第3章连续系统的时域分析

1、信号与系统学习指导第三章 连续系统的时域分析系统分析的主要任务是在给定系统数学模型和外加输入以及系统初始状态的条件下，求解系统的输出响应。在连续系统的时域分析中，用微分方程和状态空间方程来描述系统输入输出信号以及内部状态变量之间的关系。这种分析方法直观易懂，物理概念清楚，是学习各种变换域分析方法的基础。为了简化连续系统微分方程的求解，在时域分析方法中，引入连续系统的算子方程，并由此得到系统的传输算子这一重要的时域模型。根据传输算子可以方便地求解系统的单位冲激响应，并进一步利用卷积运算求解系统在任意输入作用下的响应。本章主要介绍连续LTI系统零输入响应和零状态响应的求解方法和步骤。3.1 基本要

2、求1基本要求 了解连续系统时域分析中所采用的数学模型（微分方程、传输算子）； 了解连续系统的基本运算单元、方框图及其算子模型； 了解电路元件及电路系统的算子模型； 了解连续系统的零输入响应及其求解方法； 掌握单位冲激响应的概念及求法； 掌握零状态响应的求法 了解单位冲激响应和单位阶跃响应的关系。2重点和难点 单位冲激响应的概念及其求解方法3.2 知识要点1连续系统的时域分析模型在系统的时域分析方法，连续系统的基本数学模型是用微分方程来表示。引入特殊的算子（即运算符号）后，可以根据系统的微分方程得到连续系统另外一种重要的时域模型，称为传输算子。此外，系统还可以用图形化的模型来表示其内部结构和功能

3、，称为系统的方框图。这里还将借助于算子得到系统方框图的算子模型。（1）微积分算子在连续系统中，对连续信号的求导和求积分分别用微分算子p和积分算子1/p表示，强调一点，用微积分算子表示信号的微积分时，算子必须写在信号的前面，例如pf(t)不能写为f(t)p。（2）连续系统的算子模型将系统微分方程中的求导用微分算子表示后，得到系统的算子方程，进一步得到系统的传输算子H(p)。传输算子是系统时域分析中采用的基本数学模型，本章介绍系统的零输入响应和单位冲激响应都是根据系统的传输算子直接求解，而不是用数学方法通过微分方程求解。2连续系统的方框图方框图是用一些基本运算单元的组合表示系统对输入信号的运算和变

4、换功能，是系统一种图形化的模型。必须熟悉连续系统中各基本运算单元的表示符号及其代表的运算，能正确分析方框图中各信号之间的运算关系。为了对系统进行分析，求解其响应，必须根据方框图求得系统的数学模型（传输算子、微分方程等）。为了简化数学模型的求取，将方框图中所有的基本运算单元用其算子模型表示，从而得到方框图的算子模型。其中主要是将方框图中的所有积分器用1/p表示。3连续系统的零输入响应零输入响应指的是在系统当前输入为零时，由t=0- 时刻系统的初始状态引起的响应。系统的初始状态一般以零输入响应yx(t)及其各阶导数在t=0- 时刻的取值表示，即yx(0-)、yx(0-)、yx(0-)、。这些取值作

5、为已知数据，用于确定零输入响应中的待定系数。零输入响应的具体函数形式完全决定于系统的特征根。特征根根据系统传输算子的分母多项式求得。每个特征根决定零输入响应中的一项，具体根据特征根是单根还是重根，按以下两式得到零输入响应的函数表达式，即 （3-1） （3-2）4连续系统的单位冲激响应单位冲激响应简称单位响应，指的是在单位冲激信号d (t)作用下系统的零状态响应，记为h(t)。也可以说，单位冲激响应是在系统初始状态为零，由单位冲激信号d (t)引起的输出响应。单位冲激响应完全决定系统的传输算子，因此是系统的另一个数学模型。根据传输算子求解系统单位冲激响应的步骤为：（1）如果H(p)为关于p的假分

6、式，即分子多项式的阶数大于或等于分母多项式的阶数，则先通过长除法（多项式除法）分解为H(p) = H1(p) + H2(p)其中，H1(p)为关于p的多项式，H2(p)为关于p的真分式。（2）关于p的多项式H1(p)中每一项都具有Kpi的形式，由下式直接写出每一项对应的单位冲激响应： （3-3）（3）对真分式H2(p)，根据系统的特征根，用部分分式展开法分解为若干部分分式的叠加，即其中每一项部分分式对应的单位冲激响应由下式直接写出： （3-4）（4）将H1(p)和H2(p)中每一项对应的单位冲激响应直接叠加，得到系统总的单位冲激响应。5连续系统的单位阶跃响应当输入信号为单位阶跃信号，即f(t)

7、= u(t)时，系统的零状态响应称为系统的单位阶跃响应，并记为g(t)。对同一个系统，单位阶跃响应与其单位冲激响应之间互为微积分关系，即 （3-5）6连续系统的零状态响应和全响应零状态响应是在系统初始状态为零时，完全由外加输入信号引起的输出响应，用yf (t)表示。零状态响应等于输入信号与系统单位冲激响应的卷积积分。因此，一旦确定了系统的单位冲激响应，则可由下式求得系统在已知输入信号作用下的零状态响应，即 （3-6）对LTI系统，同时由初始状态和外加输入引起的响应称为全响应，按照前面的方法分别求出零输入响应和零状态响应后，直接叠加即可得到系统的全响应。叠加时，原零输入响应函数表达式后面的附加条

8、件t0可以替换为将表达是直接替换为u(t)。3.3 补充例题例3-1 已知系统的输入输出方程为写出其算子方程及传输算子。解 将方程两边各项分别用微分算子表示后得到系统的算子方程为将其视为代数方程，整理得到则系统的传输算子为说 明：传输算子是在本章求解系统各种响应时所采用的主要数学模型。在将微分方程转换为传输算子时，只要将微分方程按第一章所说的标准形式书写，则可以根据方程直接写出传输算子。例3-2 已知系统的传输算子为写出其算子方程及微分方程。解 由得到则算子方程为或者微分方程为例3-3 已知系统的方框图如图3-1（a）所示。求系统的传输算子。f (t)y(t)a0（a）b1图3-1b0f (t

9、)y(t)1/pa0（b）b1b0x(t)px(t)解 为简化分析，将图中的积分器用其算子模型1/p表示，得到方框图的算子模型如图3-1（b）所示。设中间信号x(t)如图所示，则由图可得由以上两方程消去中间信号x(t)得到则系统的传输算子为说 明：由方框图求系统传输算子的一般方法是：（1）画出方框图的算子模型，其中主要是将方框图中的积分器和微分器都用其算子模型1/p和p表示，其他不变。（2）增设中间信号。一般来说，增设的中间信号的个数比方框图中加法器的个数少1，并且中间信号一般设为积分器的输出信号。（3）分析加法器的输入输出信号，并对每一个加法器列写一个方程。（4）联立求解各方程，消去中间信号

10、，得到y(t)与f(t)的关系方程。（5）将得到的方程与y(t)=H(p)f(t)比较得到传输算子H(p)。例3-4 已知系统的传输算子为求系统的特征根。解 令传输算子的分母多项式等于0，得到系统的特征方程为由此求得系统的特征根为，其中，l1、l3、l4为单根，l2为二重根，并且l3、l4为一对共轭复数根。说 明：特征根直接决定了系统零输入响应的函数形式和系统的单位冲激响应。求特征根的一般方法是，令传输算子的分母多项式等于0，得到特征方程。然后求解特征方程得到特征根。由于特征方程是代数方程，因此特征根可以是单根或重根，可以是实数根或复数根。此外，复数根一定共轭成对出现。例3-5 已知系统的传输

11、算子为分别求出下列初始状态引起的零输入响应yx(t)：（1）yx(0-)=1；（2）yx(0-)=2。解 系统的特征方程为由此求得特征根为l=-2，则零输入响应可设为（1）由yx(0-)=1，令上式中的t=0- 得到则得到零输入响应为，t0（2）由yx(0-)=2得到则得到零输入响应为，t0说 明：零输入响应的函数形式决定于系统的特征根，而幅度大小（即其中的待定系数）决定于初始状态。具体求解步骤为：（1）求特征根，并分析各特征根是单根还是重根；（2）根据特征根，分别按式（3-1）或（3-2）写出零输入响应的函数形式；（3）各特征根对应的零输入响应响应函数相叠加得到系统总的零输入响应；（4）由初

12、始状态确定其中的待定系数；（5）将待定系数代回得到零输入响应；（6）由于零输入响应是由t=0-时刻系统初始状态引起的响应，因此按此步骤得到的是在此时刻以后（t 0）的零输入响应，因此最后应在表达式后面添加限定条件t 0。此例还说明，对LTI系统，零输入响应满足齐次性，即：初始状态放大多少倍，所引起的零输入响应也放大多少倍。由此可知，第一章所说的线性性是分别对系统的零输入响应和零状态响应而言的。也就是说，零输入响应和零状态响应单独考虑，他们分别满足齐次性和叠加性，而一般来说，系统的全响应是不满足齐次性和叠加性的。例3-6 已知某LTI系统输入信号f(t)与输出信号y(t)之间的关系为求系统的单位

13、冲激响应h(t)。解 根据单位冲激响应的定义，当f(t)=d(t)时，系统的零状态响应即为单位冲激响应。因此，在上式中令f(t)=d(t)，则说 明：本例主要熟悉单位冲激响应的定义。例3-7 已知系统方框图的算子模型如图3-2所示，求系统的单位冲激响应h(t)。f (t)y(t)1/p1/p2p2x(t)x(t)p(t)图3-2解 为求单位冲激响应，首先应求得系统的传输算子。为此，在方框图中设中间信号x(t)，并将两个积分器的输入表示为px(t)和p2x(t)。由方框图求得消去中间信号x(t)，并整理得到则系统的传输算子为由此求得单位冲激响应为说 明：在时域求解系统的单位冲激响应，首先必须求出

14、系统的传输算子。而题目上可能已知的是系统的微分方程、方框图、方框图的算子模型、电路图等。必须用前面的方法和步骤求出传输算子。求出传输算子后，应分析：传输算子是否为假分式（分子的阶数高于或等于分母的阶数）; 求各特征根及其重数。具体解答时，可以仿照此例直接将传输算子做分解和变换，然后按照标准的步骤和式（3-3）、（3-4）直接写出单位冲激响应。例3-8 如图3-3所示LTI系统，已知子系统A的单位阶跃响应为gA(t)=u(t-1)，子系统B的单位冲激响应为hB(t)=u(t)。求整个系统的单位冲激响应h(t)和单位阶跃响应g(t)。Af (t)By(t)图3-3x1(t)x2(t)解 根据单位冲

15、激响应的定义，在整个系统的输入端加入d(t)，此时系统输出端得到的即为系统的单位冲激响应h(t)。为此，令f(t)=d(t)，则因此得到整个系统的单位冲激响应为整个系统的单位阶跃响应为说 明：本例不能求出系统的传输算子，因此应根据定义求解系统的单位冲激响应和单位阶跃响应。本例中同时用到了单位冲激响应和单位阶跃响应的关系，即单位冲激响应等于单位阶跃响应的导数，单位阶跃响应等于单位冲激响应的积分。此外，还用到了系统在任意输入作用下的零状态响应的求解方法。例3-9 如图3-4所示LTI系统。（1）求初始状态yx(0-)=-2引起的零输入响应yx(t)；（2）求在作用下的零状态响应yf(t)；（3）求

16、系统的完全响应y(t)。图3-4f (t)y(t)1/p3x(t)px(t)解 由方框图首先求得系统的传输算子为（1）由传输算子求得特征根为l1=-1，则可设令t=0-，代入已知的初始状态得到，则（2）因为则系统的单位冲激响应为因此（3）全响应为3.4 补充练习3.1填空1）连续系统的时域分析模型主要有 、 、 和 。2）在方框图的算子模型中，微分器用 表示，积分器用 表示。3）外加输入为零时，完全由系统的初始状态引起的响应称为 响应；系统的初始状态为零时，完全由外加输入引起的响应称为 响应。4）系统的初始状态为零，外加输入等于单位冲激信号时的响应称为 响应。5）由单位冲激信号引起的 响应称为系统的单位冲激响应。6）由 信号引起的 响应称为系统的单位冲激响应。7）对LTI系统，零输入响应与零状态响应的叠加称为 响应。8）设外加输入为f(t)，单位冲激响应为h(t)，则系统的零状态响应为yf(t)= 。9）设系统的传输算子为，则单位冲激响应h(t)= 。10）设系统的传输算子为，则单位冲激响应h(t)= 。3.2 已知