论文常用不等式的应用

1、xxx大学学 年 论 文 题 目 常用不等式的应用 学 生 xx 指导教师 xxx 副教授 年 级 xx级 专 业 系 别 学 院 xx大学 年 月 论 文 提 要在数学分析中，不等式不仅仅是一个重要并且有效的工具，也是数学分析中重要的研究对象。在许多证明和分析的过程中充分的体现了不等式的灵活性和巧妙性，例如在解决三角函数相关问题、求函数最值、解方程等方面都有重要作用，它使得一些比较复杂的问题迎刃而解。也正因为不等式的这种多变性，使得不等式在证明过程中不只有一种形式，只有正确的掌握了不等式的运用方法才能使解题更简单。本文通过几个例子来具体说明不等式在证明过程中的运用。常用不等式的应用Xx摘要：

2、数学分析中的不等式是一个比较常用的解题方法，同时运用不等式也是种简便的解题方法，但运用不等式却是一种技巧，想要熟练的掌握不等式的应用就要多思考、多总结，本文列举了数分中常用的不等式，并通过几个例子对不等式的运用进行了说明。关键词：数学分析 不等式 证明一、数学分析中常用不等式举例：数学分析中的不等式有较高的利用率，本文列举了八个数学分析中较常用的不等式，并对它们运用进行说明。1、三角函数不等式：<<（0<x<）>1- (x) x（x0）常应用在解决三角函数的证明和分析中2、积分不等式：设函数，在上可积，则有3、积分基本性质中得不等式：若与为上的两个可积函数且， 常

3、应用于判别积分的单调性和大小等方面。4、詹森不等式：若为上的凸函数，则对任意，>0有。常应用于函数凹凸性问题的分析解答5、柯西不等式：设为，则。6、平均值不等式：设为n个正整，且，则当且仅当所有都相等“=”成立。常和缩放法联合运用7、柯西-施瓦茨不等式: 设 常应用在无穷级数和乘积的积分中，是柯西不等式的一个推广8、三角不等式： 二、不等式的应用举例了解数学分析中比较常见的不等式，更要灵活的运用这些不等式解决数学分析中的问题，以下就是对本文介绍的不等式的应用举例。（1） 柯西施瓦茨不等式及其他不等式的运用说明例1：已知f在区间上可积，则证明不等式分析：利用柯西施瓦茨不等式构造新的等式形式

4、，并建立如下的式子 f（x）=f（x）， g（x）=1 。 证：令f（x）=f（x），g（x）=1，则有 例2：证明若级数与收敛，则级数和也收敛 。 分析:灵活运用柯西-施瓦茨不等式及不等式的转化形式 证:运用不等式知识有由于收敛，则有也收敛，而 故绝对收敛，由于故收敛。例3：若和在上可积，则。 分析：根据柯西不等式构造推广后的不等式，并构造积分不等，再求关于t 的判别式。证:若与可积，则、都可积，且对任何实数t,也可积，又，故即由此推得关于t的二次三项式的别式非正， 总结：在不等式的证明过程中，柯-瓦茨不等式有这重要的作用，在解题时柯西施瓦茨不等式会与其他不等式联合运用，并通过改变不等式的形

5、式或构造辅助函数完成证明过程，如在例1、例2、例3中都对不等式进行了合理变化，并构造了新的等式及不等式，又结合了积分的性质和级数的敛散性等，使证明过程简便。（二）詹森不等式的应用举例例4：设证明下列不等式 及等号成立的条件？分析：利用詹森不等式及三角不等式证： + =所以 当时等号成立。= 在此处运用不等式 0=所以等式成立的充要条件是=。例5：证明不的不等式，其中a，b，c均为正整数 。 分析：利用詹森不等式， 证：设>0，由的一阶和二阶导数，可见，在x>0时为严格凸函数，依据詹森不等式有，从而即又因，所以 总结：詹森不等式是凸函数理论中重要的不等式，应用它可以证明著名的霍尔德不

6、等式，并可以用它来构造其他形式的不等式对数学分析中的问题进行解答，以上例题合理的将詹森不等式与其他不等式结合，充分的运用了不等式的灵活性。（3） 绝对值与三角不等式的运用举例例6：证明在区间上一致连 。 分析：运用三角函数不等式和利普希茨条件即可。 证：任意有，任意>0取，则，且<，有=<因此在上一致连续。例7：设x与y是中两个不同的量，=，证明：U= 。 分析：利用三角不等式，构造相应的区间。 证：假设U，则存在，即<<，从而有=<=产生矛盾,于是=.例8：证明若=a则=当且仅当为何值时反之也成立。 分析：巧妙的运用绝对值不等式证明绝对值的极限问题。 证:

7、可知>0存在>0，当>时<而<故<因此= 总结：绝对值和三角不等式灵活多变技巧性强，在解决三角函数的证明和分析中有较高应用，它们通过和函数单调性的和有界性的结合，能构造出类似的不等式。也可将不含绝对值的等式转化成含绝对值的等式，又可以直接运用绝对值不等式的几何意义，判定两个不等式的大小关系。（4） 积分、平均值等不等式的举例例9：设正项级数收敛，证明级数也收敛 。 分析：运用不等式 ab<，将其化为型 证：对>0，及任意正整数n有，0因级数收敛，由比较原则知级数收敛。例10：比较下列定积分与的大小。 分析：根据积分不等式，比较两个积分区间相同的积

8、分大小，只要比较该积分区间上两 个被积函数的大小 。 证：显然在区间上，根据积分不等式得有因除外处处满足>0，即>，已知，从而例11:设函数f（x）定义在区间I上，如果对于任何、及恒有 证明区间I的任意闭子区间上有界 。 分析：通过够造出类似的不等式及结合有界性的性质加以证明. 证：，则存在，使得，有，由已知不等式得： 其中；任意，令那么，所以，由，两式知，再由m定义知，若令，则，则在区间上有界。例12证明为递减数列，并由此推出为有界数列 。 分析：根据不等式>，（b>a>0)令， 证：由>整理得，>令，代入上式得>=>因此为递减数列，因&

9、lt;=4 故<=<4于是为有界数列。 总结：积分不等式可以判断函数是否可积，并能求出分段函数的定积分范围，以的上不等式根据各自题型，可选取不同的形式，运用定积分理论、函数的有界性及和莱布尼茨公式等，结合已知的条件证明不等式，还可以运用它们的几何意义求积分函数面积等。参考文献：1华东师范大学数学系：数学分析（上册），高等教育出版社 2华东师范大学数学系：数学分析（下册），高等教育出版社3徐利治，数学分析的方法及例题选讲，高等教育出版社4郑步南，数学分析典型题选讲，广西师范大学出版社5张帆，不等式证明的常见方法，高等函授学报学年论文成绩表论文题目常用不等式的应用作者指导教师职称 指导教师评语 本文研究的主要问题是数学分析中常用不等式的应用，这是一个在数学分析中比较常见的问题，本文引用了比较多的例题，对不等式的运用方法进行总结和分类。 本文能熟练地综合运用所学基本理论、基本知识，很好地独立完学年成论文设计所规定的各项任务，并表现出较强的分析问题和解决问题的能力。有分析整理各类信息