数值分析复习题要答案

1、WORD格式第一章1、 ln2 0.69314718，准确到 10 3的近似值是多少？解 准确到 103 0.001，即绝对误差限是 0.05，故至少要保存小数点后三位才可以。ln2 0.693。2、设 x1 6.1025, x280.115均具有 5 位有效数字，试估计由这些数据计算x1 x2，x1 x2的绝对误差限解：记 x1 6.1025, x280.115那么有 | x1x1 | 1 10 4 ,| x2 x2 | 110 322所以 | x1x2 x1 x2 | | x1x2x1 x2x1 x2x1x2 | | x2 | x1x1 | | x1 | x2x2 |专业资料整理WORD格

2、式80.116110 46.102511022| x1 x2 (x1 x2 ) | | x1x1 | | x2x2 | 1 10230.0070574 1 10 3 0.000552专业资料整理WORD格式3、一个园柱体的工件 , 直径 d 为 10.250.25mm,高 h 为 40.00 1.00mm,那么它的体积 V 的近似值、误差和相对误差为多少。解：Vd 2 h,4Vd 2 h240.00 4.000243.142 10.253300.6mm ;d 2 h2dh (d )d2(h)210.25 40.000.25 10.2521.00243.6,(V )444V3300.6243.6

3、mm2(V )243.6r (V )0.0738 7.38%V3300.6第二章：1、分别利用下面四个点的Lagrange 插值多项式和 Newton 插值多项式 N3(x)，计算 L3及 3(0.5)N (- 0.5)x2101f(x)1102解： (1)先求Lagrange插值多项式L3 ( x)l 0 ( x) y0 l1 ( x) y1 l 2 ( x) y2l3 (x) y31 分l 0( x x1 )( x x2 )( x x3 )( x 1)( x 0)( x 1)1( x)x1 )( x0 x 2 )( x0x3 ) ( 2 1)( 2 0)( 2 1)( x 1)( x 1)

4、x ， 2分( x06专业资料整理WORD格式( xx0)( xx2 )( xx3 )( x2)( x0)( x1)l1 ( x)x0)( x1x2 )( x1x3 )( 12)( 10)(1 1)( x1l 2( xx0 )( xx1 )( xx3 )( x2)( x1)( x1)( x)x0 )( x2x1 )( x2x3 )( 02)(01)(01)( x2( xx0 )( xx1 )( xx2 )( x2)( x1)( x0)l 3 ( x)x0)( x3x1 )( x3x2 )(12)(11)(10)( x31 (x 2)(x 1)x2 分21 ( x 2)( x 1)( x 1)

5、2分21 ( x 2)( x 1) x2 分6专业资料整理WORD格式L3 (x)1 (x 1)( x 1) x1 (x 2)( x 1)x1 ( x 2)( x 1) x x33 x21 x 1分621322所以L31 分(0.5)4(2)再求 Newton 插值多项式列均差表如下：xyf xi , x j f xi , x j , xk f x0 , x1 , x2 , x3 x021(2分)x1112分)(2x20013(分22 )x312231(2分)2所以 Nx1 2(x2)3 ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) xx33213 ( )2xx 2分122N3 (0.5

6、)1 分22、求过下面四个点的 Lagrange插值多项式 L3(x)和 Newton 插值多项式 N3(x)。x2101f(x)2111解： 1L 3(x)=lo(x)yo+l 1(x)y1+l 2(x)y2+l 3(x)y31 分li (x)( x x0 )( x 1)( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn )( xix0 )( xix1 )( xixi 1 )( xixi 1 )( xixn )得出 lo ( x)1x( x1)( x1) 2 分l1( x)1x(x2)( x1)2 分62l 2 ( x)1 x( x 2)( x 1)( x 1) 2分 l3 ( x)1x(

7、 x 2)( x 1) 2分26 L3 ( x)1x( x 1)( x 1)1x(x 2)( x 1)1( x 2)( x 1)( x 1) 1x( x 2)( x 1)32261 分2N3(x)a0a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) a3 ( x x0 )( x x1 )( xx2 ) 1分专业资料整理WORD格式a0 f ( x0 )22 分a1f ( x0 )f (x1 )x03x1f (x0 )f (x1 )f ( x1 )f ( x2 )x0x1x1x23a2x0x2 2 分，a32 N 3 ( x)2 3(x2)3 ( x2)( x1)1 ( x 2)(

8、 x262 分162 分1) x 1分专业资料整理WORD格式第三章1、令f ( x)xx1，且设p( x)a 0a1x ，求e , 1a 0 , a1使得p( x)为 f( x)在-1，1上的最正确平方逼近多项式。2数据对(7，3.1)，(8，4.9)，(9，5.3)，(10，5.8)，(11，6.1)，(12，6.4)，(13，5.9)。试用二次多项式拟合这组数据。解： y 0.145x2 3.324x 12.794专业资料整理WORD格式第四章：1数据如下表x1.001.011.021.031.04f (x)3.103.123.143.183.24用中心差分公式，分别取h = 0.01、

9、 0.02 计算f(1.02) 解：中心差分公式为ff (xh)f ( xh)2 分( x)2h1取 h=0.01 时，f(1.02)f (1.03)f (1.01)3.183.124 分0.0230.022取 h=0.02 时，f(1.02)f (1.04)f (1.00)3.243.104 分0.043.50.04210 分根据如下函数表X1.01.11.21.31.41.51.6f(x)1.5431.6681.8111.9712.1512.3322.577用中心差分公式，分别取h=0.3，0.1 计算f (1.3)专业资料整理WORD格式解：中心差分公式取 h=0.3 时，取 h=0.1

10、 时，f (xh)f (x h)2 分f (x)2hf (1.30.3)f (1.30.3)1.72334 分f (x)0.6f (1.30.1)f (1.30.1)1.70004 分f (x)0.2专业资料整理WORD格式3分别用复合梯形公式T6S30.61和复合辛普森公式计算定积分dx 的值ba ( fn 10 1x解： T6(0)f ( xn ) 2yi ) 2分2ni 10.60 ( f (0)f (0.6) 2 f (0.1)f ( 0.2) f (0.3)f (0.4) f ( 0.5) )260.470510733 分baf (0.6)4 f (0.1)f ( 0.3) f (0

11、.5) 2 f ( 0.2) f (0.4)S3 f ( 0)6n0.470006383 分f(0)=1 ， f(0.1)=0.9090 ， f(0.2)=.08333 ，f(0.3)=0.7692 ， f(0.4)=0.7142 ，f(0.5)=0.6667 ， f(0.6)=0.6257 分专业资料整理WORD格式4、利用复合4 计算积分11dx取小数点后4 位。Simpson 公式 S0 1x2ba (0)(2)(4n2n)解：Snffy2 i 1y2i 2分6nni1i 1f (0)4.00000 ， f 13.93846 ， f23.76470 ， f33.50685 ，888f43

12、.20000， f52.87640 ， f62.56000， f72.26000 ，8888f (1)2.000009 分S410f (0)f (1)4f1f 3f5f72 f2f4f6)6488888883.14164 分第五章：1、利用列主元消去法求解线性方程组3x12x26 x3410 x17x275x1x25x36计算过程保存到小数点后四位.326410707解： 10707 r1r 21分3 2642 分5156515631070710707r2r100.166.1 2分r2r302.552.5 2分11002.552.50. 1006.26.2r32r1r32. 5r2回代解得x3

13、1， x21 ， x301 分2、用矩阵的 LU 分解法解方程组210x12221x23412x34100u11u12u13解：设 A LUl 21100u21u 221 分l 31l 32100u33专业资料整理WORD格式100210LU1100114 分 LUX =b211001100y12其中设 UX =y，那么 Ly=b110y232 分211y34210x12y=(2, 1,1)TUX=y011x21(2 分)001x31x=(0, 2,1)T 1分5. 用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中解：用解对三角方程组的追赶法公式计算得6. 用平方根法解方程组解：用分解直接算得专业资料整理

14、WORD格式由及求得专业资料整理WORD格式第六章：20 x12x23x3241Gauss-Seidel迭代法求解方程组x18x2x312，取初值x(0 )(0,0,0)T，、用2x13x215x330写出 Gauss-Seidel 迭代格式，求出x(1)，x (2)，计算x(1)x( 2)，并根据原方程组的系数矩阵说明该迭代格式是否收敛2、对方程组10x12x2x332x110x2x315x12x25x3101写出其 Jacobi 迭代格式，并据迭代矩阵的X数， 说明该迭代格式收敛。2写出题中方程组的Seidel 迭代格式，取 x( 0)(0,0,0)T，迭代求出x(1)，x ( 2) ，x

15、 (3) 。 1解：其Jacobi 迭代格式为：专业资料整理WORD格式x1( k1)x2( k1)x3( k1)| M |1收敛1 x2( k )1 x3(k )3011510105101 x1( k )1 x3(k )35 分M1016 分51025101 x1( k )2 x2( k )21205555312分51 分专业资料整理WORD格式 2解：其Seidle 迭代格式为：专业资料整理WORD格式x1( k 1 )1 x2(k )1 x3( k )510x2( k 1 )1 x1( k 1)1 x3(k )510x3( k 1 )1 x1( k 1)2 x2(k 1)5531035

16、分22专业资料整理WORD格式x ( 0 )(0, 0, 0) T专业资料整理WORD格式xx(1)(0.3, 1.56, 2.684) T2 分( 2 )(0.8804, 1.94448, 2.953872) T 2分专业资料整理WORD格式x ( 3 )(0.9842832, 1.99224384, 2.993754176) T1 分3对方程组8x1x2x31x15x2x316x1x24x37 1写出其 Jacobi 迭代格式，并根据迭代矩阵的X数，说明该迭代格式收敛。 2写出 Seidel 迭代格式，取 x ( 0 )(0,0,0) T，迭代求出x(1 )；计算x0x1。专业资料整理WO

17、RD格式x1( k 1)解： (1)其 Jacobi 迭代格式为x2( k 1)x3( k 1)01188迭代矩阵为101M5511044|M |1所以1 2 分41 x2(k )1 x3(k )18881 x1(k 1)1 x3(k )165 分5551 x1(k 1)1 x2(k )74442分Jacobi 迭代格式收敛1 分专业资料整理WORD格式(2)其 Seidel 迭代格式为：将x( 0)(0, 0, 0)T代入得所以x1( k 1)1 x2(k ) 1 x3(k )1888x2(k 1)1 x1( k 1)1 x3(k )165 分555x3(k 1)1 x1(k 1)1 x2(

18、k )7444x (1)(1 ,129 ,514 )T3 分840160x (0)x (1)5142 分160专业资料整理WORD格式5.用 SOR方法解方程组( 取 =1.03)专业资料整理WORD格式准确解，要求当时迭代终止.专业资料整理WORD格式解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为专业资料整理WORD格式取，当时，迭代5次达到要求第七章1利用牛顿迭代法求方程x31.1x20.9x1.40 的近似根，取初值x0 1 进展计算，使误差不超过 103解：牛顿迭代格式为：xk 1xkf (xk )1 分；f ( xk)利用牛顿迭代法求解，将x0 1代入，得f (1)0.738 1分，x2f

19、(0.738)0.674 1分x1 10.738f (1)f (0.738)x30.674f ( 0.674)0.671 1分，1分f (0.674)所以取x0.671f (0.671)0.671 2分x4 0.671(0.671)f2、求方程x4x 10 0在1.5 ，2内的近似解：取 x0=2，用 Newton 迭代法迭代三次，求出 xx3。专业资料整理WORD格式解：牛顿迭代法公式xn 1xnf (xn )1 分f (xn )f ( x) x4x 10 ， f ( x) 4x311 分Newton 迭代公式： xn 1 xnxn4xn103xn4103 分4xn314xn31x0=2 代

20、入 x1=1.870967742 1 分 x2=1.855780702 1 分 x3=1.855584561 1 分x x3=1.85558 2 分第九章 :x21、应用 Euler 方法计算积分et dt 在点x = 0.5, 1, 1.5, 2时的近似值.02、用改进的 Euler 公式，求初值问题yxyy(0)1在 x1=0.1，x2=0.2，x3=0.3 三点处的数值解即当 x0=0，y0=1，h=0.1 时，求出 y1，y2， y3y pynhf (xn , yn )解：改进的欧拉公式：yn 1ynh f (xn , yn )f ( xn 1 , y p )2 分2初值 x0=0 ，

21、 y0=1ypyn0.1( xn , yn )2 分yn 1yn0.05( xnyn )( xn 1 , y p )x0=0， y0 =1， yp=1.13 分x1=0.1， y1=1.1+0.051+1.2=1+0.11=1.11yp=1.2313 分x2=0.2， y2=1.24205yp=1.386253 分x3=0.3， y3=1.398465252 分、用改进的Euler公式，求初值问题y x2 y1在 x1，2，3三3y(0)0=0.2x =0.4 x =0.6专业资料整理WORD格式点处的数值解即当x0=0，y0=0，h=0.2 时，求出 y1，y2，y3。专业资料整理WORD格

22、式y pynhf ( xn , yn )解：改进的欧拉公式：ynh f ( xn , yn )3 分yn 1f ( xn 1 , y p )2将 f (x, y) x 2y 1代入得y pyn0.2( xn2 yn1)yn 1yn0.1 xn2 yn2 分1 xn 1 2 y p 1当 x0 =0， y0=0 时，yp=0.22 分x1=0.2， y1=0.26， 2 分yp=0.6041 分x2=0.4， y2=0.5928， 2 分yp=1.109911 分x3=0.6， y3=1.233442 分4、用欧拉方法求解常微分方程初值问题，取h=0.2 ，计算准确到4 位小数y12 y 2y(0)1 x20y00yk 1yk h12 yk2, k 0,1, 2, 3, 41 xk2xkyk000.20.20000.40.37630.60.49210.80.54231.00.5466yy 25、微分方程初值问题，用改进的欧拉方法求 y( 0.2), y(0.4)y( 0)11的近似值，即 h=0.2 ，计算二步 , 并与准确解 :y2比较计算准确到1 x专业资料整理WORD格式4 位小数专业资料整理WORD格式y01, h0.2yk(01)yk0.2 yk22yk 1yk0.1 yk(01)yk2,