函数最值的求解方法例析

1、函数最值的求解方法例析江苏 孙玉蓉函数的最值是函数在定义域内对应的函数值中的最大值或最小值因此，求解函数的 最值时要把定义域内对应的一切极值和端点处函数值加以比较得到，或是函数的值域中的端点值.在高考中以求解函数的最值为主要的考点，带动函数的值域等相关问题的求解.下面结合实例，就求解函数的最值以及值域问题中的常用的方法加以剖析.1 .观察法该方法适用自变量x只出现一次的函数，注意结合函数的单调性.例1 .求函数y - x - 1的值域.解析：由于 x _ 0，那么 x 1-1，所以函数的值域为：).评注：对于一些简单的函数，可通过定义域及对应法那么，用观察的方法来直观确定函 数的值域.此题算术

2、平方根具有双重非负性，即被开方数的非负性、值的非负性.2 .配方法该方法适用二次型函数 y =af2(x) bf(x) c(a =0)，注意自变量x的取值及二次函数对应的图象对函数的最值的影响，有时直接利用二次函数的最值4ac -b2加以求解.4a例2 .求函数y = x2 -4x 6 , x 1,5的值域.解析：将函数配方得2 2y = x -4x 6 = (x -2)2，又t x函数y的对称轴为x= 2,如下列图，易知当 x = 5时，y= 11,当y= 2，二函数y的值域为y|2y11.评注：这是个求关于二次函数在其给定的定义域范围内的值域问题， 可用配分法结合二次函数的图象来求解.要用

3、配方法解决有关二次函数型 问题的值域或最值问题，有时要结合给定的定义域，有时要挖掘对应的隐 含条件，根据二次函数的图形加以正确处理与判断.3 .反函数法ax + b该方法适用一次分式型的函数y(ac = 0).利用函数和它的反函数的定义域ex +d与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域.例3.求函数y = a一 (a b 0, -1乞x空1)的值域.a bx解析：由原式可得 X = a(y ")，而一1空X乞1，贝y _1乞a(y 1)乞1,b(y+1)b(y+1)由于a b 0，解得a b乞y乞a b，所以函数的值域为，乞亠.a +b a -ba +b a - b

4、评注：利用反函数法求解函数的值域或最值问题时，如果题目直接给出相应的定义域，可以直接应用，否那么要先判断原函数的定义域问题，再加以处理.4 .判别式法该方法适用二次分式型的函数讨二aX2 bX c ( 0)，注意检验所求最值在定义mx 十nx+ p域内是否有相应 x的值，还要注意对二次项系数是否为零的讨论.2例4 .求函数的值域.x 4x 1x21解析：由原函数整理可得：(1 - y)x2 4x 1 - y = 0,(1 )当 1 -y=0 ,即 y=1 时，x = 0 ；(2 )当 1 -y = 0,即 y = 1 时，那么有厶=164(1 - y)2 _0 , 即 卩(1 一 y)2 乞

5、4 ,解得 一1 _ y _3，即 一1 _ y _3且 y =1;所以综上(1)和(2)可知：所求函数的值域为1-1,31.评注：此法是利用方程思想来处理函数问题，判别式法一般用于分式函数，其分子或 分母只能为二次式解题中要注意二次项系数是否为0的分类讨论.5换元法该方法适用一次无理式型的函数y二. ax b (cx d)(ac = 0),注意所换元的新变量的取值范围.15 -12例5 .求函数y = 2x5 1154x的最值.15 -t2解析：令t = . 15 - 4x亠0，贝U x-5 t=t2 t 5 =丿化 _1)23,2 2 2所以当t =1，即X = 7，此时y取最大值3,即所

6、求函数的最大值为 3.2评注：此题中的函数由于含有根号，不便于求最值，可采用换元法去掉根号，转化成 二次函数再求对应的最值问题利用换元法求值域或最值问题时，一定要注意确定换元法 后变元的取值范围，在此题中首先确定 t _0 ,否那么就容易造成错解.6 几何法(或数形结合法、图象法)该方法适用较容易地与几何图形联系的函数，以图形与图形之间的位置关系和直线的 斜率为主此题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，假设运用数形结合法，往往会更 加简单，一目了然，赏心悦目.例6 求函数y =|x 1| |x - 2|的最值.-2x 1f(x)=32x1解析：将函数的解析式中的绝对值符号去掉，化成分段函数：

7、(x1)(-r： x : 2)，该函数图象如下列图，那么根据图象可(x-2)知函数y的最小值为3.评注：此类问题结合函数的图形，通过数形结合可以非常直观明了地判断对应的最值 问题.其实，该题也可以直接利用含有绝对值的不等式定理| a | - |b |_| a _ b|a | | b |加以直接求解最小值.7 不等式法k该方法适用利用根本不等式，尤其注意形如y =x (k 0)型函数，解析式能运用x根本不等式的函数，注意根本不等式成立的条件“一正、二定、三相等2x? x +1例7 求函数y= (x 1)的值域.X1解析:由于x 1，即x -1 .0,那么y =22x2 - x 1x -12= 2

8、(x -1)3 _43 = 7 x1当且仅当2(x-1)=，即x=2时取得“号，即函数的值域为7, ： x Tk评注：对函数进行变形化简，转化为y = x (k 0)的形式，结合根本不等式加以x求解值域问题在利用不等式法求解函数的值域或最值问题中，经常用到根本不等式、含 绝对值的不等式定理以及不等式的相关性质、定理等来处理，关键是转化为适用对应不等 式形式，以及利用不等式法时的前提条件.8 求导法该方法适用一些易于求导的函数，一般函数式中有高次因式(大于等于三次)或对数，利用导函数求出极大值、极小值，再确定最值.例8 求函数f(x) =1 n(1 - x) - x2在0,2 1上的最大值和最小

9、值.41 1解析：函数f (x)的定义域为？-1,亠i,又f (x)=x ,1 + x 21 1令f (x)x =0，那么化简整理可得：x =1或x = -2 (舍去)，1+x 2因此，当 0沁：1 时，f (x)0 , f(x)单调增加；当 1：x乞 2 时，f (x) :：: 0 , f(x)1单调减少；所以 f (1) =ln 2 为函数f(x)的极大值，4又 f(0) =0, f =l n3 -10 ,f(1) f (2),所以f(0) =0为函数f (x)在0,2上的最小值，f(1)=l n2 -为函数f (x)在 0,2】4上的最大值.评注：直接判断含有对数式的函数的最值问题比较难

10、下手，结合导数，通过判断导数 值的正负问题，利用函数的单调性来解决最值问题利用导数方法可以用来处理高次函数 (大于等于三次)、分式函数或对数函数等比较复杂的函数的最值问题，关键是正确处理 导数，利用导数结合单调性等来处理最值或值域问题.9. 函数有界性法该方法适用一些特殊的函数求值，比方三角函数，指数函数等，利用一些特定函数的 有界性加以分析与转化来到达求解的目的.ex -1例9 .求函数y=的值域.ex +1解析：由原函数式可得：ex = -1，幕ex > 0，a y1 > 0，y Ty T解得一1 v y v 1，故所求函数的值域为(一 1，1).评注：直接求函数的值域困难时，

11、可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函 数的值域.此种方法在求三角函数最值中经常使用.10. 别离变量法在处理一些分式函数求解最值问题中，经常采用别离变量法，通过直接拆分分母或者 配凑、换元等手段分解分式函数，直接求最值或者借助均值不等式等求解.3x +1例10.求函数y =込的值域.x 23x 1 3(x -2)77解析：由于y3 x-2x-2x-2.7.70，33 ,x -2x _23x +1 函数y =的值域为y R | y = 3.x -2评注：别离常量法往往是处理分式函数求最值的问题的努力方向，它通过变形与转化,利用分式的特点加以分析与求解相应的最值或值域问题.11. 降次转化法在处理含有高次(三次或三次以上)的函数关系式时，往往采用降次转化思维，把高 次关系式加以降次，转化为常用的一次或二次的函数关系式，再利用相应的方法加以处理.例11 .函数f (x)=3x -x(x2 1)2的值域是3x x解析：.f (x) = 2 -T，当 x=0 时，f (x) =0 ；(x2 +1)2当xMO时,f ( x)(x2 1)2Xz *1 2 (x )xX(x-1)24x1t11令 t =x -一，代入上式得 g (t