等比数列的性质

1、.教学容【知识结构】1等比数列 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示（ q0），即： an=q（q0）an11 “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) a成等比数列an 1 q（n N , q0n=an2 隐含：任一项 an 0且 q 0“ an 0”是数列 an 成等比数列的必要非充分条件3 q= 1 时， a n 为常数2. 等比数列的通项公式1:ana1qn 1 (a1 q0)3. 等比数列的通项公式 2: an am qm 1 (a1 q 0)4既是等差又是等比数列

2、的数列：非零常数列5 等比中项： 如果在 a 与 b 中间插入一个数G，使 a, G，b 成等比数列，那么称这个数 G为 a 与 b 的等比中项.G ± ab （a b 同号）即 =,如果 在 a 与 b 中 间插 入一 个数 G， 使 a, G， b 成 等比 数列 ，则GbG 2ab Gab ，aG反之，若 G2 =ab, 则 Gb ，即 a, G, b 成等比数列aGa G b成等比数列G2 ab（a·b ） ,=0.6 等比数列的性质： 若 m+n=p+k，则 am ana p ak在等比数列中， m+n=p+q， am , an , a p , ak 有什么关系呢

3、？由定义得： am a1 qm 1an a1q n 1a p a1q p 1ak a1 qk 1am an22a1 qm n 2， a p ak a1 q p k 2则 amana p ak7 等比数列的增减性： 当 q>1,a1 >0 或 0<q<1,a1 <0 时, an 是递增数列; 当 q>1,a1 <0, 或 0<q<1,a1 >0 时 , an 是递减数列 ; 当 q=1 时, an 是常数列 ; 当 q<0 时, an 是摆动数列 ;【热身练习】求下列各等比数列的通项公式：1.a1 = 2,a3 = 82.a1 =

4、5,且 2an 1 = 3 an3. a1=5, 且 an 1nann 1解： 1. a3a1q 2q 24q2an( 2) 2n 12n 或 an( 2)( 2) n 1( 2) n2.qan 13又： a15an5 (3) n 1an223.an 1na21a32,ann 1ann 1a1,an 1n2 a23.1 5以上各式相乘得： ann a1 n【例题精讲】例 1 已知 an , bn 是项数相同的等比数列，求证an bn 是等比数列 .证明：设数列an 的首项是 a1 ，公比为 q1 ; bn 的首项为 b1 ，公比为 q2 ，那么数列 an bn 的第 n 项与第 n+1 项分别

5、为：a1 q1n 1 b1 q2 n 1与 a1 q1n b1q2 n即为 a1b1 (q1q2 )n 1 与 a1 b1 (q1q2 ) nan 1 bn 1a1b1 (q1 q2 ) nq1q2.an bna1 b1 (q1q2 )n 1它是一个与 n 无关的常数，所以an bn 是一个以 q1 q2 为公比的等比数列 .例 2 已知： b 是 a 与 c 的等比中项，且 a、b、c 同号，求证： abc ,abbcca , 3abc也成等比数列33证明：由题设： b2=ac得：abc3 abcabc3 b3abb2bc( abbc ca ) 23333 abc ,abbcca , 3ab

6、c也成等比数列33例 3 (1) 已知 an 是等比数列，且 an 0 , a2 a4 2a3 a5 a4 a6 25 ,求 a3 a5(2) a c, 三数 a, 1, c 成等差数列， a 2 ,1, c 2 成等比数列，求aca2c2解： (1) 是等比数列，an a2 a4 2 a3 a5 a4 a6 ( a3 a5 ) 2 25,又 an >0, a3 a5 5;(2) a, 1, c成等差数列 , a c 2,又 a 2 , 1, c2 成等比数列 ,a2 c 2 1,有 ac 1 或 ac 1,当 ac1 时 , 由 a c 2 得 a1, c 1, 与 ac矛盾， ac

7、1,a 2c 2(ac)22ac6.ac12c 2.a3012n 1例 4 已知无穷数列 10 5,10 5,10 5,105,，求证：（1）这个数列成等比数列（ 2）这个数列中的任一项是它后面第五项的1 ，10（ 3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中n11an10 510 5（常数）该数列成等比数列证：（1）n2an1105（2）an10an 510n1510 1 1 ，即： an1 an 5n451010p 1q 1pq 2（3） a p aq105105105， p,qN ， p q 2 p q 1 1 且 p q 1N ，pq 2n1 10510 5，（第 pq1项）例 5 设 a

8、, b, c, d 均为非零实数， a 2b2d 22b ac db2c20 ，求证： a,b,c 成等比数列且公比为 d证一：关于 d 的二次方程 a2b2 d 22b ac db2c20 有实根，4b2 a c 24 a 2b 2 b 2c20 ， b 220ac则必有： b 2ac0 ，即 b2ac， a, b,c 成等比数列设公比为 q ，则 baq ， caq2代入a2a2 q 2 d 22aq a aq2 d a 2 q 2a2 q 40 q21 a20 ，即 d 22qd q 20 ，即 d q 0证二： a 2b 2d 22b ac db 2c 20.2d22b22d22c20

9、 aabdbbcd adb 2bdc 20， adb ，且 bd c a,b, c, d 非零， bcdab例 6设 Sn 为数列 an 的前 n 项和， Snkn2n ， nN * ，其中 k 是常数（ 1） 求 a1 及 an ；（ 2）若对于任意的 m N * ， am ， a2 m ， a4m 成等比数列，求 k 的值解（ 1）当 n1, a1S1k1，n2, anSnS1kn 2n k (n1)2(n1)2kn k1（ ）n经验，n1, （ ）式成立，an2knk 1（2）am , a2 m , a4 m 成等比数列，a2m2am .a4m ，即( 4kmk1) 2(2k1)(8km

10、k1)，整理得： mk ( k1) 0，km对任意的 mN成立，k0或k1例7在等差数列a 中，若a ，则有等式a a a aa a（nn100+=+ +19n12n1219，nN)成立类比上述性质，相应地：在等比数列bn 中，若 b9 ，则.1有等式成立答案：b1b2 bnb1b2 b17n （n ，n*）；17N解：在等差数列 an中，由a100，得 a1 a19a2 a18 ana20 nan 1a19 n 2a100，所以 a1 a2 an a190，即 a1 a2 an a19a18 an 1，又 a1 a19，a2 a18， ， a19n an 1a1a2 an a19a18 an

11、 1 a1 a2 a19 n，.a90a1a2ana1a2a17 nbnb1b2bnb1b2b17 nn17nN*.【备选例题】例 8如图 31，在边长为 l 的等边 ABC中，圆 O1 为 ABC的切圆，圆 O2 与圆 O1 外切，且与 AB，BC相切， ，圆 On+1 与圆 On 外切，且与 AB、BC相切，如此无限继续下去 . 记圆 On 的面积为 an（ n N* ），证明 an 是等比数列；ltan303l 。rn1rn1证明：记 r n 为圆 On 的半径，则 r 1=°=rnrn=sin30 °= ，所以2612r1r（n ），于是 a2l 2anrn21，=

12、r=,()nn111312an 1rn19故 an 成等比数列。点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。例已知数列ab满足：,2n其93an n 4, bn ( 1) (an 3n 21),n 和na =a =1n+1中 为实数， n 为正整数 .（）对任意实数，证明数列an 不是等比数列；（）试判断数列bn 是否为等比数列，并证明你的结论.解：（）证明：假设存在一个实数，使an 是等比数列，则有a22a1a3 , 即( 23) 2( 44)424942490, 矛盾 . 所以 an 不是3999.等比数列 .( ) 解：因为 bn 1 (

13、1)n 1 (an 1（3n 1） 21)2( 1)n (an3n 21)2bn 又33b118 ,所以当 18， b1 0 ( n N+), 此时 bn不是等比数列：当 18 时，b118 0 , 由上可知 bn0 ，ba 12+故当 -18时，数bn( n N ).3列 bn 是以（ 18）为首项， 2 为公比的等比数列 .3点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。例 10 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， 已知对任意的 nN，点 (n, Sn ) ，均在函数 ybxr (b0且 b1,b, r 均为常数 ) 的图像上 .（1）求 r 的值；（2）当 b=2

14、时，记bnn1N )求数列 bn 的前 n 项和 Tn(n4an解: 因为对任意的 nN, 点 (n, Sn ) ，均在函数 ybxr (b0 且 b1,b, r 均为常数) 的图像上 . 所以得 Snbnr ,当 n1 时, a1S1b r ,当 n2 时 , anSnSn 1bnr (bn 1r ) bnbn 1(b 1)bn 1 ,又因为 an 为等比数列 ,所以 r1,公比为 b ,所以 an(b 1)bn 1（2）当 b=2 时， an(b1)bn 12n1 ,bnn 1n1n14an42n 12n 1则 Tn234Ln 12223242n 11 T234Lnn12 n2324252

15、n 12n 2相减 , 得 1 Tn2111L1n 12222324252n 12n 2.11123(12n 1 )n131n 12112n242n 12n 22所以 Tn31n 13n 322n2n 122n 1【巩固练习】1.设等比数列 a 的公比 q=2, 前 n 项和为 S , 则S4=15.nna 222.等比数列 a n 中,a 3 =7, 前 3 项之和 S3 =21，则公比 q 的值为1 或-1.23.如果 -1,a,b,c,-9成等比数列 , 那么 b= -3 ,ac= 9 .4. 在等比数列 a n 中，已知 a1a3 a11=8，则 a2a8=4.5.若数列 a n 的前

16、 n 项和 Sn=3n-a ，数列 a n 为等比数列，则实数a 的值是1 .6.设 a1 ,a 2,a 3,a 4 成等比数列，其公比为2， 2a1a2 的值为1.2a3a 44.7. 等比数列 a n 前 n 项的积为 Tn, 若 a3a6a18 是一个确定的常数， 那么数列 T10，T13，T17， T25 中也是常数的项是T 17.8. 在等比数列an 中 , a12 , 前 n 项和为 Sn , 若数列an1 也是等比数列 , 则 Sn等于（ C） .(A) 2n 12(B)3n (C)2n(D)3n1C.提示：因数列an为等比，则 an2qn 1 ，因数列an1 也是等比数列，( an 11)2(an1)(an 21)an 122an 1an an 2anan 2anan 22an 1则an (1q22q)0q1即 an2 ，所以 Sn2n ，故选择答案C。9. 若互不相等的实数 a,b,c 成等差数列， c, a,b 成等比数列，且 a3bc10 ，则 a