=39,所以所以a an n=41-2n,=41-2n,由由a an n=41-2n0,=41-2n0,得得n n0,nN0,nN* *, ,且且a a5 5aa2n-52n-5=2=22n2n(n3),(n3),则当则当n1n1时时,log,log2 2a a1 1+log+log2 2a a3 3+log+log2 2a a2n-12n-1= =( () )A.n(2n-1)A.n(2n-1)B.(n+1)B.(n+1)2 2C.nC.n2 2D.(n-1)D.(n-1)2 2【解析解析】选选C

22、.C.设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q,q,因为因为a a5 5aa2n-52n-5=2=22n2n(n3),(n3),所以所以a a1 1q q4 4aa1 1q q2n-62n-6=2=22n2n, ,即即a a1 12 2qq2n-22n-2=2=22n2n(a(a1 1qqn-1n-1) )2 2=2=22n2n(a(an n) )2 2=(2=(2n n) )2 2, ,因为因为a an n0,0,所以所以a an n=2=2n n, ,所以所以a a2n-12n-1=2=22n-12n-1, ,所以所以loglog2 2a a1 1+log+log2 2a a3

23、3+log+log2 2a a2n-12n-1=log=log2 22+log2+log2 22 23 3+log+log2 22 22n-12n-1=1+3+(2n-1)= n=n=1+3+(2n-1)= n=n2 2. .12n 12(2)(2)等比数列的通项公式等比数列的通项公式: :若等比数列若等比数列aan n 的首项是的首项是a a1 1, ,公比是公比是q,q,则其通项公式为则其通项公式为_(nN(nN* *).).(3)(3)等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式: :当公比当公比q=1q=1时时,S,Sn n=_.=_.当公比当公比q1q1时时,S,Sn n= = .

24、 = = . a an n=a=a1 1q qn-1n-1nana1 1n1a (1 q )1 q1naa q1 q4.4.等比数列的常见性质等比数列的常见性质(1)(1)项的性质项的性质: :a an n=a=am mq qn-mn-m; ;a am-km-ka am+km+k= =a am m2 2 (mk,m,kN(mk,m,kN* *).).a.a.若若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kNm+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN* *),),则则a am maan n=_=_=a ak k2 2; ;b.b.若数列若数列aan n,b,bn n(项数相同项数相同) )是等比数列

25、是等比数列, ,则则aan n,|a,|an n|, ,|, ,a an n2 2,a,an nbbn n, (0), (0)仍然是等仍然是等比数列比数列; ;n1annaba ap paaq q1.1.在等比数列在等比数列aan n 中中, ,若公比若公比q1,q1,且且a a2 2a a8 8=6,a=6,a4 4+a+a6 6=5,=5,则则 =(=() )【解析】【解析】选选D.D.因为因为a a2 2a a8 8=6,=6,所以所以a a4 4a a6 6=6,=6,又因为又因为a a4 4+a+a6 6=5,q1,=5,q1,所以所以a a4 4=2,a=2,a6 6=3,=3,所

26、以所以57aa5632A. B. C. D.65235476aa2.aa3【典例【典例3 3】(1)(2012(1)(2012新课标全国卷新课标全国卷) )已知已知aan n 为等比数为等比数列列,a,a4 4+a+a7 7=2,a=2,a5 5a a6 6=-8,=-8,则则a a1 1+a+a1010=(=() )A.7A.7 B.5 B.5 C.-5 C.-5D.-7D.-7(2)(2012(2)(2012北京高考北京高考) )已知已知aan n 为等比数列为等比数列, ,下面结论中正确的下面结论中正确的是是( () )A.aA.a1 1+a+a3 32a2a2 2 B. B.C.C.若

27、若a a1 1=a=a3 3, ,则则a a1 1=a=a2 2 D. D.若若a a3 3aa1 1, ,则则a a4 4aa2 2222132aa2a方法二方法二: :因为因为aan n 为等比数列为等比数列, ,所以所以a a5 5a a6 6=a=a4 4a a7 7=-8,=-8,又又a a4 4+a+a7 7=2,=2,联立方程组可得联立方程组可得a a4 4=4,a=4,a7 7=-2=-2或或a a4 4=-2,a=-2,a7 7=4.=4.根据等比数列性质根据等比数列性质,a,a1 1,a,a4 4,a,a7 7,a,a1010也成等比数列也成等比数列. .若若a a4 4=

28、4,a=4,a7 7=-2,=-2,得得a a1 1=-8,a=-8,a1010=1,a=1,a1 1+a+a1010=-7;=-7;若若a a4 4=-2,a=-2,a7 7=4,=4,得得a a1010=-8,a=-8,a1 1=1,=1,仍有仍有a a1 1+a+a1010=-7,=-7,综上选综上选D.D.(2)(2)选选B. B. 【通关题组】【通关题组】1.(20141.(2014湛江模拟湛江模拟) )在等比数列在等比数列aan n 中中, ,已知已知a a2 2+a+a3 3=1,a=1,a4 4+a+a5 5=2,=2,则则a a8 8+a+a9 9等于等于( () )A.2A

29、.2 B.4 B.4 C.8 C.8 D.16 D.16【解析】【解析】选选C.C.设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q,q,则则q q2 2= =2,= =2,故故a a8 8+a+a9 9=(a=(a4 4+a+a5 5)q)q4 4=2=22 22 2=8.=8.24523aaaa2.(20142.(2014南昌模拟南昌模拟) )在各项均为正数的等比数列在各项均为正数的等比数列aan n 中中,(a,(a1 1+a+a3 3)(a)(a5 5+a+a7 7)=4)=4a a4 42 2, ,则下列结论中正确的是则下列结论中正确的是( () )A.A.数列数列aan n 是递

30、增数列是递增数列B.B.数列数列aan n 是递减数列是递减数列C.C.数列数列aan n 是常数列是常数列D.D.数列数列aan n 有可能是递增数列也有可能是递减数列有可能是递增数列也有可能是递减数列【解析】【解析】选选C.C.各项均为正数的等比数列各项均为正数的等比数列aan n 中，因为中，因为(a(a1 1+a+a3 3)(a)(a5 5+a+a7 7)=4a)=4a4 42 2成立，即成立，即a a1 1a a5 5+a+a1 1a a7 7+a+a3 3a a5 5+a+a3 3a a7 7=4a=4a4 42 2成立成立. .利用等比数列的定义和性质化简可得利用等比数列的定义和

31、性质化简可得a a3 32 2+a+a4 42 2+a+a4 42 2+a+a5 52 2=4a=4a4 42 2, ,进进一步化简得一步化简得a a3 32 2+a+a5 52 2=2a=2a4 42 2. .设公比为设公比为q,q,则得则得a a1 12 2q q4 4+a+a1 12 2q q8 8=2a=2a1 12 2q q6 6，化简可得，化简可得1+q1+q4 4=2q=2q2 2, ,即即(q(q2 2-1)-1)2 2=0,=0,所以所以q q2 2=1,=1,故故q=1(q=1(由于各项均为正数的等比数列，由于各项均为正数的等比数列，故故q=-1q=-1舍去舍去).).故此

32、等比数列是常数列故此等比数列是常数列. .3.(20143.(2014吉林模拟吉林模拟) )在等比数列在等比数列aan n 中中, ,前前n n项和为项和为S Sn n, ,若若S S3 3=7,S=7,S6 6=63,=63,则公比则公比q q的值是的值是( () )A.2A.2 B.-2 B.-2 C.3 C.3 D.-3 D.-3【解析】【解析】选选A.A.易得易得q1,q1,由题意得由题意得 两式相除得两式相除得1+q1+q3 3=9,=9,所以所以q=2.q=2.3161a 1 q7,1 qa 1 q63,1 q4.4.等比数列的常见性质等比数列的常见性质(1)(1)项的性质项的性质

33、: :a an n=a=am mq qn-mn-m; ;a am-km-ka am+km+k= =a am m2 2 (mk,m,kN(mk,m,kN* *).).a.a.若若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kNm+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN* *),),则则a am maan n=_=_=a ak k2 2; ;b.b.若数列若数列aan n,b,bn n(项数相同项数相同) )是等比数列是等比数列, ,则则aan n,|a,|an n|, ,|, ,a an n2 2,a,an nbbn n, (0), (0)仍然仍然是等是等比数列比数列; ;n1annaba ap pa

34、aq q明明角度角度命题角度命题角度1 1：根据等比数列的性质求基本量根据等比数列的性质求基本量【典例【典例3 3】(1)(2015(1)(2015济南模拟济南模拟) )在各项均为正数的等比数列在各项均为正数的等比数列aan n 中，中， 则则a a3 32 2+2a+2a2 2a a6 6+a+a3 3a a7 7=( )=( )( (本题源于教材必修本题源于教材必修5P58T2)5P58T2)A.4 B.6 C.8 D.A.4 B.6 C.8 D.35a2 1,a2 1 ，8 4 2(2)(2015(2)(2015衡水模拟衡水模拟) )各项均为正数的等比数列各项均为正数的等比数列aan n

35、 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若S Sn n=2,S=2,S3n3n=14,=14,则则S S4n4n等于等于( () )A.80 B.30 C.26 D.16A.80 B.30 C.26 D.16【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.在等比数列中，在等比数列中，a a3 3a a7 7=a=a5 52 2,a,a2 2a a6 6=a=a3 3a a5 5，所以，所以a a3 32 2+2a+2a2 2a a6 6+a+a3 3a a7 7=a=a3 32 2+2a+2a3 3a a5 5+a+a5 52 2=(a=(a3 3+a+a5 5) )2 2= =(2)(2)选选B.B.由等比数列性质得由等比数列性质得, ,S Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n,S,S4n4n-S-S3n3n成等比数列成等比数列, ,则则(S(S2n2n-S-Sn n) )2 2=S=Sn n(S(S3n3n-S-S2n2n),),所以所以(S(S2n2n-2)-2)2 2=2=2(14-S(14-S2n2n).).又又S S2n2n0,0,得得S S2n2n=6,=6,又又(S(S3n3n-S-S2n2n) )2 2=(