分类讨论函数的单调性(修改)

1、，从而引起讨论。分类讨论函数的单调性求导后，考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)例1设k R，函数f (x)x 1,x,F(x)1f (x) kx, x R，试讨论函数F (x)的单调性。二、求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。例2 a是实数，函数f x 浪x a(I)求函数f x的单调区间；(n)设g a为f x在区间0,2上的最小值。(i)写出g a的表达式；(ii )求a的取值范围，使得6 g a 2。,导函数为零的实根也落在定义求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) 域内，但不知这些

2、实根的大小关系，从而引起讨论。1x R，其中a R。2例3函数f x -ax(I)当 a1时，求曲线x在点2,f 2处的切线方程;(n)当 a0时，求函数的单调区间与极值。例4 (改编)设函数 f xbln x 1，其中b 0,求函数的极值点。例5函数f (x) (a1)l nx2ax(I)讨论函数f (x)的单调性;(ii )(ii )设a 1.如果对任意x1, x2(0,),| f (x1)f(X2)4 | x1 X2 |，求a的取值范围。x例 6 函数 f ( x)=In(1+ x)-x+ 2(I)当k=2时，求曲线y = f(x)在点(1 , f (1)处的切线方程；(n )求f(x)

3、的单调区间。例7设f(x)是定义在区间(1,)上的函数，其导函数为f(x)。如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x (1,)都有h(x) 0,使得f(x) h(x)(x ax 1)，那么称函数f (x)具有性质P(a)。(1)设函数f(x) |nx 匸(x 1)，其中b为实数。x 1(i)求证：函数f(x)具有性质P(b) ； (ii) 求函数f(x)的单调区间。函数g(x)具有性质P(2)。给定xi,X2 (1,), xi X2,设m为实数,mx1(1 m)x2 ,(1 m) mx2，且1,1，假设丨g()g()11人x 1x 1上恒为正，方程2x22xb0是否有实根，需要对参

4、数b的取值进行讨论。(1)当4 8b0，即1 2b时，方程2x2 2x2b 0无实根或只有唯一根xg x 2x2 2x b0在 1,上恒成立，那么f x 0在 1,-，所以2上恒成立，所以函数f x在 1,上单调递增，从而函数f X在2当41,8b上无极值点。0，即b 1时，22方程2x 2x1.12b2,x2这两个根是否都在定义域1,内呢？又需要对参数(i)当b0时，1尻2b1,X2112b1,所以x122N1,1,。1.1 2b。2b的取值分情况作如下讨论:b 0，即f x 0有两个不相等的实根:此时，f X与f X随x的变化情况如下表:x1,X2X2X2,f x0f x递减极小值递增在定

5、义域 1,X1,X1X1为，X2X2X2,由此表可知:极小值点x2i i 2bof X00f X递增极大值递减极小值递增当b 0时，f x有唯一Xiii 2b21,X2i P i ,所2此时,X2i, o随X的变化情况如下表:由此表可知：当0 b 时，fx有2个极大值点Xii 7 2b和一个极小值点i ,i 2bo2a i例5解：I f X的定义域为0, +8. f x2axx22 ax当 a 0 时，f(x) 0，故 f(x)在(0,+8单调增加;当 a i 时，f (x) v 0,故 f (x)在(0,+8单调减少;当-i v a v 0 时，令 f (x)=0,解得 xa i2a那么当X

6、 (0,詈时，fX0;a i2a)时,f (x) v 0.故 f (x)在(0,单调增加，在(单调减少.由I知在n不妨假设xi x2，而a v -i ,0, +s单调减少，从而Xi,X2(0,)，f(Xi)f(x2)4 XiX2等价于Xi,X2 (0,)，f(X2)4X2f (Xi)4x-i令 g(x) f(x)4x，那么 g (x) a 2ax 4xa i等价于gx在0, +8单调减少，即2ax 4 0 .从而a 学(2X J 4X一2(2X2i)2故a的取值范围为(-8, -2.2x i2x i2x i例6解：(I )当k 2时，f (x)ln(1x) x x2 ,1f (x)1 2x1

7、x由于 f(1) ln2 , f(1)32，所以曲线yf(x)在点(1,f (1)处的切线方程为3y In 2(x 1)2即 3x 2y2ln 2 30(II ) f(x) x(kx k 1),1 xx (1,).当 k 0 时，f(x)1xx所以，在区间(1,0) 上, f (x)0 ；在区间(0,) 上,f(x)0.故f(x)得单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0,).当 0 k 1 时，由 f (x) x(kx k 1 o,得 xio, x2 01 xk1k1 k所以，在区间(1,0)和(丄k,)上，f (x)0 ；在区间(0,1 k)上，f(x)0kk1 k1 k故f(x)得单

8、调递增区间是(1,0)和(I,)，单调递减区间是(0,1).kk当 k 1 时，f(x)故f (x)得单调递增区间是(1,).当 k 1 时，f(x) x(kx k 1)0，得 X11 x1 k所以没在区间(1,)和(0,)上，f (x)k(1,0) , X20.0 ;在区间(,0)上,kf(x)1 k故f(x)得单调递增区间是(1,)和(0,k1 k)，单调递减区间是(，0)k例 7 (1) (i) f(x)1x 1 时，h(x) R20恒成立,函数f(x)具有性质P(b)；(ii)(方法一)设 (x) x2bx1 (x b)22(x)与f(x)的符号相同。(x)0, f(x)0,故此时f(

9、x)在区间(1,)上递增;2时，对于x 1，有f(x)0,所以此时f (x)在区间(1,)上递增;K当b 2时，(x)图像开口向上，对称轴x -1，而(0) 1 ,2对于x 1，总有(x)0, f(x)0，故此时f(x)在区间(1,)上递增;(方法二)当 b 2时，对于 x 1 ,(x) x2 bx 1 x2 2x 1 (x 1)20所以f(x)0,故此时f (x)在区间(1,)上递增;当b 2时，(x)图像开口向上,对称轴xb /b241，方程(X)0的两根为：而 bb2 4 沾 b2 4_2- b2 4(0,1)0，f(x)0,故此时f (x)在区间(1, 号 4)上递减;同理得：f(x)

10、在区间一-一,)上递增。2当x (1,一)时，(x)综上所述，当b 2时,f(x)在区间(1,)上递增;当b 2时,f (x)在(1 b Ub 4)上递减;f (x)在b、b2 4)上递增。2 ，(2)(方法一)由题意,得： g(x) h(x)(x2 2x 1)h(x)(x 1)2又h(x)对任意的x(1,)都有 h(x) 0,所以对任意的x (1,)都有g (x) 0，g(x)在(1,)上递增。又x-i x2,(2 m 1)( x-i x2)。1当 m ,m 1 时，且x-i (m 1)论 (1 m)x2,x2 (1(m 1)x2，2-F- 一石-乜)=-(讯 _ 1尸(码一叫尸 0 . /

11、. a 占或旺 a c ,假设此办&5 那么如炖70隔、或-曲)|型諾)-亦)环合题意.解得JW I 当fn = L时=D二I亘(-葺X亘弟)凯耳)，符合题鼠【司理有X-!即恥(1-咖十吨,解得也汕红“丄+ (1 - ff2)x2 CXj2综合以上讨论，得：所求 m的取值范围是(0, 1 )。h(x)(x 1)(方法二)由题设知，g(x)的导函数g(x) h(x)(x2 2x 1)，其中函数h(x) 0对于任意的x (1,)当m(0,1)时，有mx-i(1 m)x2mx-i (1 m)x1 x-i，mx-(1 m)x2 mx2(1m) X2 X2，得(X1,X2)，同理可得(X1, X2)，所

12、以由g(x)的单调性知g()、g( ) (g(xJ,g(X2)，从而有I g( ) g( )ll g(xjg(x2)I，与题设不符。当m1时，同理可得X1,X2，进而得 | g( ) g( )| l g(xjg(x2)l，与题设不符。都成立。所以，当 x 1时，g(x)20，从而g(x)在区间(1,)上单调递增。因此综合、得所求的m的取值范围是(0, 1)。R, a 0,又m, n R, m n，那么以下正确的判断是321.设 f (x) ax bx cx d, a, b,c,dA .假设f (m) f (n) 0,那么f (x)0在m,n之间只有一个实根B .假设f (m) f (n) 0,

13、那么f (x)0在m,n之间至少有一个实根C .假设f (x) 0在m, n之间至少有一个实根，那么f (m) f (n) 0D .假设f(m)f (n) 0,贝U f(x) 0在m,n之间也可能有实根2.f ( x ) ,g ( x )分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，当x 0,讨论函数 f(x)= lnx + a(1 a)x2 2(1 - a)x 的单调性.讨论函数f (x) x ln x的单调性. x，从而引起讨论。四、求导后，考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)例1设k R，函数f (x) x 1,x,F(x)1f (x) kx, x R，试讨论函数F (x)的单调

14、性。五、求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。例2a是实数，函数f x xx a(1)求函数f x的单调区间;(n)设g a为f x在区间0,2上的最小值。(i)写出g a的表达式；(ii )求a的取值范围，使得6 g a 2。六、求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。例3函数f x 2ax2 a一1 x R，其中a R。x21(i)当a 1时，求曲线y f x在点2, f 2处的切线方程；(n)当a 0时，求函数f x的单调区间与极值。

15、例4 (改编)设函数 f x x2 bln x 1，其中b 0,求函数f x的极值点。例 5 函数 f(x) (a 1)lnx ax2 1(III )讨论函数f (x)的单调性；(IV)(ll)设 a 1.如果对任意 X1,X2 (0, ) ,|f(X1) f(X2) 4|X1 X2I，求 a 的取值范围。x例 6 函数 f ( x)=In(1+ x)- x+ x2( k 0)。2(i)当k=2时，求曲线y = f(x)在点(1 , f (1)处的切线方程；(n )求f(x)的单调区间。例7设f(x)是定义在区间(1,)上的函数，其导函数为f(x)。如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)

16、对任意的x (1,)都有h(x) 0,使得f(x) h(x)(x2 ax 1)，那么称函数f (x)具有性质P(a)。 (1)设函数f(x) ln x b (x 1)，其中b为实数。x 1(i)求证：函数f (x)具有性质P(b) ； (ii) 求函数f (x)的单调区间。函数g(x)具有性质P(2)。给定 x1, x2(1,),x.X2,设m为实数,mx1(1 m)x2 ,(1 m)x-i mx2，且1,1，假设丨g()g()1 0，故f(x)在(0, +s)单调增加;当a 1时，f (x) v 0,故f (x)在(0, +s)单调减少;当-1 v a v0 时，令 f (x)=0,解得 x

17、那么当x (0,a 1、/右)时，f(x) 0； x (a 12a)时，f (x) v 0.故 f(x)在(0,单调增加，在a 12a)单调减少.(n)不妨假设x1 x2，而a v -1 ,由(I)知在(0, +8)单调减少，从而Xi,X2(0,),f(xjf(X2)4人X2等价于X1,X2 (0,)，f(X2)4x2 f (Xi)4x1令 g(x) f(x)a 14x，那么 g (x)2ax 4xa 1等价于g(x)在(0, +8)单调减少，即 2ax 4 0.x从而a4x 12x2 12 2(2x 1)2 4x222x2 12(2X2 J 2故a的取值范围为(-, -2.2x2 1例6解:

18、(I )当 k2 时，f(x)ln(1x) x x2,f (x)1 2x1 x(II)由于f(1)In 2， f (1)所以曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为3y ln 2 (x2x(kx k 1) f(x)1 x1)1,3x 2y2ln 2 3).当 k 0 时，f(x)所以，在区间(1,0) 上,f (x)0 ；在区间(0,)上,f (x)0.故f(x)得单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0,).当0 k 1时，由f (X)1所以，在区间(1,0)和(丄x(kx k 1)0，得 x11 xk t,)上, f(x) 0 ; k1 k0k1 k在区间(0,) 上, f (x

19、)0kX21 k1 k故f(x)得单调递增区间是(1,0)和(j,)，单调递减区间是(0,丄).kk当 k 1 时，f(x)故f x得单调递增区间是1,.当 k 1 时，f(x) x(kx k 1)0，得为1 x1 k所以没在区间(1,)和(0,)上，f (x)k1 k1,0，X20.1 k故f x得单调递增区间是1 -和0k1 k0 ;在区间，0k 1，单调递减区间是-上，f(x)0k厂0)例 7 (1) (i) f(x)1x 1 时，h(x)阳F0恒成立,函数fx具有性质Pb；(ii)方法一设 x x2bx1 (x b)22x与fx的符号相同。7,2 b 2 时,(x)0，f(x)0，故此

20、时fx在区间1,上递增;2时，对于x 1，有fx0,所以此时f x在区间1,上递增;2时，x图像开口向上，对称轴 xb 1，而(0)2对于x 1，总有X0，f(x)0，故此时f x在区间(1,上递增;方法二当b2时，对于x 1 ，(x)2bx 1 x 2x 1(x1)2 0所以f(x)0，故此时f (x)在区间(1,上递增;当b 2时，x图像开口向上,对称轴x1，方程x0的两根为:由 b 、b2 4, b b2 4而2*；b2 4(0,1)1十时，x0，f(x)0，故此时f x在区间1,b-一42上递减;同理得：fx在区间一42上递增。综上所述，当b 2时，fx在区间1,上递增;当b 2时，f

21、 x在1,b比4上递减；fx在b E 4,上递增。2八(2)(方法一)由题意，得：g(x) h(x)(x2 2x 1) h(x)(x 1)2又h(x)对任意的x (1,)都有h(x) 0,所以对任意的x (1,)都有 g (x)0, g(x)在(1,)上递增。人X2,(2 m 1)( x-i x2)。1当m ,m 1时,2，且x-i (m 1)为(1m)x2,x2 (1 m)x( (m 1)x2，-P- (口 _兀9_ 兀)=_(讯一 1尸(码一也) 0 . /. a rx x2 或旺 ,且口一心= $).0 -气=_皿( 心)同理有阳目卩宅样(1-矶十吓，解汕口和匕+ (1 一购cxj2综合

22、以上讨论，得：所求 m的取值范围是(0, 1 )。(方法二)由题设知，g(x)的导函数g(x) h(x)(x2 2x 1)，其中函数h(x) 0对于任意的x (1,)都成立。所以，当x 1时，g (x) h(x)(x 1)20，从而g(x)在区间(1,)上单调递增。当 m (0,1)时，有m (1 m)x2 mx1 (1 m)x1 x1 ,m%(1 m)x2mx2(1 m)x2X2，得(X1, X2)，同理可得(X1,X2)，所以由g(x)的单调性知g()、g()(g(xJ,g(X2),从而有I g( ) g( )II g(xj g(x2)|，与题设不符。因此综合、得所求的m的取值范围是(0,

23、 1)。1设 f(x)ax3 bx2cx d,a,b,c,d R, a 0,又m, nR, m n，那么以下正确的判断是2.3.4.5.6.f(m)f( n)f(m)f( n)0,那么f (x)0在m,n之间只有一个实根0,那么f (x)0在m,n之间至少有一个实根f (x) 0在m, n之间至少有一个实根，那么f (m) f (n)f (m) f (n) 0,贝U f (x)0在m,n之间也可能有实根x ) ,g(x )分别是定义在 R上的x g/ x p 0,且f 20,那么不等式f x g x奇函数和偶函数，当xO,g(x)=O0,故f (x)在(0,)上单调递增. 的两根都小于0,在(0,)上，f (x)当a 2时,V0,g(x)=0的两根为 洛；a242当0 x x-i时,f (x) 0 ;当 x-ix x2 时,0 ,故 f (x)在(0,f (x)0 ;当 x x2 时,f(x)上单调递增.0，故f (x)分别在(0, x,),(