线性代数的应用案例

1、.案例一已知不同商店三种水果的价格、 不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：商店 A商店 B苹果橘子梨人员 A人员 B苹果0.100.15人员 A5103城镇11000500橘子0.150.20人员 B455城镇 220001000梨0.100.10第一个矩阵为A，第二个矩阵为B，而第三个矩阵为C。（ 1）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？（ 2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？解：（ 1）设该矩阵为 D，则 D=BA，即：5100.100.153.0532.30D50.150.202.10451.650.100.10此结果说

2、明，人员 A 在商店 A 购买水果的费用为 3.50 ，人员 B 在商店 A 购买水果的费用为 1.65 （2）设该矩阵为 E，则 E=CB，即：2.30 ，人员 A 在商店 B 购买水果的费用为，人员 B 在商店 B 购买水果的费用为 2.10 。10005005103E100045520007000125005500140002500011000此结果说明， 城镇 1 苹果的购买量为7000，城镇 1 橘子的购买量为12500，城镇 1 梨的购买量为 5500；城镇 2 苹果的购买量为14000，城镇 2 橘子的购买量为25000，城镇 2 梨的购买量为 11000。题后说明：这是一个矩阵

3、的具体应用问题。其实很显然在没有矩阵的知识前，我们也可以解出这一简单的问题。此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1 和城镇 2）；城镇 1 中有人员 A（ 1000 人）和人员 B（ 500 人），城镇 2 中有人员 A（ 2000人）和人员 B（ 1000 人）；人员 A 需苹果、橘子和梨分别 5、10 和 3，而人员 B 需苹果、橘子和梨分别 4、5 和 5；现不妨假设每个城镇中都有两个商店（商店 A 和商店 B），每个商店的苹果、橘子和梨的价格均不相同。商店A 中苹果、橘子和梨的价格分别为每斤0.10 、0.15 和 0.10 ，而商店 B 中苹果、橘子和梨的价格分别为0.15 、 0.

4、20 、0.10 。现问 :（ 1）每个商店每个人购买水果的费用是多少？（2）每个城镇每种水果的购买量是多少？解：（ 1）商店 A：人员 A 购买水果的费用为：50.10100.1530.102.30人员 B购买水果的费用为：40.1050.1550.101.65.商店 B:人员 A 购买水果的费用为：50.15100.2030.103.05人员 B 购买水果的费用为：40.1550.2050.102.10此时如果用矩阵表示的话，有：商店A商店B人员 A2.303.05人员 B1.652.10显然答案与用矩阵算出来的是一致的；同理对于（2）也是一样的。然而， 不难看出利用矩阵求解此问题要简单明

5、了的多。就此问题而言，数据简单且较少，如果是更为复杂的问题，如：假设这里的城镇有10 个，商店有50 个的话。 显然用一般解法是很繁琐的，而用矩阵求解仍是只需要一个算式即可。案例二某文具商店在一周所售出的文具如下表，周末盘点结账，计算该店每天的售货收入及一周的售货总账.文具星期单价（元）一二三四五六橡皮(个)1585112200.3直尺（把）152018168250.5胶水（瓶）2001215431解由表中数据设矩阵1585112200.3 B0.52001215431则售货收入可由下法算出.1515203282000.312.45181222.5AT B0.5116

6、15123.3128411.62025321.5所以，每天的售货收入加在一起可得一周的售货总账，即3212.422.523.311.621.5123.（3元）案例三某工厂检验室有甲乙两种不同的化学原料，甲种原料分别含锌与镁10%与 20%，乙种原料分别含锌与镁10%与 30%，现在要用这两种原料分别配制AB两种试剂，A 试剂需含锌镁各2 克，5 克，B 试剂需含锌镁各1 克，2 克. 问配制 AB两种试剂分别需要甲乙两种化学原料各多少克？解：设配制 A 试剂需甲乙两种化学原料分别为x，y 克；配制 B 试剂需甲乙两种化学原料分别为s，t 克；根据题意，得如下矩阵方程0.10.1xs210.20

7、.3yt520.10.1xs21， 则 XA1B，设 A, Xy, B520.20.3t下面用初等行变换求A 1 ，0.10.11010r1111000.20.30110r223010即 A 13010，2010r2 2 r11110 0r1 r2103010012010012010.xs3010211010所以 Xt201052100y即配制 A 试剂分别需要甲乙两种化学原料各10 克，配制 B 试剂需甲乙两种化学原料分别为 10 克， 0 克 .案例四一百货商店出售四种型号的T 衫：小号，中号，大号和加大号. 四种型号的T 衫的售价分别为： 22 元，24 元，26 元，30 元 . 若商

8、店某周共售出了13 件 T 衫，毛收入为 320 元 . 已知大号的销售量为小号和加大号销售量的总和，大号的销售收入也为小号和加大号销售收入的总和，问各种型号的T 衫各售出多少件？解设该 T 衫小号，中号，大号和加大号的销售量分别为xi (i1,2,3, 4) ，由题意得x1x2x3x41322x124x226x330x4320x1x3x4022x126x330x40下面用初等行变换把A 化成行简化矩阵11111322242630320A0110122026300r222r1, r3r1r422r1111113024834012013022488286111113r 2r30120130248

9、34022488286r32r2r422r21111130120130008800480.111113r3r4 0 1 2 0 13 00480000881r2 , 4r31 r481111130120130012000011r32r4r1r41110120120130010200011r22r3r1r31100101000101009r1 r20100900102001020001100011所以方程组解得x11x29x32x41因此 T 衫小号，中号，大号和加大号的销售量分别为1 件， 9 件， 2 件和 1 件.案例五一个牧场， 12 头牛 4 周吃草 10/3格尔， 21 头牛 9 周

10、吃草 10 格尔，问24格尔牧草，多少头牛 18 周吃完？ ( 注: 格尔牧场的面积单位)解设每头牛每周吃草量为x ，每格尔草地每周的生长量( 即草的生长量 ) 为y ，每格尔草地的原有草量为a ，另外设 24格尔牧草， z 头牛 18 周吃完124x10a / 310 / 34 y则根据题意得219x10a109 y其中 ( x, y, a) 是线性方程组的未知数z18x24a2418 y144x40 y10a0化简得189x90 y10a018zx432 y24a0根据题意知齐次线性方程组有非零解，故r (A)3 , 即系数行列式.144401018990100 ，计算得 z36 .18z

11、43224所以 24 格尔牧草 36 头牛 18 周吃完案例六田忌和齐王赛马双方约定出上、中、下三个等级的马各一匹进行比赛，比赛共 3 场，胜者得一分，负者 -1分。已知在同一等级的马进行赛跑，齐王可稳操胜券，另外，齐王的中等马对田忌的上等马，或者齐王的下等马对田忌的中等马，则田忌赢。 齐王和田忌在排列赛马出场顺序时各取下列6 种策略之一： 上、中、下 上、下、中 中、上、下 中、下、上 下、中、上 下、上、中 若将这 6 种策略从1 到 6 依次编号，则可写出齐王的赢得矩阵311111131111113111A113111111131111113案例七甲乙两超市销售三种奶粉的日销售量见下表奶

12、粉一奶粉二奶粉三5810甲超市5810抽象为矩阵 A735乙超市735单价与利润见下表单价利润151奶粉一151抽象为矩阵 B121奶粉二121202奶粉三202求甲乙两超市销售奶粉总收入与总利润收入利润甲5158121020371518110233乙71531252024171315220581015137133由此得矩阵 CAB12173524120202.案例八 -机床定模型兴兴机械厂生产甲乙丙三种规格机床，其价格和成本见下表甲乙丙单价（万元每台）765成本（万元每台）64.54一月份，工厂收到和三地的订购数量如下表甲机床（台）457乙机床（台）568丙机床（台）349请计算各地订购三种

13、机床的总价值总成本和总利润各是多少。案例九 -军事通讯中的加密与解密军事讯中，需要将字符转化成数字，所以这就需要将字符与数字一一对应，如：abcd.xyz1234242526如 are 对应的矩阵 B=（1 18 5 ），如果直接按这种方式传输，则很容易被敌人破译而造成巨大的损失， 这就需要加密， 通常的做法是用一个约定的加密矩阵 A 乘以原信号矩阵 B，传输信号时，不是传输的矩阵 B，而是传输的转换后的矩阵 C=ABT , 收到信号时，再将信号还原。如果敌人不知道加密矩阵， 则他就很难弄明白传输的信号的含义。设-101收到的信号为C= 21 27 31T , 并且已知加密矩阵是 A= 011

14、, 问111原信号 B 是什么？解答：由加密原理知：BT =A -1 C.-10110 0-101100-10110 001101001101001101011100 101 21 010 011-1 1-10001-11 000-110 10-12-1010-12-10 011-110011-110-11从而得到 A -1 = -12-11-110-11214所以BT =A -1C= -1 2 -127= 21-113125所以 B=4225，信号为 dby.案例十 -信点兵有兵一队，人数在 500 到 1000 人之，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问这队士兵多少人？案例十一 -商

15、品市场占有率有两家公司 R 和 S 经营同类产品， 他们相互竞争， 每年 R 公司保有四分之一的顾客， 而四分之三转移到 S 公司，每年 S 公司保有三分之二的顾客， 三分之一转移向 R 公司。当产品开始制造时 R 公司占有五分之三的市场份额， 而 S 公司占有五分之二的市场份额， 问两年后， 两家公司占有的市场份额变化怎样？五年后又怎样？是否有一组初始市场份额分配数据使以后每年市场份额分配额定不变？解答：两年后市场份额R和 S 公司分别为31%和 69%，五年后市场份额R 和 S 公司分别为31%和 69%， R和 S 两家公司市场稳定的初始份额为十三分之四约为31%和十三分之九约为69%。

16、案例十二 -工人工资定价问题现有一个木工、一个电工、一个油漆工三人相互同意彼此装修他们自己的房子，在装修之前，他们约定：(1) 没人总共工作 10 天( 包括给自己家干活在 ) ；(2) 每人的日工资根据一般的市价在6080 元之间； (3) 每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等，下面的表格是他们工作天数的分配方案，根据分配方案表，确定他们每人的日工资 .天数工种木工电工油漆工.在木工家的工作天数216在电工家的工作天数451在油漆工家的工作天数443解：设 x1, x2 , x3 分别表示木工、电工、油漆工的日工资，根据总收入等于总支出，建立方程组2 x1x26x310 x14x15x2x310 x2整理得齐次线性方程组4x14x23x310x38x1x26x304x15x2x30解出方程组的全部解为4x14x27x3031x1368x2k其中 k 为任意实数 ).(9x31由于日工资在 6080 元之间，故取 k72 , 得日工资分别为x162, x264, x372 .案例十四一制造商生产三种不同的化学产品A、B、C，每种产品都需要经过两种机器M和N的制作。而生产每一吨不同的