解析几何题型小结

1、椭圆.与几何结合一、椭圆的对称性1已知椭圆C：=1（ab0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cosABF=，则C的离心率为（）ABCD二.设角，利用三角函数2设F1、F2分别为椭圆+=1的左、右焦点，c=，若直线x=上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（）A（0，B（0，C，1）D，1）3.（2014江西二模）已知两点F1（1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有

2、且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1Ml，F2Nl求四边形F1MNF2面积S的最大值三、长度、面积关系转化（一）绕来绕去4已知P为椭圆上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，B为椭圆右顶点，若PF1F2平分线与PF2B的平分线交于点Q（6，6），则=_（二）拆、补线段关系5（2014重庆三模）已知圆M：（x）2+y2=r2（r0）若椭圆C：+=1（ab0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为（）求椭圆C的方程；（）若存在直线l：y=kx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且|AG|=|BH|，求圆M半径r的取值范围6（2008石景山区一模）

3、如图，设F是椭圆的左焦点，直线l为左准线，直线l与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知，且（）求椭圆的标准方程；（）过点P作直线与椭圆交于A、B两点，求ABF面积的最大值（三）用坐标表示面积7.（2014合肥一模）已知ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p0）上，且抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+nym=0（m，n为常数且m0）（）求p的值；（）O为抛物线的顶点，OFA、OFB、OFC的面积分别记为S1、S2、S3，求证：为定值8.（2014四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，=2（其中O为坐标原点），则ABO与AFO面积之

4、和的最小值是（）A2B3CD9.已知曲线C1：，曲线C2：曲线C2的左顶点恰为曲线C1的左焦点（）求的值；（）设P（x0，y0）为曲线C2上一点，过点P作直线交曲线C1于A，C两点直线OP交曲线C1于B，D两点若P为AC中点求证：直线AC的方程为x0x+2y0y=2；求四边形ABCD的面积10. （2014金华模拟）已知抛物线Q：y2=2px（p0）的焦点与椭圆+=1的右焦点相同（）求抛物线Q的方程；（）如图所示，设A、B、C是抛物线Q上任意不同的三点，且点A位于x轴上方，B、C位于x轴下方直线AB、AC与x轴分别交于点E、F，BF与直线OC、EC分别交于点M、N记OBM、ENF、MNC的面积

5、依次为S1、S2、S3，求证：S1+S2=S311.（2013湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（mn），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，BDM和ABN的面积分别为S1和S2（）当直线l与y轴重合时，若S1=S2，求的值；（）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=S2？并说明理由四、线段比例关系得出坐标关系12.已知椭圆C：+y2=1的短轴的端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M（m，）满足m0，且m±（1）用m

6、表示点E，F的坐标；（2）证明直线EF与y轴交点的位置与m无关（3）若BME面积是AMF面积的5倍，求m的值【第3问中，面积关系转化为线段长度关系，进而用点坐标表示长度，与韦达定理联系。】13.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，），且离心率等于，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点N在线段PQ上（）求椭圆的标准方程；（）设，试求的取值范围五、线性规划思想14.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）（）求椭圆C的方程；（）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与

7、椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围.计算技巧一、利用多个曲线方程联立15.（2014江西模拟）若两曲线在交点P处的切线互相垂直，则称呼两曲线在点P处正交设椭圆+=1（0b2）与双曲线y2=1在交点处正交，则椭圆+=1的离心率为（）ABCD1二、怎么设？（一）直接求点16.已知曲线C上任意一点P到两定点F1（1，0）与F2（1，0）的距离之和为4（）求曲线C的方程；（）设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M（4，0）作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点 （）证明：kkON为定值； （）是否存在实数k，使得

8、F1NAC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由【本题由于（）问中已经得出了N点坐标，F1、N、A、C点中仅A点坐标未知，若再设直线会更加麻烦，那么求出N点坐标，将A代入，利用椭圆的范围可以进行求解】17.已知A，B是抛物线W：y=x2上的两个点，点A的坐标为（1，1），直线AB的斜率为k，O为坐标原点（）若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；（）设C为W上一点，且ABAC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值【第二小问中设出切线方程直接求出交点坐标，不失为一种直接的方法】18.已知抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F，抛物线上一点A的

9、横坐标为x1（x10），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y=于点M，当|FD|=2时，AFD=60°（）求证：AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；（）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值19.（2014潍坊模拟）如图，椭圆C1：的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长C2与y轴的交点为M，过点M的两条互相垂直的直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点，交椭圆于D、E两点，（）求C1、C2的方程；（）记MAB，MDE的面积分

10、别为S1、S2，若，求直线AB的方程（二）不设点，设直线20.已知椭圆+=1（ab0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：PF2Q的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由（三）不设直线，设点21.（2014南昌模拟）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点（）如图，点M为椭圆C上的一点，N是MF1的中点，且NF2丄MF1，求点M到y轴的距离；（）如图，直线l：y=kx+m与椭圆C上相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使OPRQ为平行四

11、边形，求m的取值范围22.（2014南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1：=1（ab0）所围成的封闭图形的面积为4，曲线C1上的点到原点O的最短距离为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线M是l上的点（与O不重合）若M是l与椭圆C2的交点，求AMB的面积的最小值【本题设出A坐标，引入参数表示B坐标，再由AB在椭圆上得到了关系式，省去了设直线的麻烦】23.（2014吉林二模）已知椭圆+=1（ab0）的右焦点为F（1，0），离心率e=，A，B是椭圆上的动点（）求椭圆标准方程；（）若直线OA与

12、OB的斜率乘积kOAkOB=，动点P满足=+，（其中实数为常数）问是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标，若不存在，说明理由；（）若点A在第一象限，且点A，B关于原点对称，点A在x轴上的射影为C，连接BC并延长交椭圆于点D证明：ABAD24.（2013北京）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点（）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由（四）以一条直线代替其它直线25.（2014马鞍山一模）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（

13、，）（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围【本题中P、Q点由直线PQ而生,故设PQ斜率,表达OP OQ斜率】26.（2014杭州二模）设抛物线C：y2=2px（p0），A为抛物线上一点（A不同于原点O），过焦点F作直线平行于OA，交抛物线C于点P，Q两点若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|FQ|OA|OB|=_（五）y=kx+m不好解，再试一试x=my+t27.已知定点F1（1，0），F2（1，0），动点P（x，y），且满足|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列（） 求

14、点P的轨迹C1的方程；（） 若曲线C2的方程为（xt）2+y2=（t2+2t）2（），过点A（2，0）的直线l与曲线C2相切，求直线l被曲线C1截得的线段长的最小值28.若点A（1，2）是抛物线C：y2=2px（p0）上一点，经过点B（5，2）的直线l与抛物线C交于P，Q两点（）求证：为定值；（）若点P，Q与点A不重合，问APQ的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由29.（2013浙江）如图，点P（0，1）是椭圆C1：+=1（ab0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1

15、于另一点D（1）求椭圆C1的方程；（2）求ABD面积的最大值时直线l1的方程三、二次方程思想的灵活使用30. 已知椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆上一点，且PF1F2面积的最大值等于2（）求椭圆的方程；（）过点M（0，2）作直线l与直线MF2垂直，试判断直线l与椭圆的位置关系（）直线y=2上是否存在点Q，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由31.（2013怀化二模）在直角坐标平面内，y轴右侧的一动点P到点（，0）的距离比它到y轴的距离大（）求动点P的轨迹C的方程；（）设Q为曲线C上的一个动点，点B，C在y轴上，若QB

16、C为圆（x1）2+y2=1的外切三角形，求QBC面积的最小值.向量问题一、圆上点：与圆心结合32.已知P是椭圆上任意一点，EF是圆M：x2+（y2）2=1的直径，则的最大值为_33.（2014武侯区模拟）已知椭圆C的两个焦点是（0，）和（0，），并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F（）求椭圆C和抛物线E的标准方程；（）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求的最小值【这题推广了方法：除了与圆心联系外，还可以与焦点联系】二、利用向量关系转化为数量关系，代入曲线方程34.如图，已知椭圆E的中心是原点O，其右

17、焦点为F（2，0），过x轴上一点A（3，0）作直线l与椭圆E相交于P，Q两点，且|PQ|的最大值为2（）求椭圆E的方程；（）设=（1），过点P且平行于y轴的直线与椭圆E相交于另一点M，试问M，F，Q是否共线，若共线请证明；反之说明理由.一些关系的处理方法35.（2013广州三模）如图，长为m+1（m0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，点M是线段AB上一点，且（1）求点M的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；（2）设过点Q（，0）且斜率不为0的直线交轨迹于C、D两点试问在x轴上是否存在定点P，使PQ平分CPD？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【第二问中对于条件PQ平

18、分CPD的处理方法是PC、PD斜率互为相反数】36.已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率e=，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2原点到直线A2B2的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2，分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T证明：线段OT的长为定值，并求出该定值【切割线定理的使用会使第三问非常简单】37.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰

19、好是抛物线y2=的焦点PQ过椭圆焦点且PQx轴，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点（1）求椭圆C的方程；（3）当A、B运动时，满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由【这里第三问求k不是像通常一样求出A B坐标，而是得出A P、BP横坐标的关系，即x1+2 x2+2，k的表达式中的y2-y1则用x来代替】、求范围问题的处理方法一、设出未知量，利用点在直线、曲线上消元，只剩一个未知量38.（2014北京）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OAOB，求直线AB长度的最小值。39.（2014齐齐哈尔一模

20、）已知椭圆C1：+=1（ab0）的离心率为e=，直线l：y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切（1）求椭圆C1的方程；（2）抛物线C2：y2=2px（p0）与椭圆C1有公共焦点，设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上（R，S与Q不重合），且满足=0，求|的取值范围二、求出含参数的曲线上点的坐标表达式，利用二次曲线曲线范围求参数范围40.设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足，记动点P的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）若点D的坐标为（0，16），M，N是曲线C上的两个动点，并且，求实数的取值范围；（3）M，N是曲线C上的任意两点，并且直线MN不与y

21、轴垂直，线段MN的中垂线l交y轴于点E（0，y0），求y0的取值范围41.（2014山东模拟）已知F1，F2分别为椭圆C1：+=1（ab0）的上下焦点，其F1是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=（1）试求椭圆C1的方程；（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t）（t0）交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足，求实数的取值范围【此类题解题流程：先根据题中条件求出主元的取值；中，设出三点，用两点（直线交二次曲线所得点）表示第三点；将第三点坐标代入椭圆方程；得到用主元表达的参数的表达式，求参数范围】.点共线条件的灵活使用42.（2014

22、郑州二模）已知平面上的动点R（x，y）及两定点A（2，0），B（2，0），直线RA、RB斜率分别为k1、k2，且k1k2=，设动点R的轨迹为曲线C（）求曲线C的方程；（）四边形MNPQ的四个顶点均在曲线C上，且MQNP，MQx轴，若直线MN和直线QP交于点S（4，0），问：四边形MNPQ两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由交曲线C于点Q求证：直线NQ过定点，并求出定点坐标【本题由椭圆对称性，得出了定点在x轴上的结论。且点共线关系的应用使我们省去了设直线方程的麻烦】43.（2013江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4（1）求椭圆C的

23、方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由【本题还要注意点共线条件的使用，即用点坐标表示斜率】双曲线与抛物线一、设点、直线进行直接计算44.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q若点P是线段F1Q的中点，且QF1QF2，则此双曲线的离心率等于_45.C是以原点O为中心，焦点在y轴上的等轴双曲线在第一象限部分，曲线C在点P处的切线分别交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（）A|OP|AB|

24、B|OP|=|AB|C|AB|OP|AB|D|OP|=|AB|46（2012顺义区二模）已知A、B、P是双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点O对称，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率e=_47.（2014太原一模）过x轴上点P（a，0）的直线与抛物线y2=8x交于A，B两点，若+为定值，则a的值为（）A1B2C3D447.（2011江西模拟）已知抛物线y2=2px（p0）与双曲线=1，（a0，b0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AFx轴，若l为双曲线的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（）ABCD48.（2014浙江）设直线x3y+m=0（m0）与双曲线=1（

25、a0，b0）的两条渐近线分别交于点A，B若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是_49已知M（x1，y1）是椭圆上任意一点，F为椭圆的右焦点（1）若椭圆的离心率为e，试用e、a、x1表示|MF|，并求|MF|的最值；（2）已知直线m与圆x2+y2=b2相切，并与椭圆交于A、B两点，且直线m与圆的切点Q在y轴的右侧，若a=2，b=1，求ABF的周长50.（2013山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）ABCD51.（2013辽宁）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，

26、连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，则C的离心率为（）ABCD二、与几何关系联系52.（2014湖北）设a，b是关于t的方程t2cos+tsin=0的两个不等实根，则过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线=1的公共点的个数为（）A0B1C2D353.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）Aa，aBa，CD54.已知双曲线的左焦点为F1，左、右顶点为A1、A2，P为双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直

27、径的两个圆的位置关系为 【本题应用了几何关系中常被忽略的一点：原点是焦距的中点，可用此作中线】55.如图，过抛物线x2=2py（p0）的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|=|BF|，且|AF|=4+2，则p=_56.（2014河南二模）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）ABCD57.（2014北京）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OAOB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论三、弦为

28、直径成圆？找圆心，作准线垂线！58.已知双曲线的方程为x2=1，直线m的方程为x=，过双曲线的右焦点F的直线l与双曲线的右支相交于点P，Q两点，以PQ为直径的圆与直线m相交于M，N，记劣弧MN的长度为n，则的值为_59.（2013嘉兴模拟）己知抛物线y2=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为_四、线段比例关系得出坐标关系60.（2014钟祥市模拟）已知双曲线E：=1（a0）的中心为原点O，左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P是直线x=上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足=0（1）求实数a的值；（2）证明：直线PQ与直线OQ的

29、斜率之积是定值；（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足，证明点H恒在一条定直线上【注意第三问在得到坐标关系后对等式关系进行的特殊处理。】五、抛物线性质（定义）的应用61.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F，M且与l相切的圆共有_个62.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，P是抛物线上异于原点的任意一点，直线PF与抛物线另一交点为点Q，设l是过点P的抛物线的切线，l与直线y=1和x轴的交点分别为A，B（1）求证：AFPQ；（2）过B作BCPQ于C，若|PC|=|QF|，求|PQ|

30、六、求圆恒过定点问题方法一：一般情况下，根据二次曲线对称性，定点在x轴上63.（2014韶关一模）设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，点，线段FA的中点在抛物线上设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C（1）求p的值；（2）试判断圆C与x轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由方法二：求出直径端点坐标，得出圆直径方程，使该二次方程的系数为064.已知F（1，0），直线l：x=1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且（）求动点P的轨迹曲线C的方程；（）设动直

31、线y=kx+m与曲线C相切于点M，且与直线x=1相交于点N，试问：在x轴上是否存在一个定点E，使得以MN为直径的圆恒过此定点E？若存在，求出定点E的坐标；若不存在，说明理由方法三：看直线斜率不存在和为0两种特殊情况，进行猜想，在为K的情况中进行证明65.（2014凉州区二模）已知椭圆C：=1（ab0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点（）求椭圆C的方程；（）已知圆M：x2+y2=的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由曲线与方程.求点轨迹的形状或方程66.（2011湖北模拟）已知定点F1（2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（）A椭圆B双曲线C抛物线D圆67.双曲线M：=1（a0，b0）实轴的两个顶点为A，B，点P为双曲线M上除A、B外的一个动点，若QAPA且QBPB，则动点Q的运动轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛