列方程解决平面图形问题

1、列方程解平面图形问题一、引入。同学们，下面这道平面图形问题你会解答吗？图1中平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影三角形面积是多少平 方厘米？1 学生尝试解答。学生可能出现如下两种解法： 根据平行四边形的面积是 48平方厘 米、高是6厘米，可以求出平行四边形的底； 三角形的高和平行四边形相同，底比平行四 边形少5厘米，所以求出平行四边形的底， 就能求三角形的面积。48七=8 厘米8- 5X 6吃=9 平方厘米 这个三角形只给出了高，它的面积不能直接计算出来，可先把平行四边形 分割成三局部如图2，因为两边的两个三角形面积是相等的，中间的长方形 面积又可求，所以阴影三角形面积等于48-5 X吃=9

2、 平方厘米2引导学生用代数方法解决问题。第一种方法通过逆向思考，先求出平行四边形的底，再求出三角形的面积； 第二种方法利用图形的特征，对图形进行巧妙地分割。解决这个问题还可以用代 数方法，设三角形的底为a,根据平行四边形面积为48,高为6,可列出方程：5+a X3=48解方程，求得a=3所以三角形面积为3X3吃=9 平方厘米这是一道比拟简单的问题，用上述三种方法都能解决。如果是比拟复杂的问 题，用算术方法解决会非常困难，而代数方法会越来越有优势。这一单元我们就 一起来研究列方程解平面图形问题。例1:长方形ABFE的宽是8厘米，如果长增加4.5厘米，得到新图形ABCD 的面积是168平方厘米。如

3、下列图，求原长方形的面积。AEDB 代犀氷45厘米由于新图形的宽与原长方形相同，学生会逆向思考，求出新长方形的长，用 算术方法解决冋题。168-8=21 厘米21-4.5X 8=132 平方厘米根据题意，新长方形的长比原长方形的长多，我们可以利用这一关系设未知 数，利用新长方形的面积是168平方厘米列方程。解：设原长方形的长为x厘米，根据题意列方程得：x+ 4.5X 8=168x + 4.5=21X 8=132 平方厘米答：原长方形的面积为132平方厘米。由于长方形的长是未知的，用算术方法解决问题需要逆向思考，根据面积 求出边长；而代数方法那么是用字母表示未知数量，直接应用面积的计算方法列 出

4、方程。在解决复杂问题时，用代数的方法，正向思考会更简单。例2:在长方形ABCD中，放入6个形状、大小相同的小长方形如图， 求小长方形的宽。题目中大、小长方形长与宽的关系比拟隐蔽， 我们必须认真观察图形，找到 数量之间的关系。请同学们认真观察图形，你发现小长方形的长、宽，大长方形长、宽与 数据之间有哪些关系？通过观察，引导学生发现：小长方形的长+3个小长方形的宽=大长方形的长 =14厘米，小长方形的长+小长方形的宽=大长方形的宽，2个小长方形的宽+6厘 米二大长方形的宽。如果设小长方形的宽为x厘米，根据上面的关系式你能找到相等的关系吗？ 由小长方形的长+3个小长方形的宽=大长方形的长=14厘米可

5、以表示出小长方形 长为14-3x厘米，再根据小长方形的长+小长方形的宽=大长方形的宽，可以表 示出大长方形的宽为14-3x+ x=14 2x厘米；根据2个小长方形的宽+6厘米= 大长方形的宽，大长方形的宽还可以表示为2x + 6厘米。利用宽相等可以列出方 程。解：设小长方形的宽为x厘米，根据题意列方程为：14 2x=2x + 64x=8x=2答：小长方形的宽为2厘米。题目给的条件比拟少，同学们要注意从图中挖掘隐蔽条件，从图形中分析 出大长方形的宽可以用14 2x和2x+ 6两种方式表示，根据这一等量关系列方 程解答。例3:如图，将一个三角形纸片折叠一下如下列图，原来三角形的面积是 现在纸片盖住

6、面积的1.5倍。如果阴影局部的面积是1平方厘米，那么这个三角 形的面积是多少平方厘米？折叠后图形中出现了重叠局部四边形 DEFG,所以图形的面积变小了。 观察图形，你能发现变化前、后图形面积之间的关系吗？三角形ABC面积=阴影面积+2个重叠局部的面积，折叠后图形的面积=阴影 面积+1个重叠局部的面积。解：设四边形DEFG的面积为x平方厘米。X+ x + 1= x+ 1XX=1三角形ABC的面积为：1 + 1 +仁3 平方厘米答：三角形的面积为3平方厘米。用代数方法解决问题，发现图形面积之间的关系，寻找到等量关系是解决 问题的关键。而这些关系往往隐藏在图形之中，需要我们认真观察图形，挖掘 出隐蔽

7、的数量关系。例4:在直角三角形中截出一个面积最大的正方形如图 1。求这个正方形的面积。单位：厘米132 直接观察图形，我们很难发现三角形与正方形之间的关系。在这种情况下， 我们需要考虑添加辅助线，沟通图形之间的联系。连接BD 后,就可以把大三角形分成两局部，即三角形ABD和三角形BDC， 这两局部都与正方形有直接联系，正方形的边长是每个三角形的高，只要用字母 表示正方形的边长，就能表示出每个三角形的面积。这样题目的等量关系就显现 出来了：三角形ABC的面积等于三角形ABD与三角形BCD的面积和。解：设正方形的边长为x米3x 十 2+ 7x 十 2=3 X 7 -2X 2.1=4.41 平方厘米

8、答：这个正方形的面积是4.41平方厘米。直接观察图形，我们只知道正方形在三角形之内，他们之间的关系却很难 发现。添加辅助线后，正方形与三角形之间就有了直接联系，等量关系也显现 出来。用代数方法解决比拟复杂的平面图形问题，添加辅助线是我们经常采用 的方法。例5:如下列图，梯形ABCD的面积是45平方厘米，下底AB长10厘米，高 EF长6厘米，三角形DOC的面积为5平方厘米，求三角形ABO的面积是多少 平方厘米？通过分析，学生可能会用算术方法解决问题。要想求出三角形ABO的面积，需要求出高OF,因为梯形的高EF为6厘米，所以只要求出三角形DOC的高0E即可。三角形DOC的面积，求它 的高，需先求出

9、DC的长度，而DC的长度可由梯形的面积公式求出。45 X 2- 6=15 厘米5X2- 15-10 =2 厘米10X 6-2 - 2=20 平方厘米 如果设梯形的上底DC长x厘米，你会列方程解决问题吗？解：设DC边长x厘米x+10 X5吃=45解方程得x=5根据三角形DOC面积为5平方厘米，由三角形面积公式可以求出 OE的长： 5X 2-5=2 厘米所以OF=6- 2=4 厘米三角形ABO面积=10X4-2=20 平方厘米 如果设三角形ABO的面积为x平方厘米，你会列方程解决问题吗？整体观察图形可以发现，三角形 ABC与三角形ABD是等高同底的三角形， 它们的面积必相等。在这两个三角形中，显然

10、三角形ABO“重叠一次，如果加上的三角形DOC的面积，正好是梯形ABCD的面积又多了一个三角形ABO 的面积。所以：三角形ABO面积+梯形ABCD面积=三角形ABD面积+三角形ABC面积 +三角形DOC面积解：设三角形ABO的面积为x平方厘米。X+45=10 X 6-2X 2+5X=20所以，三角形ABO的面积为20平方厘米。此题用算术方法解答，需要逆向思考，两次运用面积公式计算边的长度， 用代数方法解答就可以回避逆向思考带来的麻烦。我们介绍了两种代数方法， 第二种方法更简单，需要我们有整体观察发现图形面积之间关系的能力。1例6：如下列图，在三角形ABC中 ,D为BC边中点,BF= 3 AB,

11、四边形BDEF 的面积是35亦。求三角形ABC的面积。通过以前的学习，我们知道如果两个三角形的底、高有关系，它们的面积之 间就有关系。为了便于比拟图形面积之间的关系， 我们连接BE。通过观察比拟， 你能发现哪些三角形面积之间的关系？因为D是BC的中点，所以三角形BDE 的面积=三角形CDE的面积，三角形BDA的1面积=三角形CDA的面积；因为F是3点，所以三角形AEF的面积=2倍三角形 BEF的面积。连接BE，设三角形BDE的面积为a,设三角形BFE的面积为b。1因为 BF= 3 AB，所以 &aef=2SBEF=2b因为D为BC边中点，所以Sa bdE=S CD=aSa bd=S c

12、D>=a+ 3bSa baE=S cae (等量减等量差相等) 设三角形ABC的面积为“ 1思路一：2b+3b=2 (2a+b)5b=4a+2b3b=4aSABC=10a7/. a+b=-30_215 35 - 30 =150cm按照思路一也可以列出如下方程组2a+b= |2alb=3b+a=思路二：(2a+b)x 3= (3b+a)x 2按照思路二也可以列出如下方程组 答：三角形ABC的面积为150平方厘米。在此题的分析中，通过添加辅助线，观察、比拟图形的面积，我们发现了 很多面积之间的关系，用代数的方法能够清楚地表示这些关系。在比拟中我们 主要应用了两个三角形高相同时，它们面积间的关

13、系与底之间的关系相同。 练习应用。1.把一个正方形的两组对边分别减少 5厘米和8厘米后，得到一个长方形,长方形的面积比正方形的面积少 多少？220平方厘米(如下列图)。求正方形的面积Pben2 如下列图所示，18厘米，短边长为4厘米，求大长方形面积是多少平方厘米？3下列图中，梯形ABCD勺面积为24平方厘米，AD=5厘米，BC=7厘米，求三角形ABD的面积是多少平方厘米?BC4. 如图，直角三角形ABC内有一个正方形BDEF。AB=3厘米，BC=4 厘米，AC=5厘米，EG垂直于AC,且EG=0.3厘米，求正方形 BDEF的面积。5. 六张大、小不同的正方形纸片 A、B、C、D、E、F,拼成如

14、右图所示 的图形。正方形F 阴影局部面积是256平方厘米，正方形A的面积是多少平方厘米?116. 如下列图，正方形 ABCD勺面积是1，BF=1AB ECBC。 43求阴影局部的面积。四、趣味驿站。完美长方形一个大长方形假设能分割成假设干个大小不同的小正方形， 那么称为完美长方形。 下面长方形是由9个小正方形组成的完美长方形。正方形 A和B的边长分 别是7和4，你能算出这个完美长方形的面积吗？观察图形可以知道，完美长方形中相邻正方形的边长之间有着紧密的联系, 假设能用两种不同的形式表示同一个正方形的边长，或表示出完美长方形的长或 宽，即可顺利列方程求解。为了表达方便，我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如下列图)。DEFCABGH设最小的正方形边长为X，因为小正方形A的边长为7，小正方形B的边长为4，所以小正方形C的边长可以表示为7 + X小正方形D的边长可以表示为7 + X+ X=7+ 2X小正方形E的边长可以表示为7-X+ 4=11 -X小正方形F的边长可以表示为11-X+ 4=15-X小正方形G的边长可以表示为15 X+ 4=19 X小正方形H的边长可以表示为7 + X+ 7=14+ X