函数图象与性质的综合应用(一)

1、、学习指导1 函数性质是函数的重点内容，它包括函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和对称性，函数图象是研究函数性质的直观工具，函数问题已成为高考永恒的热点、重点考查的内容之一，在选择题、填空题和解答题三种题型中每年都有试题主要考查的内容有函数、反函数的概念及性质，函数的图象及变换和以根本初等函数出现的综合题及应用题等，同时考查根本数学思想方法的运用及分析问题、解决问题的能力，试题设计新颖，表达了课改的方向2 理解映射、一一映射、函数、反函数的有关概念及其联系映射是一种多对一和一对一的对应，函数是一个特殊的映射，只有当确定函数的映射是一一映射时，函数才具有反函数，反函数的定义域、值域是原函数

2、的值域和定义域，且有fa= b 1 b= a.3掌握根本初等函数的图象，能熟练地运用函数图象的平移、对称、伸缩等变换画函 数的图象，会自觉运用图象研究函数的性质如定义域、值域、蛋调性、奇偶性等，讨论方程的解的个数及解不等式等 三、典型例题【例1】2005年 湖南设P是 ABC内任意一点，Saabc表示 ABC的面积,Sapbc“ Sa abc，RzABC，?3=SaABC'定义fp=入* 小假设 g> abc 的重心,1fQ=2,3,6，那么A .点Q在厶GAB内 B.点Q在厶GBC内 C.点Q在厶GCA内重合【解析】利用特殊值法，假设 ABC是边长为1的正三角形，易判断点Q在厶

3、GAB内【评析】此题考查了映射的定义及运用新定义分析、解决问题的能力在正确理解新定义的根底上，通过特殊三角形，运用筛选法求解变式题 由等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= x+14+b1x+13+b2x+12+b3x+1+b4,定义映射 fa1, a2, a3, a43+b2+b3+ b4，贝U f4, 3, 2, 1=A . 10B . 7C. - 1D . 0【例2】2005年天津设f-1 x是函数f x= * ax-a-x a > 1的反函数，贝U使f-1x> 1成立的x的取值范围为AA自 +8B- m 曰A 2a ，B， 2a 【分析】思路一：先求f-1 x，再解

4、不等式思路二：利用反函数的定义，转化为求fxx> 1的值域.解法一：先求得 f 1 x= log a x+ x2+1 a> 1，由 f 1x> 1 得 logax+. /+1> log aa,-x+ x2+1 >a，解得 x>葺.解法二:1 a> 1, fx=ax- a x为增函数,根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系,由厂1x> 1，即在x> 1的条件下求f X的值域. f x> f 11 =2 a - a 1a2-1 "2?.【评析】此题考查反函数的概念以及解不等式的能力.解法二巧妙地利用函数与反函数定义域、值域的关

5、系，以及函数的单调性，起到了事半功倍的效果变式题 设f-1x是函数fX= . X的反函数，那么以下不等式中恒成立的是A . f-1Xw 2x- 1B. f-1Xw 2x+1C. f-1x> 2x- 1D. f-1 x> 2x+1【例3】2005年 湖北函数y= e'lnx ' -| x- 1丨的图象大致是【解析】B，应选D.ABC图1-2-1法一：当x>1时，y= 1，根据图象排除C,取x = 2时，y = |> 1,排除A ,1法二：由得y= 1xx 1x 1CK xVx结合图象选D.【评析】处理选图问题，通常有两种方法:方法一是采用选特殊点或利用函数

6、性质排除，方法二直接作函数的图象变式题 2005年 辽宁一给定函数y= f x的图象在以下列图中，并且对任意冇 0,1，由关系式an+1 = f an丨得到的数列an满足an+1 > ann N*，那么该函数的图象是CABD图 1 - 2 2【例4】2005年上海对定义域分别是 Df, Dg的函数y= fx，y= gx.规定:f(x) g(x)当XDf且 xDg函数h x= f (x)当XDf且xDgg(x)当XDf且xDg1假设函数f x=V,x-1g X=X2,写出函数hx的解析式;2求问题1中函数hx的值域；3假设g X= f x+a，其中是常数，且 a 0 ,，请设计一个定义域为

7、R的函数y = fx及一个a的值，使得hx= cos4x，并予以证明.【分析】先仔细审题，理解题意.其中1 2问写出h x的解析式是关键，第3问联想相关三角函数求解.【解】 1由得2当 XM1 时,hxh(x)= x 1 x1,x1,1) (1,)各 x - 1+x11+2假设x 1,贝y hx4,其中等号当x= 2时成立.假设XV 1,贝y hx0,其中等号当x= 0时成立.函数h X的值域是一a, 0 U 1 U : 4, +8解法一：令 f x= sin2x+ cos2x, a=4那么 gX= f x+ a= sin2 x+ cos2 x+= cos2x - sin2x 44于是 h(x

8、) f (x) f (x a) (sin 2x cos2x)(cos2x sin2x) cos4x解法二：令 fx= 1+2sin2x, a= n 贝U g x= fx+ a= 1+JSsin 2x+2 2=1 . '2si n2x,于是 hx= fxfx+ a= 1+V2sin2x 1 V2sin2x= 1 2sin22x= cos4x.【评析】 此题主要考查分段函数、三角函数、函数的值域等根底知识，以及运用构造法解题的能力解此题的关键是要准确得出函数的解析式*【例5】2005年全国川函数f X42X7, x :0, 1 .1求 f X的单调区间和值域;2设 a>1函数 g x

9、= x3 3a2x 2a,x,假设对于任意X1 0, 1 ，总存在xo :0, 1 :,使得g X0= f X1成立，求a的取值范围.【解】1对函数f X求导，得、-4x2+16x-7(2x-1)(2x-7)fx= 一(2-x)217令f'x= 0,解得x= 2或x=舍去当x变化时，f'X，fX的变化情况如下表: 111 、X00, 222，11f ' X0+f X所以，当x10,时，fX是减函数;1时，fx是增函数.当 x 土 1时，fX的值域为4, 3.2对函数 gx求导，得 g'x= 3x2 a2.因为 a>1 当 x :0, 1时，g'xv

10、 3 1 a2< 0.因此当x :0, 1时，gx为减函数，从而当 x :0 , 1时，有g 'x :g 1,又 g 1= 1 2a 3a2, g 0= 2a,即当 x : 0, 1时，有 g x : 1 2a 3a2, 2 a.任给 X1 : 0, 1 , f X1 : 4, 3 ,存在 X0 : 0, 1 使得 g X0= f X1，那么1 2a 3a2, 2 a 4, 31 2a 3a242a 3解式得a或a< 5，解式得a号又a >1故a的取值范围为1它摻.【评析】 此题主要考查函数的性质、导数、不等式等根底知识，考查分析推理和知识的综合应用、转化的能力.运用导数求值域的一般步骤是：求导，令导数等于0,求y'= 0的根，求出最值点，写出范围值域方法技巧提炼1 讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原那么.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，防止忽略实际意义对定义域的影响2运用函数的性质解