考向3直线与椭圆的综合问题

1、考向3直线与椭圆的综合问题(高频考点)命题视角直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，主要命题角度有：(1)由已知条件求椭圆的方程或离心率；(2)由已知条件求直线的方程；(3)中点弦或弦的中点问题；(4)弦长问题；(5)与向量结合求参变量的取值【典例3】(2014南京市、盐城市高三第一次模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，已知过点的椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点B的坐标为，试求直线PA的方程；(3)记M，N两点

2、的纵坐标分别为yM，yN，试问yMyN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由思路点拨(1)根据椭圆定义求出a的值，再由c1求出b的值，就可得到椭圆的标准方程，(2)根据条件分别解出A，P点坐标，就可写出直线PA的方程，(3)先根据直线AB垂直x轴的特殊情况下探求yM，yN的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值本题难点在如何利用条件消去参数点共线可得到坐标关系，而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键解(1)由题意，得2a 4，即a2，又c1，b23，椭圆C的标准方程为1.(2)B，P，又F(1，0)，kAB， 直线AB：y(x1)，联立方程组解得A(0，)，直线PA

3、：yx，即x4y40.(3)当kAB不存在时，易得yMyN9，当kAB存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x2，y2)，1，1，两式相减，得，kPAkAB，令kABk，则kPA，直线PA方程：yy2(xx2)，yM(x24)y2，yMy2，直线PB方程：yx，yN，yMyN3，又1，4y123x，yMyN39，所以yMyN为定值9.,【通关锦囊】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助求根公式，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形(3)弦长

4、问题利用根与系数的关系、弦长公式求解(4)中点弦或弦的中点一般利用点差法求解，注意判直线与方程是否相交(5)与向量结合的问题，通常利用向量的坐标运算即可【变式训练3】(2013天津高考)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值解(1)设F(c,0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b，则b22又因为a2c2b2，从而a23，c21，所以所求椭圆的方程为1.(2)设点C(x1，y1)，D(

5、x2，y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1)，由方程组消去y，得(23k2)x26k2x3k260.根据根与系数的关系知x1x2，x1x2.因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26. 由已知得68，解得k.掌握1条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系给出椭圆方程1时，椭圆的焦点在x轴上mn0；椭圆的焦点在y轴上0mb0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点

6、C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值解：设椭圆的焦距为2c，则F1(c,0)，F2(c,0)(1)因为B(0，b)，所以BF2a. 又BF2，故a.(2分)因为点C在椭圆上， 所以1，解得b21.(4分) 故所求椭圆的方程为y21.(6分)(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上， 所以直线AB的方程为1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.(8分)因为直线F1C的斜率为，直线AB的斜率为，且F1CAB，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2，因此e.(14分),【智

7、慧心语】易错提示：(1)忽略a，b，c三者的关系，造成运算量大而出现错误；(2)不知把直线BF2的方程写成截距式1，导致无法得出关于a，b，c的等式；(3)方程整理错误；(4)方程求解错误防范措施：(1)注意题已知条件关系的挖掘；(2)写直线方程时，要注意分析已知条件，选取恰当的形式；(3)要强化化简及运算能力【类题通关】(2014苏州市高三调研测试)如图，已知椭圆1(ab0)的右顶点为A(2,0)，点P在椭圆上(e为椭圆的离心率) (1)求椭圆的方程；(2)若点B，C(C在第一象限)都在椭圆上，满足，且0，求实数的值解(1)由条件，a2，e，代入椭圆方程，得1.b2c24，b21，c23.所

8、以椭圆的方程为y21.(2)设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为ykx，代入椭圆方程y21即x24y24，得(14k2)x24，x. 则C.又直线AB方程为yk(x2)，代入椭圆方程x24y24，得(14k2)x216k2x16k240.xA2，xB. 则B.0，0.k2.C在第一象限，k0，k.，由，得. k，.课堂练习：一、填空题1(2014安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解(1)

9、根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点， 故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1b0)的右焦点为F(1,0)，过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点B的坐标为，试求直线PA的方程；(3)记M，N两点的纵坐标分别为yM，yN，试问yMyN是否为定值？

10、若是，请求出该定值；若不是，请说明理由思路点拨(1)根据椭圆定义求出a的值，再由c1求出b的值，就可得到椭圆的标准方程，(2)根据条件分别解出A，P点坐标，就可写出直线PA的方程，(3)先根据直线AB垂直x轴的特殊情况下探求yM，yN的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值本题难点在如何利用条件消去参数点共线可得到坐标关系，而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键【通关锦囊】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助求根公式，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0

11、或不存在等特殊情形(3)弦长问题利用根与系数的关系、弦长公式求解(4)中点弦或弦的中点一般利用点差法求解，注意判直线与方程是否相交(5)与向量结合的问题，通常利用向量的坐标运算即可【变式训练3】(2013天津高考)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值掌握1条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系给出椭圆方程1时，椭圆的焦点在x轴上mn0；椭圆的焦点在y轴上0mb0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆

12、于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值【智慧心语】易错提示：(1)忽略a，b，c三者的关系，造成运算量大而出现错误；(2)不知把直线BF2的方程写成截距式1，导致无法得出关于a，b，c的等式；(3)方程整理错误； (4)方程求解错误防范措施：(1)注意题已知条件关系的挖掘；(2)写直线方程时，要注意分析已知条件，选取恰当的形式；(3)要强化化简及运算能力【类题通关】(2014苏州市高三调研测试)如图，已知椭圆1(ab0)的右顶点为A(2,0)，点P在椭圆上(e为椭圆的离心率) (1)求椭圆的方程；(2)若点B，C(C在第一象限)都在椭圆上，满足，且0，求实数的值课堂练习：一、填空题1(2014安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.4以定点A(2,8)和动点B为焦点的椭圆经过点P（4,0）、Q(2,