第十九章含参数的积分(精)

1、第十九章含参变量的积分1含参变量的正常积分1 求下列极限：(1)lim1x2a2 dx ；a01(2)lim2x2 cosax dx ；0a0(3)lim1 adx2 .a2a01xa2求 F ' ( x) ，其中：(1)F ( x)x2e xy2dy ；x(2)F ( x)cos x ex1y2dy ；sin x(3)F ( x)bx sin( xy)axydy ；(4)xx2f (t , s)dsdt .0t23设 f ( x) 为连续函数，1xxF ( x)20f (x)d d ，h0求 F '' ( x) .4研究函数1yf ( x)dxF ( y)y20 x2

2、的连续性，其中f ( x) 是 0， 1上连续且为正的函数 .5应用积分号下求导法求下列积分：(1)2 ln(a2sin2 x)dx (a 1);0(2)ln(12a cos xa2 )dx (|a |1) ；0(3)2 ln(a2 sin2 xb2 cos2 x)dx(a,b 0)；0(4)2arctan(a tan x)0dx (|a | 1) .tan x6应用积分交换次序求下列积分：1 xbxa(1)dx (a 0, b 0) ；0 ln x1ba(2)1x xdx (a 0, b 0) .sin ln0xln x7设 f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数：(1) F ( x)x(x

3、 y) f ( y)dy ；0b(2) F ( x)f ( y) | xy |dy ( ab) ；a11x2y22 dy11x28证明：dx22)dy(x200 ( xy009设 F ( y)1x2y2 dx ，问是否成立ln0y 2y2 )2 dx .F '1ln x2y2 |y 0dx .(0)0y10设F (x)2ex cos cos( xsin )d0求证 F ( x)2.11设 f ( x) 为两次可微函数，( x) 为可微函数，证明函数u(x,t )1 f ( x at) f (x at)122a满足弦振动方程2ua22ut 2x2及初始条件x at( z) dzx atu

4、(x,0)f (x), ut (x,0)(x) .2 含参变量的广义积分1证明下列积分在指定的区间内一致收敛：(1)cos( xy)dy( xa 0) ；x2y20(2)cos( xy)dy(x) ；1y20(3)yxe ydy( axb) ；1(4)exy cos y( p0, x0) ；pdy1y2(5)sin xp dx ( p0) .01x2讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：(1)e x2dx (0) ；0(2) xe xy dy ，0（ i） x a, b ( a0) ，（ ii ） x0, b ；(3)e ( x)2dx ，（ i ） ab ，（ ii）；(4)e x2 (1y

5、2 ) sin xdy (0x) .03设 f (t) 在 t0 连续，tf (t )dt 当a,b 皆收敛，且 a b 。0求证：t f (t )dt 关于在 a, b 一致收敛 .04讨论下列函数在指定区间上的连续性：(1)F ( x)x2 dy ， x(,) ；0x2y(2)F ( x)y2x dy ， x3 ；01 y(3)F ( x)sin ydy， x(0,2) .0yx (y) 2 x5若 f ( x, y) 在 a,b c, ) 上连续，含参变量广义积分I ( x)f ( x, y)dyc在 a,b) 收敛，在 x b 时发散，证明I ( x) 在 a,b) 不一致收敛 .6含

6、参变量的广义积分I ( x)f ( x, y) dy 在 a, b 一致收敛的充要条件是：对任一c趋于的递增数列 An （其中 A1c ），函数项级数An 1f ( x, y)dyun (x)n 1Ann 1在 a,b 上一致收敛 .7用上题的结论证明含参变量广义积分I ( x)f ( x, y) dy 在 a,b 的积分交换次序c定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）.8利用微分交换次序计算下列积分：(1) I n(a)dx（ n 为正整数， a0 ）；( x2 a)n 10(2)e axe bx0, b0 ）；xsin mxdx （ a0(3)xe x2sin bxd

7、x (0 ).09用对参数的积分法计算下列积分：(1)e ax2e bx20, b0 ）；dx （ a0x(2)e axe bx0, b0 ）.xsin mxdx （ a010利用12e y (1 x2 ) dy 计算拉普拉斯积分1 x0cos2x dxL01x和Lx sin x dx .101x211利用12e xy2dy( x0) 计算傅伦涅尔积分x0Fsin x2 dx1sin x dx020x和Fcos x2 dx1cos x dx .1020x12利用已知积分0sin x dx，e x2dxx202计算下列积分：(1)sin 4x0x2dx ；(2) 2sin y cos yx dy

8、 ；0 y(3)2x2(a0) ；x edx0(4)e ( ax2bxc) dx ( a 0) ；0( x2a2)dx( a0) .(5)ex213求下列积分：(1) 1 et costdt ；0 t(2) ln(1 x2 ) dx .0 1 x214证明：(1)1ln( xy) dy 在 1,b(b 1) 上一致收敛；0bdx(2)1在 ( , b(b1) 上一致收敛 .y0 x3 欧拉积分1利用欧拉积分计算下列积分：1dx；(1)011x 41xx2 dx ；(2)01x3 (1x)dx ;(3)0ax2a2x2 )dx ( a 0) ；(4)0(5)2 sin6 x cos4 xdx ；0dx(6)01x4 ；(7) x2ne x2 dx （ n 为正整数）；0(8)dx；03cos x(9)2 sin2 n xdx（ n 为正整数）；01ln 1n 1dx ( n 为正整数 ).(10)xm0x2将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域：(1)xm 1dx ；02xn(2)1dx；0n 1xm(3)2 tann xdx ；0